- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál. Když si nyní graf pozorně prohlédneme, jistě nebudeme
pochybovat o tom, že vzájemný poměr y∆ a x∆ je schopen vyjádřit naklonění
přímky f . Této skutečnosti analytická geometrie využívá a zavádí pojem směrnice
přímky, což je číslo, které se rovná podílu xy∆∆ . Je-li naklonění přímky popsáno směrnicí,
nazývá se směr4.
Směrnice přímky f = xy∆∆ , neboli
0
0
xx
yy
−
− , což lze rovněž zapsat jako ( ) ( )
0
0
xx
xfxf
−
− .
Poslední formu zápisu berme jako přednostní. Později se nám to vyplatí, neboť až si
budeme odvozovat, co je derivace funkce, bude tento zápis nejsnáze použitelný.
Zamyslíme-li se nyní nad vzájemnou souvislostí úhlu α a směrnicí přímky f za
předpokladu, že osy x a y budou shodně kalibrovány, jistě nebude těžké ji odhalit.
Ze středoškolské nauky o základních goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku
víme, že podíl odvěsny úhlu α protilehlé (v našem případě y∆ ) ku odvěsně úhlu α
přilehlé (v našem případě x∆ ) je definován jako tangens orientovaného úhlu α.
Tedy:
směrnice přepony = xy∆∆ = )tan(α
Pozor! Zdůrazněme ještě jednou, že tento vztah platí pouze tehdy, když jsou osy
x a y kalibrovány shodně!
Nyní si tedy znovu zopakujme závěr a neopomeňme se jej naučit a zároveň mu
dokonale rozumět tak, abychom jej byli schopni kdykoliv v budoucnosti vysvětlit:
směrnice přímky v kartézské soustavě souřadnic = ( ) ( )
0
0
xx
xfxf
−
−
4 Význam pojmu „směr“ v analytické geometrii nemusí být vždy každému ihned zcela zřejmý, někomu může
dokonce ze začátku připadat matoucí. V běžném životě jsme totiž zvyklí používat pojem „směr“ spíše pro
dynamické jevy jako je pohyb, kdy jde vlastně o to, kterou stranou začneme a kterou skončíme. Hovoříme
například o směru zprava doleva či shora dolů. V analytické geometrii má pojem „směr“ význam poněkud
odlišný – znamená totiž naklonění vyjádřené pomocí směrnice.
23
V tomto kontextu se zmíním ještě o jednom důležitém postřehu o směrnici
přímky. Víme, že přímka je grafem afinní funkce. Zapíšeme-li takovou afinní funkci f
matematickým výrazem, pak směrnice přímky, která je grafem této funkce, bude vždy
ztělesněna koeficientem před proměnnou x . Ukažme si to názorně. Velmi jednoduchou
afinní (a dokonce lineární) funkcí je např. funkce xxf 3)( = , což můžeme samozřejmě
zapsat také jako xy 3= . A právě tato trojka stojící před proměnnou x je směrnicí
přímky, která je grafem této funkce. Je tomu tak proto, že funkce xy 3= vlastně říká, že
y bude vždy trojnásobkem čísla x . Z toho však samozřejmě také logicky vyplývá, že
y∆ bude vždy trojnásobkem x∆ . A protože směrnice se rovná podílu xy∆∆ , bude rovna 3.
To samozřejmě platí i pro ty afinní funkce, které obsahují navíc nějaký absolutní člen,
např. ve funkci 62)( += xxf je směrnicí číslo 2.
Shrnutí:
1) Naklonění přímky vyjádřené úhlem se nazývá sklon. Sklon vystihuje pouze
vizuální aspekt naklonění.
2) Naklonění přímky vyjádřené směrnicí se nazývá směr.
3) Směrnice je číslo, které je dáno poměrem xy∆∆ , neboli
0
0
xx
yy
−
− , čili ( ) ( )
0
0
xx
xfxf
−
− .
4) V matematickém zápisu afinní funkce odpovídá směrnice koeficientu před
proměnnou x .
24
2.2 Sklon přímek ve vztahu ke směrnici
V této podkapitole si do kartézské soustavy souřadnic znázorníme přímky ve
všech typických sklonech a popíšeme si základní vlastnosti jejich směrnic. Abychom si
jednotlivé případy ukázali co nejnázorněji, budeme postupovat systematicky tak, že do
grafu načrtneme přímku p a poté ji v každém dalším grafu „pootočíme“ po směru
hodinových ručiček oproti grafu předchozímu. Tím nám vzniknou následující čtyři grafy,
které popisují všechny základní možnosti sklonu přímky p:
GRAF 1: GRAF 2:
y p y
f(x)
f(x)=f(x0) p
f(x0)
0 x0 x x 0 x0 x x
GRAF 3: GRAF 4.
y p y p
f(x0)
f(x)
0 x0 x x 0 x=x0 x
GRAF 1: V tomto základním případě má přímka rostoucí sklon. Zde platí:
x> 0x ⇒ x∆ je kladná,
)(xf > )( 0xf ⇒ y∆ je kladná,
a proto ⇒++≈∆∆xy směrnice je kladná.
Závěr: Má-li přímka rostoucí sklon, je její směrnice kladná.
GRAF 2: Zde je přímka vodorovná. Proto platí:
x> 0x ⇒ x∆ je kladná,
)(xf = )( 0xf ⇒ y∆ =0,
a proto ⇒+≈∆∆ 0xy směrnice je rovna nule.
Závěr: Je-li přímka horizontálou, je její směrnice rovna nule.
25
GRAF 3: V tomto případě má přímka klesající sklon. Zde platí:
x> 0x ⇒ x∆ je kladná,
)(xf > )( 0xf ⇒ y∆ je záporná,
a proto ⇒+−≈∆∆xy směrnice je záporná.
Závěr: Má-li přímka klesající sklon, je její směrnice záporná.
GRAF 4: Zde je přímka svislou kolmicí k ose x. Zde platí:
x= 0x ⇒ 0=∆x ,
vztah mezi )(xf a )( 0xf není definován,
a proto ⇒∞≈∆∆ 0xy směrnice neexistuje.
Závěr: Je-li přímka vertikálou, nemá směrnici. Jde o tzv. přímku bez směrnice.
Závěry uvedené v této podkapitole jsou velmi důležité pro výklad v následujících
kapitolách. Velkou důležitost budou mít například při vyšetřování průběhu funkcí.
26
3. LIMITA FUNKCE
3.1 Význam pojmu „limita funkce“
Málokterý pojem se při výuce matematiky stává tak často obětí mylných
interpretací, jako právě pojem „limita funkce“. Při rozhovorech se svými kolegy z prvního
ročníku ESF jsem dospěl k neradostnému závěru, že povážlivá část studentů si limitu
funkce představuje jako cosi „přibližného“, „nepřesného“, takřka podobného
zaokrouhlování. Když jsem se snažil si tento jev zdůvodnit, napadla mě jediná možná
příčina: Při práci s limitami se používá slovního spojení „ x se blíží k…“, např. v konkrétní
podobě „ x se blíží k deseti“, což si následně mnozí vykládají jako „ x je přibližně deset“.
Z této iluze jakéhosi domnělého „zaokrouhlování“ pak vychází celá chybná představa o
významu výrazu limita funkce. Uveďme proto nyní představu o limitě na pravou míru.
Předně si jednou pro vždy ujasněme, že limita je naprosto přesné číslo, nikoliv
nějaká přibližná či zaokrouhlená hodnota. Na následujícím grafu názorně ukážu, co limita
funkce vyjadřuje.
Nejprve načrtněme zajímavou, velmi specifickou funkci f . Nebudeme ji
přepisovat matematickým zápisem, který by byl k našemu účelu nepotřebný, ale
znázorníme si ji pouhým grafem. Budiž předem dáno, že tato funkce bude mít tu
vlastnost, že pro jakékoliv x bude její funkční hodnota y tomuto x rovna (tedy
pro 1=x bude 1=y , pro 2=x bude 2=y , apod.), ovšem s jednou jedinou
výjimkou: funkční hodnota pro 5=x nebude rovna 5, nýbrž 6:
y f
6
5 o
4 -
3 -
2 -
1 -
| | | | | | | | x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
27
Až si čtenář výše načrtnutou funkci v klidu prohlédne, rád bych mu položil
následující soubor otázek. Ačkoliv na každou z nich ihned také odpovím, doporučuji
čtenáři, aby to zkusil udělat sám za sebe:
• Jaká je funkční hodnota f v bodě 1=x ? Správná odpověď: 1
• Jaká je funkční hodnota f v bodě 2=x ? Správná odpověď: 2
• Jaká je funkční hodnota f v bodě 3=x ? Správná odpověď: 3
• Jaká je funkční hodnota f v bodě 4=x ? Správná odpověď: 4
• Jaká je funkční hodnota f v bodě 5=x ? Správná odpověď: 6 ← Důležité!
