- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálPavel Horák
LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE I.
UČEBNÍ TEXT
2007
ÚVOD
Tento učební text je určen pro předmět M1115 Lineární algebra a geometrie I., který
je povinným předmětem v bakalářském studijním programu Matematika, studijních obo-
rech Matematika se zaměřením na vzdělávání a Matematika pro víceoborové studium na
přírodovědecké fakultě Masarykovy Univerzity v Brně. Jedná se o jednosemestrální kurz,
který je doporučeno absolvovat ve 2. semestru studia a který navazuje na předmět M1125
Základy matematiky.
Učební text předpokládá jednak elementární znalosti středoškolské matematiky a dále
pak základní znalosti látky absolvované v předmětu Základy matematiky. Po formální
stránce je výklad veden co nejpodrobněji, přičemž se vždy výslovně připomínají drob-
ná úskalí a důležité maličkosti, které by méně zkušený čtenář mohl často přehlédnout.
Z těchto důvodů má podrobné studium poznámek a komentářů přinejmenším stejný vý-
znam jako „učení secsquotedblright definic a vět. Totéž platí i pro důkazy jednotlivých tvrzení, které
jsou zde v převážné většině naprosto přirozené, průhledné a bez umělých obratů. Konec
důkazu je v textu vždy opticky označen symbolem squaresolid, umístěným na konci příslušného
řádku.
Pro označování základních číselných množin jsou v textu použity následující standardní
symboly:
N ... množina všech přirozených čísel, tzn. čísel 1,2,3,...
Z ... množina všech celých čísel
Q ... množina všech racionálních čísel
R ... množina všech reálných čísel
C ... množina všech komplexních čísel.
1
Kapitola 1
Vektorové prostory
§1. Vektorový prostor, podprostory
Pojem vektoru a vektorového prostoru je jedním ze základních pojmů moderní mate-
matiky, kterého se využívá nejenom v řadě disciplín ryzí matematiky, ale rovněž v mnoha
aplikacích, ať už v přírodních vědách nebo jinde.
Při zavádění pojmu vektorového prostoru se situace poněkud komplikuje v tom, že
pracujeme současně se dvěma algebraickými strukturami, a to s jistou komutativní grupou
(V,+), jejíž prvky budeme označovat tučnými písmeny, a dále s jistým číselným tělesem
(T,+,·). Mezi těmito dvěma strukturami pak budou platit určité vazby.
Pro zjednodušení vyjadřování si zaveďme následující úmluvu: při zapisování algebraic-
kých struktur už nebudeme vždy důsledně vypisovat symboly operací, ale často budeme
k označení celé struktury používat pouze symbol nosné množiny. Tedy např. místo o grupě
(V,+) budeme stručně hovořit o grupě V, místo o tělese (T,+,·) budeme stručně hovořit
o tělese T, atd. Přitom je však třeba mít stále na paměti, že se jedná o zjednodušené
označení, protože, jak víme, algebraickou strukturu nelze ztotožňovat pouze s její nosnou
množinou.
Definice.
Nechť V je komutativní grupa (jejíž prvky nazýváme vektory) a T je číselné těleso. Nechť
pro každé číslo t ∈ T a každý vektor u ∈ V je definován vektor t· u ∈ V tak, že pro
libovolné t,s∈T a u,v ∈V platí:
1. t·(u+v) = t·u+t·v,
2. (t+s)·u = t·u+s·u,
3. (t·s)·u = t·(s·u),
4. 1·u = u
Potom V se nazývá vektorový prostor nad tělesem T.
Označení.
Nulový prvek grupy V se nazývá nulový vektor a označuje se symbolem o. Opačný prvek
k vektoru u se nazývá opačný vektor k vektoru u a označuje se symbolem −u. Vektor
t·u se nazývá součin čísla t s vektorem u.
Poznámka.
Výše definovaný součin čísla s vektorem je vlastně speciálním typem zobrazení, a sice
zobrazením T ×V → V, které se někdy nazývá vnější operace, na rozdíl od (binární)
operace na množině, např. V, což je zobrazení V ×V → V, které se pak nazývá vnitřní
operace.
V definici vektorového prostoru se setkáváme se třemi vnitřními operacemi a jednou
vnější operací, přičemž některé z nich označujeme stejnými symboly (sčítání veV a sčítání
vT symbolem +, resp. násobení vT a součin čísla s vektorem symbolem ·). I když nemůže
dojít k nedorozumění (vzhledem k tomu, že vektory z V a čísla z T odlišujeme graficky),
je třeba si tuto skutečnost dobře uvědomit.
2
Připomeňme, že máme-li korektně definovat nějaký konkrétní vektorový prostor, pak
z předchozí definice plyne, že musíme:
1. zadat číselné těleso T,
2. zadat množinu vektorů V,
3. zadat, jak je definováno sčítání vektorů,
4. zadat, jak je definován součin čísla z T s vektorem z V,
5. ověřit, že (V,+) je komutativní grupa a že platí vlastnosti 1. až 4. z definice vekto-
rového prostoru.
Příklad 1.1.
1. Vektorový prostor Tn .
Nechť T je libovolné číselné těleso a nechť množinou vektorů je
Tn = {(x1,...,xn) | x1,...,xn ∈T}
(tzn. Tn je množina všech uspořádaných n-tic prvků z tělesa T). Definujme pro libovolné
u = (u1,...,un), v = (v1,...,vn) ∈Tn a libovolné t∈T:
u+v = (u1 +v1,...,un +vn) a t·u = (t·u1,...,t·un),
kde symboly +, resp. · na pravých stranách značí obyčejné sčítání, resp. násobení čísel
(stručně říkáme, že sčítání vektorů a násobení čísla s vektorem je definováno „po slož-
káchcsquotedblright). Pak (Tn,+) je komutativní grupa a lehce se ověří, že platí vlastnosti 1. až 4.
z definice vektorového prostoru.
Tedy Tn je vektorovým prostorem nad tělesem T.
Poznamenejme, že nulovým vektorem je ve vektorovém prostoru Tn zřejmě uspořádaná
n-tice (0,0,...,0) a opačným vektorem k (u1,...,un) je vektor (−u1,...,−un).
Speciálně, například R3 , Q5 , C2 , Q(√2 )4, atd. jsou různé vektorové prostory tohoto
typu.
2. Vektorový prostor R[x].
Číselným tělesem nechť je těleso R reálných čísel. Množinou vektorů bude množina všech
polynomů o neurčité x s reálnými koeficienty, kterou označíme symbolem R[x]. Sčítání
vektorů definujeme jako obvyklé sčítání polynomů a součin čísla s vektorem definujeme
jako obvyklé násobení reálného čísla s polynomem. Lehce se ověří, že (R[x],+) je komu-
tativní grupa a že platí vlastnosti 1. až 4. z definice vektorového prostoru.
Tedy R[x] je vektorovým prostorem nad tělesem R.
Nulovým vektorem tohoto vektorového prostoru je pak zřejmě tzv. nulový polynom, tj.
polynom, jehož všechny koeficienty jsou nulové.
3. Vektorový prostor Rn[x].
Nechťnje pevné přirozené číslo. Vezměme opět tělesoRreálných čísel a množinou vektorů
nechť je množina sestávající z nulového polynomu a dále ze všech polynomů o neurčité x
s reálnými koeficienty stupně ≤n, kterou označíme symbolem Rn[x]. Tedy:
Rn[x] = {anxn +an−1xn−1 +···+a1x+a0 | a0,a1,...,an ∈R}.
Sčítání vektorů a součin čísla s vektorem definujeme stejně jako v předchozím příkladu.
Lehce se ověří, že (Rn[x],+) je komutativní grupa a že platí vlastnosti 1. až 4. z definice
vektorového prostoru.
Tedy Rn[x] je vektorovým prostorem nad tělesem R.
3
4. Nulový vektorový prostor.
Nechť T je libovolné číselné těleso a V = {o} je libovolná jednoprvková množina. Sčítání
vektorů a součin čísla s vektorem definujeme (jediným možným způsobem) takto:
o+o = o a t·o = o, pro každé t∈T.
Pak zřejmě (V,+) je komutativní grupa a platí vlastnosti 1. až 4. z definice vektorového
prostoru.
Tedy V je vektorový prostor nad tělesem T, který budeme nazývat nulový vektorový
prostor (nad T). Je to tedy vektorový prostor obsahující jediný vektor – a to nulový.
Poznámka.
Uvědomme si, že množina vektorů V je vždy neprázdná, dále že nulový vektor ve V
existuje jediný a opačný vektor k libovolnému vektoru z V existuje rovněž jediný (to vše
plyne ihned z faktu, že (V,+) je grupa). Přitom je potřeba důsledně rozlišovat symboly
o a 0, tzn. nulový vektor a číslo nula.
Dále připomeňme, že podle obvyklé úmluvy budeme místo u+(−v) psát stručně u−v.
V následující větě nyní uvedeme další základní pravidla pro počítání s vektory.
Věta 1.1.
Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T, nechť t,s,∈T, u,v ∈V . Pak platí:
1. t·(u−v) = t·u−t·v
2. (t−s)·u = t·u−s·u
3. t·u = o ⇐⇒ t = 0 nebo u = o
4. t·(−u) = (−t)·u = −(t·u); speciálně pak (−1)·u = −u.
Důkaz.
Důkaz provedeme užitím předchozí úmluvy a užitím axiomů 1. až 4. z definice vektorového
prostoru, případně užitím již dokázaných početních pravidel. Rozmyslete si vždy sami,
která z uvedených vlastností se právě používá.
1: t·(u−v) = t·parenleftbigu+ (−v)parenrightbig+t·v−t·v = t·parenleftbigu+ (−v) +vparenrightbig−t·v = t·u−t·v.
2: (t−s)·u = parenleftbigt+ (−s)parenrightbig·u+s·u−s·u = parenleftbigt+ (−s) +sparenrightbig·u−s·u = t·u−s·u.
3: dokážeme postupně obě implikace.
„⇒csquotedblright: Nechť t·u = o a nechť tnegationslash= 0. Potom je:
u = 1·u = parenleftbig1t ·tparenrightbig·u = 1t ·(t·u) = 1t ·o = 1t ·(o−o) = 1t ·o− 1t ·o = o.
„⇐csquotedblright: Je-li t = 0, pak t·u = 0·u = (0−0)·u = 0·u−0·u = o.
Je-li u = o, pak t·u = t·o = t·(o−o) = t·o−t·o = o.
4: t·(−u) = t·(o−u) = t·o−t·u = o−t·u = −(t·u),
(−t)·u = (0−t)·u = 0·u−t·u = o−t·u = −(t·u). squaresolid
Poznámka.
V předchozí větě je důležitá zejména její třetí část, která uvádí nutnou a dostatečnou
podmínku pro to, aby součin čísla s vektorem byl roven nulovému vektoru. Pomocí ní
můžeme mimo jiné upřesnit naši představu o počtu vektorů ve vektorovém prostoru.
4
Je-li V libovolný vektorový prostor nad T různý od nulového prostoru (jinými slovy
řečeno – prostor V obsahuje alespoň jeden nenulový vektor), pak musí tento vektorový
prostor obsahovat nekonečně mnoho vektorů.
Vezmeme-li totiž libovolný nenulový vektor u ∈ V a tvoříme součiny všech prvků
z číselného tělesa T (kterých je nekonečně mnoho, protože, jak víme, každé číselné těleso
T obsahuje množinu racionálních čísel Q) s tímto vektorem u, dostáváme nekonečně
mnoho navzájem různých vektorů, protože platí:
u negationslash= o ∧ t1 negationslash= t2 =⇒ t1 ·u negationslash= t2 ·u.
Dokažme toto tvrzení (nepřímo).
Je-li t1 ·u = t2 ·u a u negationslash= o, pak (t1 −t2)·u = o, odkud podle věty 1.1.3. plyne, že je
(t1 −t2) = 0, neboli t1 = t2 .
Vidíme tedy, že vektorový prostor nad číselným tělesem musí sestávat buď z jednoho
vektoru (nulového) nebo z nekonečně mnoha vektorů.
Definice.
Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T. Neprázdná podmnožina U množiny V se
nazývá podprostor vektorového prostoru V, jestliže platí:
1. u,v ∈U libovolné =⇒ u+v ∈U
2. t∈T, u ∈U libovolné =⇒ t·u ∈U.
Poznámka.
1. Lehce se dá ověřit (proveďte si podrobně sami!), že podmínky 1. a 2. z předchozí definice
jsou ekvivalentní následující jediné podmínce:
3. u,v ∈U, t,s∈T libovolné =⇒ t·u+s·v ∈U.
2. Každý podprostor U vektorového prostoru V musí vždycky obsahovat nulový vektor
(je-li u ∈U libovolný, pak podle 2. a podle věty 1.1.3. je 0·u = o ∈U).
Vidíme tedy, že dva podprostory vektorového prostoru V nemohou být nikdy disjunktní!!
Věta 1.2.
Nechť U je podprostor vektorového prostoru V nad tělesem T. Pak U je sám vektoro-
vým prostorem nad tělesem T.
Důkaz.
Součet dvou vektorů z U, resp. součin čísla z T s vektorem z U jsou definovány stejně
jako ve V. Definice podprostoru nám potom zaručuje, že jde o vnitřní operaci, resp. vnější
operaci na U.
Nyní dokážeme, že (U,+) je komutativní grupa, a to tak, že dokážeme, že (U,+) je
podgrupou grupy (V,+). K tomu stačí (jak víme) například dokázat, že pro dva vektory
u,v ∈U platí: u−v ∈U.
Nechť u,v ∈U libovolné. Pak (−1)·v = −v ∈U, a tedy u−v = u + (−v) ∈U (podle
věty 1.1.4. a definice podprostoru). Tedy (U,+) je komutativní grupou.
Podmínky 1. až 4. z definice vektorového prostoru jsou v U zřejmě splněny (poněvadž
jsou splněny v celém V).
Tedy U je vektorový prostor nad tělesem T. squaresolid
5
Příklad 1.2.
1. Nechť V je libovolný vektorový prostor nad tělesem T. Pak zřejmě
U = {o} a U = V
jsou vždy podprostory ve V. Tyto dva podprostory se nazývají triviální podprostory.
Všechny ostatní podprostory ve V (pokud existují) se nazývají netriviální podprostory.
2. Uvažme vektorový prostor R3 (viz příklad 1.1.1.). Potom například:
U1 = {(x,y,0) | x,y ∈R lib.} je podprostor vektorového prostoru R3 ,
U2 = {(x,y,z) | x,y,z ∈R ∧ x−2y+ 3z = 0} je podprostor v R3 ,
Nechť (a,b,c) je pevný vektor prostoru R3. Potom
U3 = {k·(a,b,c) | k ∈R} je podprostor v R3.
Z posledního příkladu je vidět, že vektorový prostor R3 obsahuje nekonečně mnoho pod-
prostorů. Na druhé straně je jasné, že každá podmnožina v R3 nemusí být podprostorem
R3. Například U4 = {(x,y,1) | x,y ∈R} není podprostorem v R3 (zdůvodněte proč!).
3. Uvažme vektorový prostor R[x] všech polynomů (viz příklad 1.1.2.). Pak např.:
U1 = {f(x) ∈R[x] | f(x) = f(−x)} je podprostor v R[x]
U2 = {f(x) ∈R[x] | 2·f(0) + 3·f(1) = 0} je podprostor v R[x].
Na druhé straně například množina U3 = {x2 +ax+b | a,b∈R lib.} není podprostorem
v R[x] (proč ?).
Definice.
Nechť V je vektorový prostor nad T , nechť u1,...,uk je konečná posloupnost vektorů
z V a t1,...,tk ∈T. Pak vektor:
u = t1 ·u1 +···+tk ·uk
se nazývá lineární kombinace vektorů u1,...,uk.
Množinu všech lineárních kombinací vektorů u1,...,uk budeme nazývat lineární obal
vektorů u1,...,uk a budeme ji označovat symbolem L(u1,...,uk). Je tedy
L(u1,...,uk) = {t1·u1 + ... + tk·uk | t1,...,tk ∈T libovolné}.
Poznámka.
1. V předchozí definici hovoříme o „konečné posloupnosti vektorů u1,...,ukcsquotedblright. Znamená
to, že je možné, aby se zde některý z vektorů vyskytoval případně vícekrát (tzn. může
se stát, že ui = uj pro i negationslash= j) a dále, že vektory chápeme v uvedeném pořadí (tento
fakt však bude hrát důležitou roli až v posledním paragrafu této kapitoly). Z důvodů
stručnosti budeme však v dalším místo „konečná posloupnost vektorů u1,...,ukcsquotedblright říkat
obvykle pouze „vektory u1,...,ukcsquotedblright.
2. SymbolL(u1,...,uk) označuje množinu všech (možných) lineárních kombinací vektorů
u1,...,uk, kterých je zřejmě obecně nekonečně mnoho. Uvědomme si dále, že množina
L(u1,...,uk) obsahuje vždy mimo jiné:
– každý z vektorů u1,...,uk (neboť ui = 0·u1+···+0·ui−1+1·ui+0·ui+1+···+0·uk)
– nulový vektor (neboť o = 0·u1 +···+ 0·uk).
6
Věta 1.3.
Nechť V je vektorový prostor nad T a nechť u1,...,uk je konečná posloupnost vektorů
z V. Pak lineární obal L(u1,...,uk) je podprostorem ve V.
Důkaz.
Tvrzení dostaneme bezprostředním ověřením definice podprostoru. squaresolid
V tomto textu budeme často dokazovat, že lineární obaly dvou konečných posloup-
ností vektorů jsou v inkluzi nebo že se rovnají. Následující věta nám umožní zjednodušit
technické výpočty při těchto důkazech.
Věta 1.4.
Nechť V je vektorový prostor nad T a nechť u1,...,uk a v1,...,vs jsou konečné po-
sloupnosti vektorů z V. Pak platí:
u1,...,uk ∈L(v1,...,vs) =⇒ L(u1,...,uk) ⊆L(v1,...,vs).
Důkaz.
Tvrzení se dokáže bezprostředním technickým rozepsáním. squaresolid
Jak již bylo řečeno, předchozí větu lze s výhodou použít při práci s lineárními obaly
vektorů. Například k tomu, abychom dokázali, že platí množinová rovnost
L(u1,...,uk) = L(v1,...,vs)
tedy na základě předchozí věty stačí dokázat, že platí
u1,...,uk ∈L(v1,...,vs)
a dále, že platí
v1,...,vs ∈L(u1,...,uk).
7
§2. Generování podprostorů
Na úvod tohoto paragrafu si nejprve všimneme chování podprostorů vektorového pro-
storu vzhledem k množinovému průniku. Ukážeme, že průnik libovolného systému pod-
prostorů vektorového prostoruV je opět podprostorem veV. Všimněte si přitom způsobu,
jak jsou uvažované podprostory označovány. Vzhledem k tomu, že nevíme ”kolik” jich je,
musíme k jejich označování použít indexovou množinu.
Věta 2.1.
Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T, nechť I je neprázdná indexová množina
a nechť pro každé α∈I je Uα podprostor ve V. Potom
intersectiontext
α∈I
Uα je podprostor ve V.
Důkaz.
Množina
intersectiontext
α∈I
Uα je zřejmě neprázdná (neboť obsahuje jistě nulový vektor o). Zbývá tedy
ověřit platnost podmínek 1. a 2. z definice podprostoru.
Nechť u,v ∈
intersectiontext
α∈I
Uα, t∈T libovolné. Potom u,v ∈Uα pro každé α∈I, a tedy (poněvadž
Uα je podprostor) je také u +v ∈Uα a t·u ∈Uα pro každé α ∈I. To však znamená,
že u+v ∈
intersectiontext
α∈I
Uα a t·u ∈
intersectiontext
α∈I
Uα . Podmínky 1. a 2. jsou tedy splněny. squaresolid
Poznamenejme, že indexová množina I byla libovolná (neprázdná), a tedy předchozí
věta platí jak pro konečný, tak pro nekonečný počet podprostorů. Stručně řečeno, věta
tvrdí, že průnikem libovolného počtu podprostorů ve V je opět podprostor ve V. Tohoto
faktu využijeme v následující důležité úvaze.
NechťM je libovolná podmnožina vektorového prostoruV (tzn.M obecně není podpro-
storem!). Pak existuje alespoň jeden podprostor obsahující množinu M (např. celý prostor
V má tuto vlastnost). Můžeme tedy utvořit průnik všech podprostorů ve V obsahujících
množinu M, který označme symbolem [M] (čti ”M v hranaté závorce”). Tedy:
[M] =
intersectiontext
Uα (Uα je podprostor ve V takový, že M ⊆Uα ) (1)
a platí následující tvrzení.
Věta 2.2.
Nechť M je libovolná podmnožina ve vektorovém prostoru V. Potom:
1. [M] je podprostor ve V,
2. [M] je nejmenší (vzhledem k ⊆) podprostor ve V obsahující množinu M.
Důkaz.
1: Plyne ihned z věty 2.1.
2: Plyne z 1 a ze základních vlastností množinového průniku. squaresolid
Může se stát, že množinaM je prázdná. Potom je [∅] = {o}, tj. podprostor generovaný
prázdnou množinou je roven nulovému podprostoru (rozmyslete si proč).
8
Je-li množina M konečná, např. M = {u1,...,uk}, pak místo symbolu [{u1,...,uk}]
budeme psát stručněji [u1,...,uk] (čti ”u1 až uk v hranaté závorce”). Je tedy:
[u1,...,uk] =
intersectiontext
Uα (Uα je podprostor ve V takový, že u1,...,uk ∈Uα ) (2)
Definice.
Nechť M je podmnožina ve vektorovém prostoru V. Pak podprostor [M] se nazývá pod-
prostor generovaný množinou M.
Dále, podprostor [u1,...,uk] se nazývá podprostor generovaný vektory u1,...,uk a
vektory u1,...,uk se nazývají generátory tohoto podprostoru.
Poznámka.
V předchozí úvaze a definici jsme hovořili o podprostoru generovaném konečnou množinou
vektorů. Je zřejmě, že místo „konečné množiny vektorůcsquotedblright můžeme vzít též „konečnou
posloupnost v
Vloženo: 25.04.2009
Velikost: 726,49 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu MA2BP_PAL2 - Algebra a aritmetika 2
Reference vyučujících předmětu MA2BP_PAL2 - Algebra a aritmetika 2
Podobné materiály
- FY2BP_KMV - Kmity, vlny, optika - Skripta optika
- SP2BP_PPS1 - Patopsychologie 1 (psychopatologie) - Skripta Patopsychologie
- SZ7BP_DUP1 - Nástin dějin pedagogiky a úvod do pedagogiky - Skripta Dejiny_skoly_a_pedagogiky
- SZ7BP_DUP1 - Nástin dějin pedagogiky a úvod do pedagogiky - Skripta Uvod_do_pedagogiky
- SZ7BP_DUP1 - Nástin dějin pedagogiky a úvod do pedagogiky - Skripta
- SZ7BP_PsDV - Psychologie duševního vývoje - Skripta VyvojovaPsychologie_xx
- SZ7BP_SoPs - Sociální psychologie - Skripta socialni_psychologie
- SZ7BP_SP1P - Speciální pedagogika 1 - Skripta
- SZ7BP_UvPs - Úvod do psychologie - Skripta pyschologie
- SZ7BP_UvPs - Úvod do psychologie - Uvod do psychologie-skripta
- TE2BP_MTDR - Materiály a technologie - dřevo a plasty - Skripta drevo
- TE2BP_MTDR - Materiály a technologie - dřevo a plasty - Skripta plasty
- Ze2BP_GOP3 - Geografie obyvatelstva a sídel - Skripta GEOGRAFIE_OBYVATELSTVA_A_SIDEL
- SZ2BP_UFI - Úvod do filosofie - Skripta UVOD_DO_FILOSOFIE
- SZ2BP_UFI - Úvod do filosofie - Uvod do filozofie-skripta
- MA2BP_PAL1 - Algebra a aritmetika 1 - skripta od Horáka
- MA2BP_PAL1 - Algebra a aritmetika 1 - skripta od Horáka
Copyright 2024 unium.cz