- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
přednáška 7
TAA01E - Aplikovaná matematika
Hodnocení materiálu:
Vyučující: doc. RNDr. CSc. Petr Gurka
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálx ∈ (a,b) platí rovnost
ϕprime(x) = f (x)gparenleftbigϕ(x)parenrightbig.
(Pojem řešení je možné zavést na uzavřeném nebo polouzavřeném intervalu,
potom v krajních bodech uvažujeme příslušné jednostranné derivace.)
Petr Gurka (katedra matematiky) 7. Diferenciální rovnice 16. 11. 2006 8 / 10
Řešení separovatelné rovnice
Při řešení rovnice (1) yprime = f (x)g(y) rozlišíme dva případy.
1 Má-li funkce g nulový bod x0, tj. g(x0) = 0, je konstantní funkce
ϕs : y = x0, x ∈ (a,b),
kde (a,b) ⊂D(f ), řešením rovnice (1) na (a,b). Toto řešení
nazveme výjimečné řešení.
2 Pro nalezení dalších řešení zapíšeme derivaci yprime ve tvaru podílu
diferenciálů, yprime = dydx a dosadíme ji do rovnosti (1). Máme
dy
dx = f (x)g(y). Získanou rovnost formálně vynásobíme symbolemdx, vydělíme ji výrazem g(y) a k oběma stranám připíšeme symbol integraltext.
Vyjde: integraltext 1g(y) dy = integraltext f (x)dx. Výpočtem obou neurčitých integrálů
pak dostaneme rovnost G(y) = F(x) + C, kde G(y) je primitivní
funkce k funkci 1g(y) a F(x) je primitivní funkce k funkci f (x). Dále
pomocí inverzní funkce G−1 ke G máme ϕ : y = G−1parenleftbigF(x) + Cparenrightbig.
Na závěr je nutné vyšetřit, na jakém intervalu (jakých intervalech) je
nalezená funkce řešením rovnice (1).
Petr Gurka (katedra matematiky) 7. Diferenciální rovnice 16. 11. 2006 9 / 10
Definice. (Cauchyova úloha)
Pojem Cauchyova úloha (nebo také počáteční úloha) pro diferenciální
rovnici (1) označuje úlohu
braceleftbigg yprime = f (x)g(y),
y(x0) = y0.
Jejím řešením je řešení ϕ, které splňuje počáteční podmínku
ϕ(x0) = y0,
(nutně x0 ∈D(f ) a y0 ∈D(g), tj. f (x0) a g(y0) mají smysl). Jinými slovy,
jedná se o řešení ϕ, jehož graf prochází bodem [x0,y0].
Petr Gurka (katedra matematiky) 7. Diferenciální rovnice 16. 11. 2006 10 / 10
Vloženo: 25.06.2009
Velikost: 309,34 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu TAA01E - Aplikovaná matematika
Reference vyučujících předmětu TAA01E - Aplikovaná matematika
Reference vyučujícího doc. RNDr. CSc. Petr Gurka
Podobné materiály
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 1
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 2
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 3
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 4
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 5
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 6
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 8
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 9
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 10
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 11
Copyright 2024 unium.cz