Nyní se však zeptejme jinak:
• Jaká je limita funkce f pro x se blíží k 1? Správná odpověď: 1
• Jaká je limita funkce f pro x se blíží k 2? Správná odpověď: 2
• Jaká je limita funkce f pro x se blíží k 3? Správná odpověď: 3
• Jaká je limita funkce f pro x se blíží k 4? Správná odpověď: 4
• Jaká je limita funkce f pro x se blíží k 5? Správná odpověď: 5 ← POZOR!!!
Na tomto místě je extrémně důležité srovnat si především odpovědi na otázku
poslední z každé pětice otázek. Funkci jsme navrhli již s tím předpokladem, že její
funkční hodnota v bodě 5 nebude 5, nýbrž 6. To je také odpovědí na pátou otázku
tázající se na funkční hodnotu. Co však znamená tvrzení, že ačkoliv funkční
hodnota pro 5=x je rovna 6, limita této funkce pro x se blíží k 5 je rovna 5?
Odpověď snad nejlépe pochopíme, pokusíme-li otázku týkající se limity položit
jinými slovy, než plně korektním jazykem matematických definic. Níže nabízím několik
alternativ, jak takovou otázku položit:
„Bude-li se x na ose x přibližovat co nejtěsněji k číslu 5 aniž by s ním splynula, ke
kterému číslu se bude na ose y co nejtěsněji přibližovat jemu odpovídající y , aniž by
s ním splynulo?“
Již z této otázky je patrná odpověď, že to nebude číslo 6, nýbrž číslo 5.
Otázku můžeme formulovat i jinak:
„Jestliže za x dosadíme takové číslo nerovné pěti, které bude číslu 5 co nejbližší,
kterému číslu bude co nejbližší číslo y , které bude funkční hodnotou pro x ?“
Nebo:
„Jestliže číslo x bude těsně sousedit s číslem 5, se kterým číslem bude těsně
sousedit číslo )(xf ?“
Asi nejlepší, nejkorektnější a přitom matematicky již v podstatě bezchybná
otázka, která mě napadá, je následující:
„Kdyby byla funkce v bodě 5=x spojitá, jaká by byla v tomto bodě její
funkční hodnota?“ Tentokrát již jistě odpovíme správně. Kdyby byla funkce v bodě
5=x spojitá, neplatila by právě ona výjimečná vlastnost, že pro 5=x je její funkční
hodnota rovna 6. Její funkční hodnota by se rovnala 5.
Z této poslední otázky bych si nyní dovolil nabídnout čtenáři vytvoření své vlastní
vysvětlení pojmu limita funkce, které je sice poněkud amatérské, nicméně proti jeho
významu nelze ani z odborného hlediska mnoho namítat:
28
Limita funkce f pro x se blíží ke konkrétnímu číslu 0x je takové číslo,
které by odpovídalo funkční hodnotě funkce f pro 0x tehdy, kdyby funkce f
byla v tomto bodě spojitá.5
Ještě by bylo užitečné dodat, že při výpočtu limity tudíž vlastně vůbec nezáleží na
tom, zda funkce v bodě 0x spojitá je či nikoliv. Z toho plyne, že dokonce vlastně vůbec
nezáleží ani na tom, jakou má funkce v bodě 0x funkční hodnotu, ani na tom, zda je
funkce pro daný bod 0x vůbec definována či nikoliv. POZOR! Důležitou vstupní
podmínkou při výpočtu limity jakékoliv funkce však je, aby tato funkce byla
definována v bodech v okolí bodu 0x , protože jedině tak je možné hovořit o „těsném
sousedství“ s bodem 0x .
Zakončeme tuto kapitolu poučením o tom, jak se správně zapisuje výraz s limitou
funkce. Mezinárodně kodifikovaný přepis slovního spojení „limita funkce f pro x se blíží
k 0x se rovná a“ je následující:
axf
xx
=
→
)(lim
0
Některá slovní spojení se mohou mírně lišit, vyslovují-li je různí matematičtí
experti. Např. výraz:
0)(lim =
∞→
xf
x
mohou někteří matematici číst jako „limita )(xf pro x jdoucí k nekonečnu.“
Je samozřejmé, že v zápisu může být funkce uvedena i konkrétně:
2)arctan(lim
pi=
∞→
x
x
tedy „Limita funkce )arctan(x pro x jdoucí k nekonečnu je rovna 2pi .
Účelem této kapitoly bylo prozatím vysvětlit čtenáři význam pojmu limita funkce
tak, aby byl schopen si představit, co limita vyjadřuje a k čemu může při mnohých
typech výpočtů sloužit. V následující kapitole si ukážeme, jak konkrétně se limita funkce
počítá.
5 Ačkoliv je toto vysvětlení zcela pravdivé a velmi dobře srozumitelné, nelze jej považovat za definici. Důvod je
ten, že limita funkce obvykle není v matematice definována pomocí spojitosti, neboť standardní definice funguje
přesně opačně: spojitost funkce se definuje pomocí již zavedeného pojmu limity. Definice spojitosti funkce zní:
Funkce je v daném bodě spojitá, jestliže její limita v daném bodě je rovna její funkční hodnotě. Důvod, proč zde
vysvětluji danou souvislost opačně, je moje osobní zkušenost, že zatímco význam pojmu „funkce spojitá
v daném bodě“ je většině studentů bez problému jasný, pojmem „limita funkce v daném bodě“ je často chápán
se značnými obtížemi. Dalším důvodem, proč vysvětluji pojem limita pomocí spojitosti funkce, je fakt, že zcela
standardní metoda výpočtu limity je založena právě na takovém postupu, že původní funkce v daném bodě
nespojitá se algebraickými upraví na jinou funkci, která již v daném bodě spojitá je, přičemž limita funkce
původní se vypočte jako funkční hodnota funkce upravené (tento postup ukážu v následující podkapitole
„Základní postupy při výpočtu limity funkce“).
29
3.2 Účel a použití výpočtů pomocí limity
Zatím jsme si sice vysvětlili, co limita funkce vyjadřuje. K čemu nám však může
posloužit? Limita funkce je v matematice nesmírně důležitý nástroj. V této podkapitole je
nutno seznámit čtenáře s praktickým užitím, pro něž byla limita funkce objevena.
Při vysvětlování významu pojmu limita funkce jsme si ukázali, že při výpočtu
limity funkce pro 0xx → vůbec nezáleží na tom, jaká je funkční hodnota dané funkce
v bodě 0x , ba dokonce nezáleží ani na tom, zda daná funkce v bodě 0x vůbec nějakou
funkční hodnotu má (neboli zda je pro 0x definována). Z toho vyplývá velmi
pozoruhodný a nesmírně cenný závěr: Jelikož při výpočtu limit funkcí nezáleží na
tom, zda je funkce v daném bodě definována, umožní nám existence limity
vypočítat takové hodnoty, které bychom pouhým dosazením za x do funkce a
následným vypočtením její funkční hodnoty nespočítali. Takové situace jsou
v podstatě dvě:
1) Dělení nulou. Případ, kdy výpočet funkční hodnoty dané funkce není
možný, protože dosazením daného čísla za x by ve jmenovateli vznikla
nula. Protože nulou nedělíme, vypočteme nikoliv funkční hodnotu dané
funkce pro číslo 0x , nýbrž její limitu pro 0xx → . Jinými slovy, budeme-
li mít lomenou funkci )(xf s proměnnou x ve jmenovateli takovou, že
po dosazení určitého konkrétního čísla za x by se jmenovatel rovnal
nule, znamená to, že funkce není pro toto konkrétní číslo definována.
Pokud ovšem budeme i přesto trvat na tom, že potřebujeme zjistit, jaká
hodnota by po dosazení x vyšla, kdyby v tomto bodě daná funkce
definována byla, máme možnost výsledek vypočítat právě pomocí
limity.
2) Výpočty s nekonečnem. V matematice platí, že nekonečno není číslo,
nýbrž množství větší než kterékoliv číslo. V důsledku toho je
opodstatněné pravidlo, že nekonečno se do funkcí nedosazuje,
neboť funkční hodnoty nejsou pro nekonečno definovány. Z toho
důvodu v takových situacích počítáme pomocí limity, kde x se blíží
k nekonečnu.
Oba případy budou rozebrány v následujících dvou podkapitolách.
30
3.3 Použití výpočtu limity k „dělení nulou“
Jak už jsme se vysvětlili, často se můžeme setkat se situací, kdy funkce, s níž
počítáme, není definována pro některé konkrétní číslo 0x proto, že dosazením tohoto
čísla za x by ve jmenovateli vznikla nula. To znamená, že taková funkce není v bodě 0x
spojitá, neboť je právě v bodě o souřadnici 0x přerušena („chybí“ v ní tento bod). Pokud
přesto potřebujeme s takovým číslem 0x počítat, poskytne nám řešení právě limita. Ta
nám vlastně řekne, jaká hodnota by po dosazení x vyšla, kdyby v tomto bodě daná
funkce definována byla.
Při odvození postupu k výpočtu limity funkce pro takový případ doporučuji použít
již zmíněné vysvětlení limity funkce:
Limita funkce f pro x se blíží ke konkrétnímu číslu 0x je takové číslo,
které by odpovídalo funkční hodnotě funkce f pro 0x tehdy, kdyby funkce f
byla v tomto bodě spojitá.
Co z uvedeného vysvětlení vyplývá? Pokud daná funkce v bodě 0x spojitá není,
vypočteme limitu tím způsobem, že si danou funkci prostě upravíme na novou
funkci tak, aby nová funkce v daném bodě 0x spojitá byla, a poté pro daný bod
vypočteme funkční hodnotu této nově vzniklé funkce. Demonstrujme si takový výpočet
na názorném příkladu. Jako reprezentativní vzor nám poslouží následující úloha:
Mějme funkci 39)(
2
−
−=
x
xxf
Vypočtěte: )(lim
3
xf
x→
Již na první pohled vidíme důvod, proč k tomuto výpočtu používáme jako nástroj limitu a
nikoliv funkční hodnotu: pokud bychom totiž dosadili za x číslo 3, vznikla by nám ve
jmenovateli nula. Z toho vyplývá, že funkce f není v bodě 3=x definována. Proto také
v tomto bodě není spojitá (právě v tomto jediném bodě 3=x je její průběh přerušen,
neboť číslo 3 není prvkem jejího definičního oboru). Protože je však definována pro
všechna ostatní x , je jistě definována pro okolí bodu 3=x . Proto si tuto funkci
základními algebraickými úpravami přetvoříme tak, aby nově vzniklá funkce
v bodě 3 definována byla. Poté postačí do nově vzniklé funkce dosadit číslo 3 a
vypočíst její funkční hodnotu v tomto bodě.
33 )3)(3(39
2
+=− −+=−− xx xxxx
31
Můžeme tudíž říci, že jsme z původní funkce 39)(
2
−
−=
x
xxf algebraickými úpravami
vytvořili novou funkci 3)( += xxg , která se od původní funkce liší tím, že je definována
v bodě 3=x . Pozor! Nesmíme nikdy zapomenout, že funkce f a g si nejsou rovny!
Vyplývá to právě z definice o shodnosti funkcí, která říká, že dvě funkce jsou si rovny
právě tehdy, když mají stejný definiční obor a jemu odpovídající stejný obor hodnot.
Naše dvě funkce nejsou shodné právě proto, že mají různé definiční obory (a tím vlastně
i obory hodnot).
Nyní nám již zbývá pouze dosadit do nově vzniklé funkce g za x číslo 3 a
výsledek bude na světě: 3+3=6
Proto můžeme zapsat výsledek: 639lim
2
3
=−−
→ x
x
x
Správný zápis celého výpočetního postupu by měl vypadat následovně:
6333lim3 )3)(3(lim39lim
33
2
3
=+=+=− −+=−−
→→→
xx xxxx
xxx
Aby si čtenář mohl rozdíl mezi původní funkcí a funkcí modifikovanou představit
ještě snáze, pro úplnost níže předkládám dva grafy výše uvedených funkcí:
GRAF 1: funkce 39
2
−
−=
x
xy GRAF 2: funkce 3+= xy
y y
8 - f 8 - f
7 - 7 -
6 o 6 +
5 - 5 -
4 - 4 -
3 - 3 -
2 - 2 -
1 - 1 -
0 | | | | | | 0 | | | | | |
1 2 3 4 5 6 7 x 1 2 3 4 5 6 7 x
Jelikož funkce znázorněná grafem 1. není pro 3=x definována, je v bodě [3;6]
přerušena (což je vyznačeno prázdným „kroužkem“). Oproti tomu funkce znázorněná
grafem 2. již pro 3=x definována je, a tudíž i bod [3;6] je v grafu funkce obsažen,
(funkce je v daném bodě spojitá).
32
Závěrem bude užitečné čtenáře upozornit, že ne vždy lze výpočet limity
provést jednoduchou algebraickou úpravou funkce. Může se totiž stát,
Vloženo: 26.04.2009
Velikost: 654,38 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz