- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálZáklady
vysokoškolské matematiky
pro beznadějné případy
TŘETÍ ROZŠÍŘENÉ VYDÁNÍ
Vladimír Mach
České vzdělávací projekty
www.vzdelavaci-projekty.cz
Brno 2004 - 2005
2
Obsah
ÚVOD ................................................................................................................................................... 4
Poděkování......................................................................................................... 5
1. FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ..................................................................................... 7
1.1 Pojmy „dvojice“ a „uspořádaná dvojice“ .................................................. 8
1.2 Pojem „funkce“ a jeho význam............................................................... 10
1.3 Definiční obor funkce a obor hodnot funkce ........................................... 13
1.4 Některé základní typy a vlastnosti funkcí ............................................... 16
2. SMĚRNICE PŘÍMKY.................................................................................................................. 20
2.1 Význam pojmu „směrnice přímky“ ......................................................... 20
2.2 Sklon přímek ve vztahu ke směrnici ....................................................... 24
3. LIMITA FUNKCE........................................................................................................................ 26
3.1 Význam pojmu „limita funkce“ ............................................................... 26
3.2 Účel a použití výpočtů pomocí limity ...................................................... 29
3.3 Použití výpočtu limity k „dělení nulou“................................................... 30
3.4 Použití limity k výpočtům s nekonečnem................................................ 33
3.5 Limita zprava, limita zleva...................................................................... 36
4. DERIVACE FUNKCE ................................................................................................................. 38
4.1 Význam pojmu „derivace funkce“........................................................... 38
4.2 Typické příklady souvislosti průběhu funkce a derivace ......................... 39
4.3 Výpočet derivace funkce......................................................................... 40
4.4 Derivační vzorce, obecná derivace.......................................................... 43
5. L’HOSPITALOVO PRAVIDLO ANEB LIMITA JEŠTĚ JEDNOU ................................................. 46
5.1 K čemu slouží L’Hospitalovo pravidlo...................................................... 46
5.2 Podmínky pro použití L’Hospitalova pravidla.......................................... 47
5.3 Použití L’Hospitalova pravidla ................................................................ 48
6. VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ...................................... 50
3
6.1 Co znamená vyšetřit průběh funkce........................................................ 50
6.2 K čemu se hodí vyšetřování vlastností funkce ........................................ 51
6.3 Obecné postupy k vyšetřování funkcí ..................................................... 54
6.4 Praktické vyšetření průběhu funkce ....................................................... 65
7. VYUŽITÍ DERIVACE K NUMERICKÝM VÝPOČTŮM ................................................................ 70
7.1 Co jsou numerické výpočty a k čemu nám mohou posloužit ................... 70
7.2 Numerické výpočty pomocí diferenciálu ................................................. 75
7.3 Taylorův polynom................................................................................... 80
7.4 Logické odvození Taylorova polynomu ................................................... 86
8. INTEGRÁLNÍ POČET ................................................................................................................ 90
8.1 Význam integrálu aneb k čemu to slouží ................................................ 90
8.2 Primitivní funkce, výpočet integrálu....................................................... 91
8.3 Integrační vzorce ................................................................................... 92
8.4 Problematika neurčitého integrálu ......................................................... 93
8.5 Integrační metoda per partes................................................................. 94
4
ÚVOD
Toto v pořadí již třetí rozšířené vydání jsem připravil na základě neočekávaného
pozitivního ohlasu původních dvou vydání a pod vlivem značné poptávky po dalších. První
vydání těchto skript vzniklo za poněkud odlišných okolností, než za jakých byla napsána
většina podobných publikací. Napsal jsem ho v době, kdy jsem studoval první ročník ESF,
a to v návaznosti na poznatky, kterých jsem nabyl během hodin, v nichž jsem některé
své kolegy z prvního ročníku doučoval matematiku k písemkám a závěrečné zkoušce.
Hlavním poznáním, kterého se mi během doučování kolegů dostalo, bylo zjištění,
že ačkoliv mnoho studentů umí více či méně typů příkladů spočítat (někdy i rychle a
přesně), většina z nich vůbec netuší, co vlastně počítá. Studenti si většinou pracně osvojí
početní postupy při řešení matematických úloh, aniž by věděli, co výpočty vlastně
představují, proč se počítají právě tím kterým postupem, či jakým způsobem je možné si
spoustu vzorců, postupů či definic logickou a přirozenou cestou odvodit. Jinými slovy,
většina studentů se učí nazpaměť vzorce a postupy, aniž by jim rozuměla. Kdekdo je pak
kupříkladu schopen vypočítat derivaci funkce, aniž by jen náznakem tušil, co vlastně
derivace funkce vyjadřuje. Takový způsob studia je zvláště u matematiky krajně
nevhodný. Snesitelný (a občas i nevyhnutelný) je snad u některých humanitních oborů
(např. historie), avšak u exaktních věd je v konečných důsledcích jednoznačně
kontraproduktivní, neboť „znalosti“ osvojené cestou bezmyšlenkového memorování
nebude student nikdy schopen použít v budoucím životě k řešení praktických problémů.
To je důvod, proč vznikla tato skripta. Jejich účelem je názorně, šetrně a
kamarádsky ukázat čtenáři, co jednotlivé pojmy, vzorce a postupy v matematice
přestavují a jak se dají přirozeně a nenásilně odvodit. Skripta jsem se snažil napsat tak,
aby se dala přečíst takříkajíc „jedním dechem“. Základní prioritou je jejich
srozumitelnost. Při vysvětlování a odvozování matematických jevů jsem proto nepoužíval
přesný, korektní a chladný jazyk matematických definic, nýbrž jazyk prostý, lidský.
Taková koncepce skript však zákonitě přináší i své nevýhody. Hlavní z nich je
skutečnost, že používání onoho „prostého, lidského“ jazyka je oproti kodifikovanému
jazyku matematických definic dosti nedokonalé. Jinými slovy, názornosti je dosaženo na
úkor přesnosti vyjadřování. Jednoduchost vysvětlování je vykoupena daní v podobě újmy
na exaktnosti. Jelikož se však tento postup ukázal být pro studenty podstatně
přijatelnější, přínosnější a efektivnější než šroubovaný jazyk vědeckých definic, rozhodl
jsem se i další vydání realizovat ve stejném duchu.
Závěrem bych se jako autor rád pokusil čtenáře trochu povzbudit. Ani moje vlastní
cesta k půvabům matematiky nebyla tradiční – profesně jsem totiž lingvista a nikoliv
matematik. Matematiku se mi dařilo celý život ignorovat a vyhýbat se jí. Než jsem zahájil
studium ESF, absolvoval jsem Filosofickou fakultu, kde se matematika vůbec
nevyučovala, a poté jsem začal podnikat v oblasti jazykových vzdělávacích projektů.
Ještě rok a půl před vznikem těchto skript jsem bez nadsázky neuměl ani sčítat zlomky.
K matematice mě přivedla až touha vystudovat ještě jednu fakultu, tentokrát
ekonomického zaměření. Pustil jsem se tedy do práce a začal jsem téměř od nuly.
Nakonec jsem si osobní zkušeností ověřil, že i při plném podnikatelském nasazení je
možné naučit se matematiku během půl roku tak, že z ní člověk úspěšně vykoná
přijímací zkoušku na VŠ, a během dalších několika měsíců tak, že se solidním výsledkem
absolvuje zkoušku na akademické půdě. Proto chci čtenáře ujistit, že při správném
pochopení matematických jevů není matematika tak náročná, jak se může mnohým zdát.
Přeji proto čtenáři nejen úspěšné zvládnutí zkoušky z matematiky, nýbrž
především to, aby i jeho cesta vedla k odkrytí půvabů této překrásné a vznešené vědy.
Autor
5
Poděkování
Není možné vyjmenovat všechny osobnosti, vědce, znalce a kamarády, kteří mi
dopomohli k napsání těchto skript. Za všechny bych alespoň tímto rád poděkoval
především Mgr. Petru Vodstrčilovi, špičkovému matematickému expertovi, geniálnímu
vědci a vynikajícímu učiteli, jehož trpělivým konzultacím a vysoce profesionální asistenci
vděčím za většinu svých znalostí matematiky.
Autor prosí čtenáře, aby mu sdělili své zkušenosti s těmito skripty na e-mailovou adresu
mach@vzdelavaci-projekty.cz za účelem případných dalších vylepšení a modifikací. Za
vyjádření předem děkuje.
6
© Copyright 2004 - 2005 by Mgr. Vladimír Mach
Všechna práva vyhrazena.
Veškerý textový a grafický obsah této publikace a grafické logo ČVP jsou majetkem
Mgr. Vladimíra Macha a nesmějí být použity pro účely jiných realizací bez jeho
předchozího písemného souhlasu.
Tato publikace ani žádná její část nesmí být šířena jakoukoliv cestou bez ohledu na nosič,
a to ani v podobě tištěné, ani v podobě elektronické, bez předchozího písemného
souhlasu autora.
Některé výrazy uvedené v tomto dokumentu mohou být registrovanými nebo obchodními
značkami jejich vlastníků.
7
1. FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
Téměř celý rozsah předmětu Matematika II. v prvním ročníku ekonomických fakult
pojednává o velmi krásné a zajímavé látce – o funkcích a zkoumání jejich vlastností.
Ačkoliv jsou základní pojmy o funkcích plnohodnotnou součástí osnov matematiky na
většině středních škol, nebývá výjimkou, že studenti neměli dosud příležitost pochopit
některé vlastnosti funkcí tak, aby je zpětně dokázali jednoduše a logicky vysvětlit a
případně si z těchto poznatků dokázali sami snadno a přirozeně odvodit poznatky nové.
Abychom takové mezery našli a „opatřili záplatami“, projděme si nyní pozorně následující
kapitoly.
Zkusme začít tím, že si položíme otázku, co to vlastně funkce je. Moje osobní
zkušenost je taková, že většina studentů ekonomicky zaměřených fakult si pod pojmem
funkce představuje jakýsi „vzorec obsahující proměnnou x , za kterou když dosadíme
nějaké vstupní číslo, vyjde nám nějaké výsledné výstupní číslo y .“ Jinými slovy, funkce
je často považována za jakýsi algoritmus výpočtu, do něhož „něco vložíme“ a poté nám
z něho „něco vyleze“. Ačkoliv toto poněkud kostrbaté vysvětlení není svým významem
chybné, je značně nepřesné. Jednak se omezuje na takzvané funkce jedné reálné
proměnné (existují ovšem i funkce více reálných proměnných), jednak funkce nemusí být
nutně dána matematickým výrazem, nýbrž i jinými prostředky (např. grafem nebo
slovním popisem). V těchto skriptech si vysvětlíme definici funkcí jedné reálné proměnné.
K funkcím více reálných proměnných postoupíme v případném druhém díle.
8
1.1 Pojmy „dvojice“ a „uspořádaná dvojice“
V matematice se s dvojicemi (a zvláště s uspořádanými dvojicemi) setkáváme
možná mnohem častěji, než si sami uvědomujeme. Pojďme si tyto pojmy nyní osvěžit na
množinách, znázorněných pomocí tzv. Vennových1 diagramů:
Na výše uvedeném obrázku máme dvě množiny – množinu A a množinu B. Množina A
nechť má dva prvky 1a a 2a , množina B třeba tři prvky 1b , 2b a 3b . Pokud jakýkoliv
prvek jedné množiny zapíšeme spolu s jakýmkoliv prvkem množiny druhé, půjde o zápis
takzvané dvojice prvků { }ba; . Proto můžeme říci, že dvojicí prvků je například { }11;ba či
{ }22 ;ba , ale také { }21;ba , { }31;ba , { }12 ;ba či { }32 ;ba . Navíc je lhostejné, zda napíšeme
nap. { }11;ba nebo { }11;ab , protože v obou případech jde o tutéž dvojici prvků – nezáleží
na pořadí (pokud nezáleží na pořadí, vypisujeme prvky dvojic do složených závorek),
proto platí rovnost { } { }abba ;; = . To vše je znázorněno na obrázku níže:
1 John Venn, 1834-1923, anglický matematik a logik. Právě podle něho se jmenují množinové diagramy,
používané ve školské matematice.
a1
a2
b1
b2
b3
množina A množina B
a1
a2
b1
b2
b3
množina A množina B
9
Představme si nyní na situaci, kdy nebude záležet jen na tom, který prvek
množiny jedné je s kterým prvkem množiny druhé ve dvojici, nýbrž bude také záležet na
pořadí, v jakém jsou prvky uvnitř kterékoliv z dvojicí uspořádány (pokud záleží na pořadí
prvků uvnitř dvojice, zapisujeme prvky do hranatých závorek). Jistě teď už čtenáře
napadne, že tím pádem například dvojice [ ]11;ba nebude totožná s dvojicí [ ]11;ab , neboť
pořadí prvků – byť shodných – je v těchto dvojicích rozdílné. Pokud ve dvojicích prvků
záleží na pořadí, používáme pro ně pojem uspořádané dvojice. Soubor dvojic prvků,
v nichž záleží na pořadí, tedy nazýváme množina uspořádaných dvojic.
Projděme si tedy pro úplnost následující příklad:
Mějme tříprvkovou množinu };;{ 321 aaaA = a dvouprvkovou množinu };{ 21 bbB = .
Našim úkolem je napsat kompletní množinu všech uspořádaných dvojic [ ]ba; .
Řešení: Protože zadání požaduje vyjmenovat uspořádané dvojice, je nasnadě, že
záleží na pořadí prvků. Proto se podíváme, v jakém pořadí jsou po nás prvky v zadání
požadovány. Pořadí dané zadáním je [ ]ba; , nikoliv [ ]ab; . Proto bude v pořadí prvků
uvnitř jednotlivých uspořádaných dvojic vždy na prvním místě prvek množiny A a na
druhém místě prvek množiny B, nikdy naopak! Řešením jsou tedy uspořádané dvojice [ ]
11;ba , [ ]21;ba , [ ]12 ;ba , [ ]22 ;ba , [ ]13;ba , [ ]23;ba . Pro dobrou představu je níže celý stav
zakreslen (šipky naznačují, že záleží na pořadí prvků uvnitř uspořádaných dvojic):
Kdyby se po nás v zadání požadovalo, abychom vyjmenovali kompletní množinu všech
uspořádaných dvojic (nikoliv jen v pořadí [ ]ba; ), museli bychom přidat ještě dvojice
[ ]11;ab , [ ]21;ab , [ ]31;ab , [ ]12 ;ab , [ ]22 ;ab , [ ]32 ;ab .
a1
a2
a3
b1
b2
množina A množina B
10
1.2 Pojem „funkce“ a jeho význam
V minulé podkapitole jsme si vymezili pojem množina uspořádaných dvojic.
Nyní si na tomto základě vysvětlíme pravý význam pojmu „funkce“, či přesněji řečeno
pojmu „funkce jedné reálné proměnné“.
Zakresleme si dvě množiny, z nichž jedna se bude jmenovat D (neboli definiční
obor) a druhá se bude jmenovat H (neboli obor hodnot). Množina D bude obsahovat
prvky x a množina H bude obsahovat prvky y :
Určit množinu všech uspořádaných dvojic [ ]yx; je prosté. Pro úplnost si ji tedy
vypišme: [ ]11; yx , [ ]21; yx , [ ]12 ; yx , [ ]22 ; yx , [ ]13; yx , [ ]23; yx .
Představme si však nyní, že si před vypsáním množiny uspořádaných dvojic [ ]yx;
zavedeme důležitou vstupní podmínku, a sice že každému x z množiny D může
být odteďka přiřazeno jen jedno y z množiny H. Jinými slovy, zatímco v úplném
seznamu uspořádaných dvojic je možné, aby se jedno x vyskytovalo ve více dvojicích,
pokaždé s jiným y , tentokrát to možné nebude. Obrazně můžeme říci, že v okamžiku,
kdy nějakému x přiřadíme nějaké y , považujeme toto x již za „uspokojené“ a další y
mu již v jiné dvojici přiřazovat nebudeme. To však nebude platit opačně – i nadále bude
možné, aby několika různým x bylo přiřazeno jedno a totéž y . Raději si několik
takových možností vypišme: Pokud vytvoříme uspořádanou dvojici [ ]11; yx , pak již
nebude možné, abychom vytvořili uspořádanou dvojici [ ]21; yx , neboť podle vstupní
podmínky smí být jednomu x přiřazeno pouze jedno y . Bude ovšem bez problému
možné, abychom vytvořili dvojici [ ]11; yx a zároveň také dvojici [ ]12 ; yx , neboť nikde není
zakázáno, aby totéž y bylo přiřazeno více x .
Pokud se čtenáři zdá toto vysvětlení stále složité, mohu nabídnout jisté přirovnání
a budu přitom předpokládat, že čtenář omluví jeho poněkud sociologický charakter.
Představme si islámskou kulturu. Pokud budeme považovat ženy za prvky x a muže za
prvky y , pak ke každému x může být přiřazeno nejvýše jedno y , neboť každá žena smí
být provdána pouze za jednoho muže. Jednomu y však může být přiřazeno více x ,
neboť jeden muž může vstoupit do manželského svazku s více ženami.
Pokud je nám výše uvedený vztah prvků nyní již jasný, můžeme na tomto místě
prohlásit, že množina uspořádaných dvojic [ ]HyDx ∈∈ ; , pro které platí, že
jednomu x může být přiřazeno jen jedno y , se nazývá funkce jedné reálné
proměnné x . Přidáme-li naše úsměvné přirovnání, pak můžeme říct, že množina všech
manželských dvojic žena-muž, kde žena je příslušnicí islámské kultury (definiční obor) a
muž je ženatý s takovou ženou (obor hodnot), jsou funkcí, neboť platí, že každé ženě smí
být přiřazen jen jeden muž, zatímco rozhodně není na závadu, když jednomu muži náleží
více žen.
Definice: Funkce jedné reálné proměnné x je množina všech uspořádaných dvojic [ ]yx;
takových, že ke každému x z definičního oboru existuje právě jedno y z oboru hodnot.
x1
x2
x3
y1
y2
množina D množina H
11
Protože se v naší oblasti matematiky počítá s předpokladem, že prvky množiny D
i množiny H jsou čísla, je vlastně zbytečné, abychom si je zakreslovali do oválných
Vennových diagramů, neboť mnohem přehlednější je znázorňovat je na číselné osy
(číselná osa je vlastně tradiční způsob znázorňování množiny čísel). Proto na jednu osu –
ze zvyku na osu x – znázorňujeme množinu D neboli definiční obor, a na druhou osu – ze
zvyku na osu y – znázorňujeme množinu H neboli obor hodnot. Pro dobrou přehlednost
tyto osy zakreslujeme tak, že spolu svírají pravý úhel – osa x se znázorňuje horizontálou
a osa y vertikálou. Pokud někam do roviny těchto os zakreslíme bod, jehož x-ová
souřadnice bude prvkem množiny D a y-ová souřadnice prvkem množiny H, je tento
bod vlastně znázorněním konkrétní uspořádané dvojice x a y , neboli je
znázorněným prvkem funkce. A protože funkce je (jak již víme) množinou všech
uspořádaných dvojic x a y a bod je prvkem této množiny, znázorníme celou množinu
uspořádaných dvojic neboli danou funkci množinou bodů, kterou nazýváme graf
funkce. Pravoúhlá soustava os x a y, která nám k zakreslování grafu poslouží, se nazývá
kartézská soustava souřadnic2:
y
5 –
4 –
3 - f
2
1 –
| | | x
0 1 2 3 4 5
Křivka f ve výše načrtnuté kartézské soustavě souřadnic je grafem funkce, neboť
každému x je přiřazeno právě jedno y . Skutečnost, že jedno y (např. číslo 2) je
přiřazeno dvěma různým x (číslům 2 a 5), není na závadu. Oproti tomu křivka
v kartézské soustavě souřadnic načrtnutá níže grafem funkce není, neboť jednomu x je
přiřazeno více y (například číslu 3=x odpovídá jednak číslo 2=y , jednak 2−=y ).
Vloženo: 26.04.2009
Velikost: 654,38 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2023 unium.cz. Abychom mohli web rozvíjet a dále vylepšovat podle preferencí uživatelů, shromažďujeme statistiky o návštěvnosti, a to pomocí Google Analytics a Netmonitor. Tyto systémy pro unium.cz zaznamenávají, které stránky uživatel na webové stránce navštívil, odkud se na stránku dostal, kam z ní odešel, jaké používá zařízení, operační systém či prohlížeč, či jaký má preferenční jazyk. Statistiky jsou anonymní, takže unium.cz nezná identitu návštěvníka a spravuje cookies tak, že neumožňuje identifikovat konkrétní osoby. Používáním webu vyjadřujete souhlas použitím cookies a následujících služeb: