- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálObsah
1 NeurŁit integrÆl 7
1.1 ZÆkladnØ pojmy a vz»ahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 ZÆkladnØ neurŁitØ integrÆly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 CviŁenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 V sledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Met dy poŁ tania neurŁitØho integrÆlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 SubstituŁnÆ met da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 CviŁenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 V sledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Met da per partes (integrovanie po Łastiach) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.5 V sledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Integrovanie elementÆrnych funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Integrovanie racionÆlnych funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Integrovanie trigonometrick ch funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3 Integrovanie iracionÆlnych funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.4 Integrovanie transcendetn ch funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.5 ZÆver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 UrŁit integrÆl 39
2.1 Pojem urŁitØho integrÆlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 CviŁenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.2 V sledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Met dy poŁ tania urŁitØho integrÆlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 CviŁenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 V sledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Vlastnosti urŁitØho integrÆlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 CviŁenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 V sledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 IntegrÆly s premennou hranicou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.1 CviŁenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.2 V sledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5 NevlastnØ integrÆly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.1 NevlastnØ integrÆly prvØho druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.2 NevlastnØ integrÆly druhØho druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5.3 CviŁenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.4 V sledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6 Pou itie urŁitØho integrÆlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
4 OBSAH
2.7 Pou itie urŁitØho integrÆlu v geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7.1 Obsah rovinnej oblasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7.2 Objem telies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.7.3 D ka krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7.4 Obsah povrchu rotaŁnej plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.7.5 V poŁet sœradn c »a iska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.7.6 Guldinove vety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.8 Pou itie urŁitØho integrÆlu vo fyzike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.8.1 PrÆca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.8.2 TlakovÆ sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.9 Pribli nØ integrovanie funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3 ObyŁajnØ diferenciÆlne rovnice 83
3.1 ZÆkladnØ pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 DiferenciÆlna rovnica prvØho rÆdu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 ODR so separovate n mi premenn mi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4 LDR prvØho rÆdu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5 LDR vy„„ ch rÆdov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6 LDR s kon„tantn mi koe cientami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.7 SystØmy diferenciÆlnych rovn c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.8 NumerickØ met dy rie„enia zaŁiatoŁn ch œloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.8.1 vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.8.2 Eulerova met da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.8.3 Met dy typu Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4 DiferenciÆlny poŁet funkci viac premenn ch 125
4.1 Funkcie dvoch a viac premenn ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1.1 ZÆkladnØ pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1.2 Limita funkcie dvoch a viac premenn ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2 ParciÆlne derivÆcie a diferencovate nos» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.1 ParciÆlne derivÆcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.2 LinearizÆcia, dotykovÆ rovina a diferenciÆl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2.3 Vy„„ie derivÆcie a re»azovØ pravidlÆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2.4 Gradient a derivÆcia v smere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3 ExtrØmy funkci viac premenn ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3.1 LokÆlne extrØmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3.2 ViazanØ extrØmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.3.3 GlobÆlne extrØmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4 RozliŁnØ œlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5 V sledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5 DiferenciÆlna geometria 161
5.1 vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.2 Pojem krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.2.1 VektorovÆ funkcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.2.2 VektorovÆ rovnica krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.2.3 ParametrickØ, explicitnØ a implicitnØ rovnice krivky . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2.4 RegulÆrna krivka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
OBSAH 5
5.2.5 TransformÆcia parametra krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.2.6 OrientÆcia krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2.7 D ka krivky, prirodzenÆ parametrizÆcia krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3 Sprievodn trojhran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3.1 DotyŁnica krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3.2 OskulaŁnÆ rovina krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.3.3 HlavnÆ normÆla a binormÆla krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3.4 NormÆlovÆ a rekti kaŁnÆ rovina krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.3.5 Sprievodn trojhran v prirodzenej parametrizÆcii . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.4 Charakteristiky krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.4.1 Krivos» krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.4.2 Kru nica krivosti krivky, evolœta, evolventa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.4.3 Torzia krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.4.4 Frenetove-Serretove vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.4.5 PrirodzenØ rovnice krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.5 RovinnØ krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.5.1 Rovnice rovinnej krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.5.2 D ka rovinnej krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.5.3 DotyŁnica a normÆla rovinnej krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.5.4 Krivos» rovinnej krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.5.5 Kru nica krivosti rovinnej krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.5.6 Evolœta, evolventa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.5.7 PrirodzenØ rovnice rovinnej krivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6 OBSAH
Kapitola 1
NeurŁit integrÆl
1.1 ZÆkladnØ pojmy a vz»ahy
Funkcia F je primit vnou funkciou k funkcii f v intervale (a;b) prÆve vtedy, ak pre ka dØ x2 (a;b)
plat :
F0(x) = f(x):
Z de n cie vid me, e pojem primit vnej funkcie je opaŁn k pojmu derivÆcie. Tento fakt vyu vame
pri h adan primit vnych funkci k zÆkladn m funkciÆm.
Pr klad 1. NÆjdeme primit vnu funkciu k funkcii
a ) y = x v intervale ( 1;1),
b ) y = x v intervale ( 1;1),
c ) y = xn, n2N v intervale ( 1;1),
d ) y = 1x v intervale (0;1),
e ) y = 1x v intervale ( 1;0).
Rie„enie:
a ) H adÆme funkciu F, ktorej derivÆcia je pre ka dØ x 2 ( 1;1) rovnÆ x. Vieme, e pri derivÆ-
cii mocninnej funkcie je v sledkom mocninnÆ funkcia s exponentom zn en m o 1 a nÆsobenÆ
p vodn m exponentom: (xa)0 = axa 1, pre a6= 0. Z tohoto faktu dostaneme, e primit vnou
funkciou k funkcii y = x v intervale ( 1;1) bude nejak nÆsobok funkcie y = x2 a po krÆtkom
experimentovan urŁ me, e je to funkcia y = x22 .
b ) Ke e v„etky œvahy v rie„en predchÆdzajœceho pr kladu ostÆvajœ v platnosti aj pre interval
( 1;1), rie„en m je tÆ istÆ funkcia.
c ) Po œvahÆch analogick ch ako v predchÆdzajœcich Łastiach dostÆvame, e primit vnou funkciou
je funckia y = xn+1n+1 . M eme pravi» skœ„ku sprÆvnosti:
xn+1
n+ 1
!0
= (n+ 1) x
n
n+ 1 = x
n;
pre v„etky x2( 1;1).
7
8 KAPITOLA 1. NEUR¨IT INTEGR`L
d ) Sna me sa nÆjs» funkciu, ktorej derivÆciou je funkcia y = 1x. Z preh adu derivÆci zÆkladn ch
funkci vypl va, e takouto funkciou je funkcia y = lnjxj, priŁom v intervale (0;1), ktor nÆs
zauj ma tœto funkciu m eme jednoduch„ie zap sa» ako y = lnx. SkutoŁne:
(lnx)0 = 1x;
pre ka dØ x2(0;1)
e ) Podobn mi argumentami ako v predchÆdzajœcej Łasti dostÆvame, e primit vnou funkciou k fun-
kcii y = 1x v intervale ( 1;0) je funkcia y = lnjxj= ln( x).
|
PoznÆmka 1. V predchÆdzajœcom pr klade sme na„li ku ka dej danej funkcii v danom intervale je-
dinœ primit vnu funkciu. V skutoŁnosti mÆ ka dÆ z t chto funkci nekoneŁne ve a primit vnych funkci .
Plat :
Ak F je primit vna funkcia k funkcii f v intervale (a;b), tak aj F + c, kde c je ubovo nØ
reÆlne Ł slo, je primit vna funkcia k funkcii f v intervale (a;b).
UvedenÆ skutoŁnos» vypl va z faktu, e derivÆciou kon„tanty je nula, a teda (F(x) + c)0 = F0(x).
D le itØ je, e plat aj opaŁnØ tvrdenie:
Ak F a G sœ primit vne funkcie k funkcii f v intervale (a;b), tak existuje reÆlne Ł slo c
tak, e F(x) = G(x) +c pre v„etky x2(a;b).
Z uvedenØho vypl va, e mno ina v„etk ch primit vnych funkci k danej funkcii f v danom intervale
(a;b) je nekoneŁnÆ mno ina, v ktorej ka dÆ dvojica funkci sa v danom intervale l „i len o kon„tantu.
Tœto mno inu funkci volÆme neurŁit integrÆl funkcie f v intervale (a;b) a oznaŁujeme R f(x)dx.
V tomto oznaŁen je teda napr klad
Z
x2dx = x
3
3 +c; c2R:
PoznÆmka 2. V predchÆdzajœcom pr klade je vidie», e tÆ istÆ funkcia mÆ Łasto v r znych inter-
valoch ten ist neurŁit integrÆl. V takomto pr pade bude neurŁit integrÆl plati» v ka dom intervale,
v ktorom sœ pr slu„nØ funkcie de novanØ, napr.
Z 1
xdx = lnjxj+c; c2R:
v ka dom intervale, kde sœ funkcie lnjxj a 1x de novanØ, t.j. v ka dom intervale neobsahujœcom 0.
V tak chto pr padoch Łasto vynechÆme interval, v ktorom sme pracovali.
Na otÆzku, ktorØ funkcie majœ primit vne funkcie (a teda neurŁit integrÆl) dÆva ŁiastoŁnœ odpove
nasledujœce tvrdenie:
Ka dÆ spojitÆ funkcia v intervale (a;b) mÆ v tomto intervale primit vnu funkciu.
Nie v dy v„ak vieme tœto primit vnu funkciu vyjadri» analytick m v razom.
Priamo z de n cie neurŁitØho integrÆlu a pr slu„n ch vlastnost pre derivÆcie vypl vajœ jednoduchØ
pravidlÆ:
Ak k funkcii f existuje primit vna funkcia v intervale (a;b), tak pre v„etky x2(a;b) plat
1.1. Z`KLADN POJMY A VZ«AHY 9
Z
f(x)dx
0
= f(x) (1.1)
Ak f0 existuje v intervale (a;b), tak
Z
f0(x)dx = f(x) +c (1.2)
Ak majœ funkcie f aj g v intervale (a;b) primit vne funkcie, tak v tomto intervale plat
Z
(f(x) g(x)) dx =
Z
f(x)dx
Z
f(x)dx;
Z
(cf(x)) dx = c
Z
f(x)dx;
kde c je ubovo nØ reÆlne Ł slo.
Obidva tieto vz»ahy mo no vyjadri» v jednom v„eobecnom
Z
(cf(x) +dg(x)) dx = c
Z
f(x)dx+d
Z
f(x)dx; (1.3)
kde c a d sœ ubovo nØ reÆlne Ł sla.
Pr klad 2. UkÆ eme platnos» poslednØho v»ahu
Rie„enie: OznaŁme F a G niektorØ primit vne funkcie k funkciÆm f a g v intervale (a;b). Potom
pre v„etky x2(a;b) plat
c
Z
f(x)dx+d
Z
f(x)dx = c(F(x) +c1) +d(G(x) +d1) = cF(x) +dG(x) +e;
kde e = c:c1 +d:d1 je ubovo nØ reÆlne Ł slo. Na druhej strane tie
(cF(x) +dG(x))0 = cF0(x) +dG0(x) = cf(x) +dg(x):
Preto R (cf(x) +dg(x)) dx = cF(x)+dG(x)+e, kde e je ubovo nØ reÆlne Ł slo, tak e obidva integrÆly
sa rovnajœ. |
1.1.1 ZÆkladnØ neurŁitØ integrÆly
Nasleduje zoznam neurŁit ch integrÆlov, niektor ch d le it ch funkci . Platnos» v Ł„iny nasledovn ch
vz»ahov vypl va z analogick ch vz»ahov pre derivÆcie. Nasledujœce vz»ahy platia v ka dom intervale,
v ktorom sœ funkcie de novanØ.
1. R xadx = xa+1a+1 +c, ak a2Rnf 1g.
2. R 1xdx = lnjxj+c.
3. R exdx = ex +c.
4. R axdx = axlna +c, ak a2(0;1)[(1;1).
5. R sinxdx = cosx+c, R cosxdx = sinx+c.
6. R 1cos2 xdx = tgx+c, R 1sin2 xdx = cotgx+c.
10 KAPITOLA 1. NEUR¨IT INTEGR`L
7. R 11+x2 dx =
(
arctgx+c
arccotgx+c:
8. R dx1 x2 = 12 lnj1+x1 xj+c. 1
9. R dxp1 x2 =
(
arcsinx+c
arccosx+c:
10. R dxpx2+a = lnjx+px2 +aj+c.
11. R sinhxdx = coshx+c, R coshxdx = sinhx+c.
12. R dxcosh2 x = tghx+c, R dxsinh2 x = cotghx+c.
13. R f
0(x)
f(x) dx = lnjf(x)j+c.
Pr klad 3. VypoŁ tame integrÆly
a) R(6x5 2x3 + 11x2 + 3)dx b) R 3x2+4x+25x dx c) R(3 sinx 2 coshx)dx
d) R tg2xdx e) R cotgxdx f) R(2x 31 x)dx
g) R dxp5x2 10 h) R dx4+4x2 i) R 5p3 3x2 dx
Rie„enie: V rie„en budeme pou va» zÆkladnØ vzorce pre neurŁitØ integrÆly a pravidlo (1.3).
¨itate ovi odporœŁame v ka dom kroku urŁi» pr slu„n vzorec, resp. pravidlo.
a) Z
(6x5 2x3 + 11x2 + 3)dx = 6
Z
x5dx 2
Z
x3dx+ 11
Z
x2dx+ 3
Z
x0dx =
= 6x
6
6 2
x4
4 + 11
x3
3 + 3
x1
1 = x
6 x4
2 +
11
3 x
3 + 3x+c:
b) Z
3x2 + 4x+ 2
5x dx =
3
5
Z
xdx+ 45
Z
x0dx+ 25
Z 1
xdx =
= 310x2 + 45x+ 25 lnjxj+c:
c) Z
(3 sinx 2 coshx)dx = 3 cosx 2 sinhx+c:
d) Z
tg2xdx =
Z sin2x
cos2xdx =
Z 1 cos2x
cos2x dx =
=
Z 1
cos2x 1
dx = tgx x+c:
e) Z
cotgxdx =
Z cosx
sinx dx =
Z (sinx)0
sinx dx = lnjsinxj+c:
1Namiesto R 1
f(x) dx p „eme tie
R dx
f(x)
1.1. Z`KLADN POJMY A VZ«AHY 11
f) Z
(2x 31 x)dx =
Z
2xdx 3
Z 1
3
x
dx = 2
x
ln 2 +
3
ln 3
1
3
x
+c:
g) Z
dxp
5x2 10 =
1p
5
Z dx
px2 2 = 1p5 lnjx+px2 2j+c:
h) Z
dx
4 + 4x2 =
1
4
Z dx
1 +x2 =
1
4 arctgx+c:
i) Z
5p
3 3x2 dx =
5p
3
Z dx
p1 x2 = 5p3 arcsinx+c:
|
1.1.2 CviŁenia
Pomocou algebraick ch œprav, pou it m pravidla (1.3) a zÆkladn ch vzorcov vypoŁ tajte integrÆly.
1. R(3x2 + 2x 1)dx. 2. R
2
xpx
5
x2
dx.
3. R x2(x2 + 1)dx. 4. R(x3 + 1)2dx.
5. R x3+3x 1x dx. 6. R x2 3x+4px dx.
7. R (x 1)3px dx. 8. R (
px+2)3
x dx.
9. R(cosx+ 2 5px3)dx. 10. R
sinx+ 3p4 4x2
dx.
11. R
2x +
q
1
x
dx. 12. R
10 x + x2+2x2+1
dx.
13. R x23(1+x2) dx. 14. R cotg2xdx.
15. R(px+ 1)(x px+ 1)dx. 16. R dxx2+7.
17. R 42 3xdx. 18. R x(x+1)2 dx.
1.1.3 V sledky
1. x3 +x2 x+c. 2. 4px + 5x +c.
3. x55 + x33 +c. 4. x77 + x42 +x+c.
5. x33 + 3x lnjxj+c. 6. 25x2px 2xpx+ 8px+c.
7. 27x3px 65x2px+ 2xpx 2px+c.
8. 23xpx+ 6x+ 24px+ 8 lnjxj+c.
9. sinx+ 54x 5px3 +c. 10. cosx+ 32 arcsinx+c.
12 KAPITOLA 1. NEUR¨IT INTEGR`L
11. 2xln 2 + 2px+c. 12. x+ arctgx 110x ln 10 +c.
13. 13(x arctgx) +c. 14. x cotgx+c.
15. 25x2px+x+c. 16. 1p7 arctg xp7 +c.
17. 13 ln 442 3x +c. 18. lnjx+ 1j+ 1x+1 +c.
1.2 Met dy poŁ tania neurŁitØho integrÆlu
Sœ dve v„eobecnØ met dy poŁ tania neurŁit ch integrÆlov: substituŁnÆ met da a met da integrovania
per partes.
1.2.1 SubstituŁnÆ met da
TÆto met da je odvodenÆ od vz»ahu pre derivÆciu zlo enej funkcie a jej princ p je v nasledujœcom
tvrden :
Nech F je primit vna funkcia k funkcii f v intervale I, nech funkcia ’ mÆ derivÆciu v in-
tervale (a;b) a nech pre ka dØ x2(a;b) je ’(x)2I. Potom
Z
f(’(x)) ’0(x)dx = F(’(x)) +c; v intervale (a;b): (1.4)
¨asto sa vyskytujœcim „peciÆlnym pr padom tejto met dy je situÆcia ke funkcia ’(x) = ax + b je
lineÆrna. Vtedy ’0 existuje pre v„etky x2R a za predpokladov tvrdenia plat
Z
f(ax+b)dx = 1aF(ax+b) +c: (1.5)
Pr klad 4. UkÆ eme platnos» vz»ahu 1.5.
Rie„enie: Uprav me integrÆl na avej strane a pou ijeme vz»ah 1.4:
Z
f(ax+b)dx = 1a
Z
f(ax+b)adx =
(
’(x) = ax+b
’0(x) = a
)
= 1aF(ax+b) +c:
InØ rie„enie: Zderivujme pravœ stranu vz»ahu 1.5.
1
aF(ax+b) +c
0
= 1aF0(ax+b) = 1af(ax+b):a = f(ax+b):
|
Pr klad 5. VypoŁ tame neurŁitØ integrÆly
a) R dx3x+7, b) R(5 7x)21dx, c) R cos 2xdx.
Rie„enie: Budeme pou va» vz»ah 1.5.
a) V tomto pr klade je ax+b = 3x+7 a funkcia f je de novanÆ vz»ahom f(t) = 1t. Primit vna funkcia
k f je funkcia F(t) = lnjtj v ka dom intervale neobsahujœcom 0. Preto plat
Z dx
3x+ 7 =
1
3 lnj3x+ 7j+c;
1.2. MET DY PO¨˝TANIA NEUR¨IT HO INTEGR`LU 13
v ka dom intervale neobsahujœcom Ł slo 73.
b) Teraz je ax+b = 7x+ 5 a f(t) = t21. Preto
Z
(5 7x)21dx = 17 (5 7x)
22
22 +c =
(5 7x)22
154 +c
pre x2R.
c) Podobne ako v predchÆdzajœcich Łastiach dostÆvame
Z
cos 2xdx = 12 sin 2x+c = sinxcosx+c; x2R:
|
Niekedy je potrebnØ integrovanœ funkciu pred pou it m substituŁnej met dy upravi» algebraick mi
alebo in mi œpravami.
Pr klad 6. VypoŁ tame neurŁitØ integrÆly
a) R dx4+x2 b) R dxp9 x2 c) R cos2xdx.
Rie„enie: a) Integrovanœ funkciu uprav me
1
4 +x2 =
1
4
1
1 + (x2 )2
a integrujeme (pre ’(x) = 12x a f(t) = 11+t2 )
Z dx
4 +x2 =
1
4
Z dx
1 + (x2 )2 =
1
4
1
1
2
arctg x2 +c = 12 arctg x2 +c:
b) Integrovanœ funkciu uprav me
1p
9 x2 =
1
3
1q
1 (x3 )2
a integrujeme (pre ’(x) = 13x a f(t) = 1p1 t2 )
Z dx
p9 x2 = 13
Z dx
q
1 (x3 )2
= arcsin x3 +c;
pre x2( 3;3).
c) K œprave pou ijeme trigonometrick vz»ah cos2x = 1+cos 2x2 .
Z
cos2xdx =
Z 1 + cos 2x
2 dx =
1
2
Z
1dx+
Z
cos 2xdx
=
= 12(x+ 12 sin 2x) +c = 12(x+ sinxcosx) +c:
|
Vo v„eobecnosti je praktick postup pri pou van substituŁnej met dy nasledujœci:
1. V integrovanej funkcii h adÆme takœ funkciu ’, ktorÆ sa tam vyskytuje spolu so svojou derivÆ-
ciou, alebo jej Ł seln m nÆsobkom.
14 KAPITOLA 1. NEUR¨IT INTEGR`L
2. Zavedieme novœ premennœ t, pre ktorœ je t = ’(x).
3. Uprav me dan inegrÆl na tvar R f(t)dt kde dt = ’0(x)dx a poŁ tame R f(t)dt = F(t) +c.
4. Vo v sledku nahrad me t = ’(x): F(’(x)) +c.
Niekedy, ak je funkcia ’ monot nna, tret bod tohoto postupu je v hodnØ realizova» tak, e si vy-
jadr me inverznœ funkciu x = ’ 1(t) a (alebo) dx = ’ 1 0 (t)dt a dosad me do p vodnØho integrÆlu
(pozri napr klad integrovanie iracionÆlnych funkci ).
Pr klad 7. VypoŁ tame neurŁitØ integrÆly
a) R cos4xsinxdx b) R dxxlnx c) R 3xpx2 + 6dx
d) R 5
parccotgx
1+x2 dx e)
R xe7 x2 dx f) R sinhpxp
x dx
g) R tg2 xcos2 xdx h) R 3xp1 9x dx i) R sin 2xsin2 x+3 dx.
Rie„enie: a) V integrovanej funkcii sa vyskytuje funkcia ’(x) = cosx a zÆrove nÆsobok jej de-
rivÆcie ’0(x) = sinx. (PreŁo neuva ujeme ’(x) = sinx a ’0(x) = cosx?). Dan integrÆl vypoŁ tame
preto nasledovne Z
cos4xsinxdx =
(
t = cosx
dt = sinxdx
)
=
Z
t4 ( dt) =
=
Z
t4dt = t
5
5 +c =
cos5x
5 +c:
b) V integrovanej funkcii sa vyskytuje funkcia ’(x) = l
Vloženo: 26.04.2009
Velikost: 843,99 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz