- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálOPTIKA – ÚVOD
("BUDIŽ SVĚTLO")
Optika je věda, která studuje původ a zákonitosti světelných jevů, děje vzájemného
působení světla a látky a zabývá se i detekcí světla.
Pod pojmem světlo rozumíme viditelnou oblast spektra elektromagnetického záření
přibližně v rozsahu 380 – 780 nm.
Do oboru optiky spadá i blízká IR a UV oblast.
Většina informací o vnějším světě, které zpracovává náš mozek je zprostředkována
viděním.
(Příklad pro srovnání poznání dalšími smysly: letmým pohledem při vstupu do místnosti
rozlišíme: kolik osob je v místnosti, jak jsou rozmístěny, kolik je žen a kolik mužů, kdo je
malý, vysoký, tlustý tenký, kdo se o koho zajímá, je unavený veselý či smutný).
• Všeobecný pohled – optika je spojována s brýlemi a kontaktními čočkami (společně s
fotoaparáty, dalekohledy, mikroskopy a endoskopy však tvoří jen malou část optiky).
• Širší pohled – optická vlákna se podílejí na přenosu signálu a informací (telefon,
počítačová síť), optika rentgenových paprsků, lasery ve skenerech kódů zboží, v CD
přehrávačích, laserových tiskárnách apod.
"Optika denního života" – duha, modrá obloha, červený západ slunce, fata morgána, barvy na
mýdlové bublině nebo olejové skvrně na vodě, třpyt hvězd atd. – jevy spojené většinou s
našima očima.
Rozvoj laserů (v posledních 4 desetiletích) – aplikace v průmyslu a vědeckých disciplínách.
• Aplikace průmyslové – od svařování kovů po "stříhání" látek v oděvním průmyslu, výroba
mikročipů, pamětí PC, detekce mikročástic, měření rychlosti větru, lékařské aplikace
laserů atd.
• Aplikace ve vědě – laserové systémy ve spektroskopii, přesné standardy měření, aplikace v
řadě vědních oborů.
ČLENĚNÍ OPTIKY
• Geometrická optika (paprsková) – světlo jako vlna s velmi krátkou vlnovou délkou
(normála k vlnoploše).
• Fyzikální optika (vlnová) – světlo jako příčné vlnění.
• Kvantová optika (fotonová) – světlo jako příčné vlnění s diskrétní energií.
Poznámka:
• Kvantová optika zahrnuje fyzikální optiku a geometrickou optiku,
• fyzikální optika zahrnuje geometrickou optiku,
• kvantová optika se dá použít k popisu geometrické optiky atd.
⇒ vhodný a srozumitelný přístup k popisu daných optických dějů.
Cíl kursu – pochopení základních rozdílů mezi jednotlivými pohledy na optiku a
– pochopení základních optických principů a dějů.
STRUČNÝ PRŮVODCE HISTORIÍ OPTIKY
Boj o povahu světla (částice nebo vlna?)
head2right Isaac Newton (17. století)
• ve své práci "Optika" popisuje světlo jako částice – korpuskulární (emanační) teorie
(proud částeček, působících mechanickými silami na okolní předměty),
• popsal však rovněž "Newtonovy kroužky", které vycházely z vlnové povahy světla.
head2right Christian Huygens (současník Newtona)
• v "Pojednání o světle" – popisuje světlo jako vlny přenášené v éteru,
• vysvětlil na základě vlnové teorie světla tehdy známé optické jevy,
• "Huygensův princip".
head2right Thomas Young (18. století, 100 let po práci Newtona "Optika")
• předvedl experiment s dvouštěrbinovou interferencí světla, prokazující vlnový původ
světla,
• popsal podobné chování jako mají vlny na vodě a zvukové vlny.
Úspěchy podporující vlnovou teorii do 20. století.
head2right Augustin Jean Fresnel (1821)
• Užil Huygensův princip pro popis Youngova pokusu (syntéza dvou teorií),
• zavedl příčné vlnění a polarizaci světla. Vysvětlil optický dvojlom na kalcitu,
• odvodil tzv."Fresnelovy vztahy" pro odraz, polarizaci a propuštěné světlo.
head2right Josef Fraunhofer (1823)
• studoval ohyb a interferenci světla.
head2right James Clerk Maxwell (1865)
• popsal světlo "Maxwellovými rovnicemi" odvozenými v elektřině a magnetismu (měnící
se pole elektrické vyvolává pole magnetické a naopak, kmitavý obvod vysílá
elektromagnetické vlny, které se šíří rychlostí světla),
• předpověděl rychlost světla ve shodě se známým měřením.
head2right Albert Abraham Michelson and Edward Morley
• měření rychlosti světla,
• vyloučil existenci "éteru".
head2right Albert Einstein (1905)
• speciální teorie realitivity,
• vyloučil existenci "éteru".
Přelom století přinesl spory mezi vlnovou a částicovou povahou zavedením "fotonu"
head2right Max Planck (1900)
• energie světelného kvanta – diskrétní foton (E = hf),
• popsal vyzařování "černého tělesa".
head2right Albert Einstein (1905)
• popsal a vysvětlil fotoelektrický jev na základě fotonů s energií E = hf. (Se vzrůstající
frekvencí roste energie – z hlediska vlnové povahy světla nepochopitelné)
Postoj v současnosti: částicově–vlnový dualismus
head2right Planck, Einstein, de Broglie, Schroedinger, Heisenberg, Born, Dirac, Pauli (střed 20.
století)
• rozvoj kvantové mechaniky popisující látku i světlo současně jako vlnění i částice,
• základní závěr:
světlo se chová jako vlna, která nese kvantované množství energie
Význam optiky ve fyzice:
cca třetina nositelů Nobelových cen získala ocenění za práce v oboru optika.
GEOMETRICKÁ OPTIKA
"SVĚTLO JAKO PAPRSEK"
1. Definice světelného paprsku
Nejjednodušší představa – světlo se šíří ze zdroje podél přímek (paprsky) ⇒ Fermatův
princip (1679): v opticky stejnorodém prostředí se světlo šíří přímočaře, tj. mezi dvěma
danými body po nejkratší dráze (v nehomogenním prostředí se šíří od bodu k bodu s různým
indexem lomu).
Paprsek světla: je dráha, podél níž je v daném optickém systému přenášená světelná energie
od jednoho bodu k druhému.
Poznámka: představa světelných paprsků je velmi užitečná, ale jedná se o pomyslné útvary
(jednotlivý paprsek, svazek paprsků) – laserový paprsek jako simulátor.
2. Rychlost světla
Podle Alberta Einsteina (Teorie relativity) je rychlost světla c nejvyšší možná rychlost
dosažitelná ve vesmíru.
Světlo tvoří podstatnou část všech elektromagnetických dějů, c je univerzální přírodní
konstantou, mající základní význam ve všech procesech přenosu energie.
Metody měření: přímé a nepřímé (ve vzduchu i ve vakuu)
• Michelsonova metoda,
• Nepřímo lze rychlost světla například určit na základě elektromagnetické teorie.
Poznámka: setrvačná hmotnost m závisí na rychlosti v a podle Teorie relativity:
• pro malé rychlosti je m konstantní,
• pro v blížící se c
2
2
0
1 cv
mm
−
= .
Blíží-li se rychlost hmotných částic (elektronů) rychlosti c, vzrůstá setrvačná hmotnost a pro v
= c by se stala nekonečně velikou ⇒ potřeba nekonečně velké energie (E = mc2).
⇒ pro látku je c nedosažitelná.
c = 299792458 m/s ≅ 3.108 m/s
Metr (podle SI ) – délka trajektorie, kterou proběhne světlo ve vakuu za 2997924581 sekundy.
3. Index lomu
Světlo v látce se pohybuje pomaleji (plyny, kapaliny, pevné látky) než ve vakuu (dochází k
interakci fotonů s atomy a molekulami látky).
Index lomu látky – poměr rychlosti světla c ve vakuu k rychlosti světla vλ určité vlnové
délky λ v jakékoliv látce (pokud není dána λ, předpokládá se sodíkové světlo 589,3 nm)
λv
cn= .
Tabulka vybraných n
látka index lomu n rychlost světla v látce v
absolutní vakuum 1 v = c
vzduch 1,0003 v = 0,9997c
voda 1,33 v = 0,75c
sklo 1,4 < n < 1,8 0,56 c < v < 0,71 c
diamant 2,4 v = 0,42c
křemík 3,5 v = 0,29c
ODRAZ A LOM SVĚTLA
1. Zákon odrazu
Podle Fermatova principu se světlo šíří po
nejkratší dráze
Užitím tohoto předpokladu porovnáme 3 možné dráhy paprsku odrážející se od zrcadlové
plochy
Porovnání trojúhelníků:
AD = A´D; AC = A´C; AE = A´E
Navíc, je-li A´DB přímka mezi A´a B, potom musí platit
A´DB < A´CB a A´DB < A´EB
a z toho vyplývá, že
ADB < ACB a ADB < AEB.
Jinými slovy nejkratší cesta mezi body A a B při jednom odrazu od zrcadlové plochy, je cesta
přes bod D, který je uprostřed bodů A a B.
Značení úhlů
úhel vyznačujeme od normály k paprsku
α – úhel dopadu, β – úhel odrazu
A B
A
A´
B
C D E
zrcadlo
A
A´
B
D
zrcadlo
0
α
α´
β
Jsou–li trojúhelníky A0B a A0´B shodné, potom α = α´,
jestliže přímka A´B a normála se kříží , potom α´ = β.
Z těchto poznatků plyne závěr:
Zákon odrazu – Je–li světlo odráženo od povrchu, rovná se úhel odrazu úhlu dopadu.
α = β
2. Odraz od nedokonale odrazného povrchu
V reálném světě je třeba počítat s tím, že odraz světla od zrcadlových ploch je
komplikován dvěma příčinami:
a) zrcadlová plocha není dokonale rovná,
b) ne všechno světlo je odraženo (část je propuštěna a absorbována materiálem zrcadla).
zrcadlový odraz (hladký povrch) difúzní odraz (drsný povrch)
V praxi se jedná o kombinaci obou typů odrazů.
Silná vrstva kovu – většina světla je odražena, menší část absorbována, nic
neprochází.
Tenká kovová vrstvička – (částečně postříbřená odrazná plocha) nanesená na skle určité
tloušťky.
Dielektrická odrazná plocha – rovinné rozhraní mezi dvěma prostředími s různými indexem
lomu.
a) částečně odrazná postříbřená plocha b) dielektrická vrstva
Množství odraženého a propuštěného světla je dáno v případě:
1. tloušťkou kovové vrstvy (použití jako děliče světla, zrcadla ve výslechových
místnostech),
2. rozdílem indexů lomu v obou prostředích.
3. Zákon lomu světla (Snellův zákon)
Odvození zákona lomu z Fermatova principu
sklo
tenká kovová vrstva
dopadající paprsek
odražený paprsek
prošlý paprsek
dopadající paprsek
odražený paprsek
prošlý paprsek
n
n´
Uvažujme dvě prostředí s různými indexy lomu n a n´, oddělená rozhraním (světlo se
v prostředích šíří různou rychlostí v a v´).
Čas potřebný k proběhnutí světla z A do B
´00 vBvAt +=
nebo vyjádřeno vzdálenostmi
( )´
2222
v
xcb
v
xat −+++= .
Protože t je funkcí polohy bodu 0 x, budeme hledat minimální hodnotu funkce t(x) (derivace
dt/dx = 0)
( ) ( )( )21222122 ´11)( xcbvxavxt −+++= .
Tedy
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1221´12211 2
1
222122 −−−+++= −− xcxcb
vxxavdx
dt
Po úpravě a položení = 0
( ) 0
´ 2222
=
−+
−=
+
=
xcbv
xc
xav
x
dx
dt ,
dostaneme výraz, ze kterého vyplyne podmínka pro x odpovídající minimálnímu času t.
( )2222 ´ xcbv
xc
xav
x
−+
−=
+
.
Vyjádřeno pomocí sinu úhlů dopadu a lomu
( )2222 sin;sin xcb
xc
xa
x
−+
−=
+
= βα
dostaneme
´sinsin vv βα = .
Víme, že ´´; ncvncv ==
a tvar Snellova zákona
βα ´sinsin nn = .
n
n´
α
β
A
B
n´ n0
a
b
x
c
c-x
lom ke kolmici α > β
lom od kolmice β > α
4. Princip reverzibility paprsků
jakýkoliv skutečný paprsek v optické soustavě, pokud
změní směr, pohybuje se po stejné dráze
5. Totální odraz paprsků a "kritický úhel"
Podle Snellova zákona lomu
=
2´sinsin
πα nn
c .
Pro kritický úhel
=
n
n
c
´arcsinα .
Paprsek, který dopadá na rozhraní pod úhlem větším, než je úhel kritický se totálně odráží
(totální reflex).
n (vzduch)
n´ (voda)
α
β
n´ n0
n (voda)
n´ (vzduch)
α
β
n´ n0
n´
n
n´ n
αc α αc
ββ β=π/2
HRANOLY A DISPERZE SVĚTLA
1. Průchod paprsků hranolem
Hranolem nazýváme průhledné prostředí, které je omezeno dvěma rovinami, které nejsou
rovnoběžné (kolmý řez hranolem má tvar trojúhelníku).
Lámavá hrana – hrana u vrcholu A,
Lámavý úhel ϕ – úhel lámavých rovin,
Základna hranolu – opticky neúčinná plocha,
n – index lomu hranolu,
ε1 – úhel dopadu paprsku na lámavou rovinu,
δ – úhel deviace (úhel mezi dopadajícím a vystupujícím paprskem).
Určení lámavého úhlu a minimální deviace
Index lomu n je funkcí δmin a ϕ ⇒ ),( min ϕδn .
Celková deviace
21 δδδ += .
Určení dalších úhlů lomu na rovinách hranolu
111 ´ δεε += a ´222 εδε =−
nebo vyjádřeno jinak
´111 εεδ −= a ´222 εεδ −= .
Z toho vyplývá
( ) ( )´´ 2121 εεεεδ +−+= .
Podmínka pro minimální deviaci podle Snellova zákona lomu
minδδ = jestliže 21 εε = ( ´´ 21 εε = ).
Po derivaci funkce )( 1εδ položené = 0 dostaneme
´)(2 11min εεδ −= .
Za předpokladu, že
´´ 21 εεϕ +=
(z podmínky, že součet úhlů ve čtyřúhelníku ϕ + ε + 900 + 900 je 3600 a v trojúhelníku
εεε ++ ´´ 21 je 1800).
Při minδδ = je ´2 1εϕ = .
Dosazením do zákona lomu
n vzduch
ε1 ε2ε
1´ ε2´
δ1
δ2
δ
ε
A
ϕ
´sinsin 11 εε n=
Dostaneme pro n hranolu
( )
2sin
2sin),(
min
min ϕ
ϕδ
ϕδ
+
=n .
Za podmínky, že ϕ je malé, platí ϕϕ =sin a pro minimální deviaci platí přibližný vztah
)1((min −≅ nϕδ .
2. Rozklad světla hranolem (disperze světla)
Hranol (rovněž mřížka) se používá ve spektrálních přístrojích jako součást monochromátoru.
Proč mají různé spektrální složky jiný deviační úhel?
Různé barvy odpovídají různým λ světla – fotony mají odlišnou energii E = hf = h(c/λ).
Index lomu n hranolu není konstantní pro všechny vlnové délky.
Materiálová disperze – index lomu materiálu se mění s vlnovou délkou požitého světla (s
energií fotonu).
Úhlová disperze hranolu (nebo např. vodních
kapek)
"bílé světl
o" červená
fialová
vlnová délka
energie fotonu
400 nm 500 nm 600 nm 700 nm
5.10 J-19 4.10 J-19 3,3.10 J-19 2,8.10 J-19
n( )λ
λ
OBRAZY FORMOVANÉ PAPRSKY LOMENÝMI NEBO ODRAŽENÝMI NA
ROVINNÝCH PLOCHÁCH
1. Odraz na rovinném rozhraní
Bodový zdroj světla volně umístěný v prostoru vyzařuje paprsky do všech směrů (do celého
prostoru).
Obrazový bod – bod v prostoru, ve kterém se protínají paprsky pocházející z bodového zdroje.
• skutečný obrazový bod – světelné paprsky jsou skutečně přítomné v daném bodě
(zviditelnění na stínítku)
• virtuální obrazový bod –v obrazovém bodě se neprotínají skutečné paprsky, ale jejich
prodloužení.
Obecná pravidla pro nalezení polohy obrazového bodu (bodů) spojovaných s bodovým
zdrojem světla:
• dráhy paprsků předmětového bodu protínají existující rozhraní,
• vhodné užití zákona lomu a odrazu,
• vyznačení prodloužení skutečných paprsků čerchovanou čarou pro nalezení virtuálního
obrazového bodu,
Obraz hmotného objektu – považujeme ho za množinu jednotlivých bodových zdrojů.
zrcadlová plocha
O – předmětový bod
pozorovatel
I – (virtuální) obrazový bod
zrcadlo
pozorovatelO
3
O1 O2
předmět
I
I2I1
2. Lom na rovinném rozhraní – paraxiální paprsky
Nalezení obrazu v případě předmětu umístěného v blízkosti lomové plochy.
Po aplikaci základních pravidel pro nalezení obrazu po odrazu na rovinném rozhraní – rozpor
Obrazový bod nalezneme v "jiném místě" než bychom ho hledali ⇒ "hůl do vody ponořená
jeví se jak zalomená".
Důležitý poznatek: Minimální zkreslení získáme použitím paraxiálních paprsků.
Paraxiální paprsky – paprsky, které jsou v blízkosti optické osy zobrazující optické soustavy
(svírající malé úhly s optickou osou).
Pro nalezení obrazu (bod I) nám v tomto případě stačí dva paprsky, z nichž jeden tvoří
normálu k povrchu.
Jelikož yx=εtan a ´´tan yx=ε
a s přibližným zákonem lomu
βα ´nn = po dosazení ´´yxnyxn =
?
O
I ?
n´(vzduch)
n (voda)
paraxiální paprsky
neparaxiální
O
n´(vzduch)
n (voda)
x ε´
ε´
εI
y´y
dostaneme hloubku, ve které nalezneme obrazový bod pod lámavou rovinou
ynny ´´≅ .
Pro případ rozhraní vody (n =1,33) a vzduchu (n = 1)
y´ ≅ 3/4 y.
3. Užití hranolů k převrácení obrazu
Užitím zákona odrazu a lomu na lámavých plochách hranolů různých tvarů je možné změnit
orientaci předmětu podle potřeby dané zobrazovací soustavy.
Některé příklady:
Pravoúhlý hranol – obdoba zrcadla (vytváří však skutečný obraz).
Použijeme-li dostatečně velký index lomu hranolu, získáme obraz totálním odrazem (obdoba
zrcadla se 100% odrazivostí).
Jak velký musí být n hranolu?
Potřebujeme α = 450 ≥ αC = kritický úhel,
Z podmínky pro kritický úhel
=
nC
1arcsinα ,
potřebujeme, aby on 45sin1≥ neboli 414,12 =≥n
450
450
450
Upravený pravoúhlý hranol
Použití k přetočení obrazu beze změny optické osy
Pentagonální hranol
Podobně jako pravoúhlý hranol otáčí optickou osu o 900, ale oproti tomuto hranolu
nepřetáčí obraz stranově.
Použití u fotografických přístrojů (jednooká zrcadlovka – tvorba vzpřímeného obrazu
ve hledáčku), rozmítačů laserového svazku apod.
OBRAZY VYTVÁŘENÉ ODRAZEM A LOMEM PAPRSKŮ NA ZAKŘIVENÝCH
ROZHRANÍCH
1. Odraz na kulové ploše
Určení obrazu vytvořeného lomem nebo odrazem na zakřivených površích (obecně), je
oproti rovinným povrchům mnohem komplikovanější. Obraz může být nejen zvětšen nebo
zmenšen, ale zpravidla je vzhledem k původnímu předmětu různě pokroucen (viz. zakřivená
zrcadla).
Proto budeme předpokládat pouze ideální sférické (kulové) plochy, které jsou součástí
základních prvků optických soustav – čoček a zrcadel.
Uvažujme tvorbu obrazu I předmětového bodu O přes konvexní (vypuklou), odraznou
kulovou plochu.
Aplikujme základní pravidla určení obrazového bodu:
1. dvě dráhy paprsků vycházející z předmětového bodu
• normála ke kulové ploše,
• paprsek v paraxiálním prostoru svírající s optickou osou úhel α.
2. Pro každý paprsek aplikovat zákon odrazu,
3. využít pokračování dráhy skutečného paprsku pro nalezení virtuálního obrazového bodu.
Obrazový bod I předmětu O, jehož předmětová vzdálenost je a, najdeme na optické ose, v
obrazové vzdálenosti a´.
Poloměr křivosti R.
Uvažujme paraxiální paprsky
2πα〈〈 tedy 2´,, παφε 〈〈
Toto zjednodušení vede k tomu, že
Rh〈〈 a vzdálenost VQ je zanedbatelná
Na základě těchto předpokladů můžeme psát
φαε += a ´2 ααε +=
Porovnáním φαα 2´ −=− .
Převeďme vztahy mezi úhly na vzdálenosti
R
ε
ε
α α´
a a´O V I Q S
h
optická osa
konvexní kulové zrcadlo
φ
´´,tan ahah ≅≅≅ ααα ,
což vede k
Rhahah 2´ −=− .
Vydělením h
Raa 2´11 −=− .
Vztah obecně platný pro konvexní a konkávní povrch
Raa 2´11 −=+ .
Znaménková konvence:
• předpokládáme, že světlo přichází od levé strany k pravé, tento směr považujeme za
kladný (+),
• počátek úseček je vrchol plochy; úsečky měřené vpravo jsou kladné (+), úsečky měřené
vlevo jsou záporné (–),
• poloměr křivosti R je kladný, jeli střed křivosti C vpravo od vrcholu V ⇒ konvexní plocha
(+), poloměr křivosti je záporný pro konkávní plochu (–),
• úhel α (α´) měříme od optické osy k paprsku; ve směru pohybu ručiček je (+), proti směru
(–), podobně úhel ε (ε´).
Ohnisková vzdálenost kulového zrcadla:
Je místo na optické ose, kde se protínají paprsky jdoucí rovnoběžně s optickou osou.
Konvexní sférické zrcadlo Konkávní sférické zrcadlo
Pokud ∞→a ze zobrazovací rovnice pro sférické zrcadlo můžeme odvodit ohniskovou
vzdálenost sférického zrcadla
2Rf −=
F S S F
a´= f 0
a´= f 0
konvexní
konkávní
(+) pro konkávní zrcadla (chovají se jako spojné čočky),
(–) pro konvexní zrcadla (chovají se jako rozptylné čočky).
Na základě tohoto vztahu můžeme na
Vloženo: 25.04.2009
Velikost: 1,27 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Reference vyučujících předmětu FY2BP_KMV - Kmity, vlny, optikaPodobné materiály
- MA2BP_PAL2 - Algebra a aritmetika 2 - Skripta
- SP2BP_PPS1 - Patopsychologie 1 (psychopatologie) - Skripta Patopsychologie
- SZ7BP_DUP1 - Nástin dějin pedagogiky a úvod do pedagogiky - Skripta Dejiny_skoly_a_pedagogiky
- SZ7BP_DUP1 - Nástin dějin pedagogiky a úvod do pedagogiky - Skripta Uvod_do_pedagogiky
- SZ7BP_DUP1 - Nástin dějin pedagogiky a úvod do pedagogiky - Skripta
- SZ7BP_PsDV - Psychologie duševního vývoje - Skripta VyvojovaPsychologie_xx
- SZ7BP_SoPs - Sociální psychologie - Skripta socialni_psychologie
- SZ7BP_SP1P - Speciální pedagogika 1 - Skripta
- SZ7BP_UvPs - Úvod do psychologie - Skripta pyschologie
- SZ7BP_UvPs - Úvod do psychologie - Uvod do psychologie-skripta
- TE2BP_MTDR - Materiály a technologie - dřevo a plasty - Skripta drevo
- TE2BP_MTDR - Materiály a technologie - dřevo a plasty - Skripta plasty
- Ze2BP_GOP3 - Geografie obyvatelstva a sídel - Skripta GEOGRAFIE_OBYVATELSTVA_A_SIDEL
- SZ2BP_UFI - Úvod do filosofie - Skripta UVOD_DO_FILOSOFIE
- SZ2BP_UFI - Úvod do filosofie - Uvod do filozofie-skripta
- MA2BP_PAL1 - Algebra a aritmetika 1 - skripta od Horáka
- MA2BP_PAL1 - Algebra a aritmetika 1 - skripta od Horáka
- FY2BP_KMV - Kmity, vlny, optika - Optika_priklady
Copyright 2024 unium.cz