- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
přednáška 6
TAA01E - Aplikovaná matematika
Vyučující: doc. RNDr. CSc. Petr Gurka
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálant množiny
všech primitivních funkcí k f ) a C ∈ R je integrační konstanta.
Petr Gurka (katedra matematiky) 6. Primitivní funkce a neurčitý integrál. 9. 11. 2006 6 / 15
Základní vzorce
integraltext 0dx = C na (−∞,∞),
integraltext xαdx = xα+1
α+1 + C (α negationslash= −1) na (0,∞) (resp. R nebo R\{0}),integraltext
dx
x = ln|x|+ C na (−∞,0) nebo na (0,∞),integraltext
exdx = ex + C na (−∞,∞),
integraltext axdx = ax
lna + C (a > 0,a negationslash= 1) na (−∞,∞),integraltext
sinx dx = −cosx + C na (−∞,∞),integraltext
cosx dx = sinx + C na (−∞,∞),
integraltext dx
sin2 x = −cotgx + C na (kpi,pi + kpi), k ∈ Z,integraltext
dx
cos2 x = tgx + C na (−
pi
2 + kpi,
pi
2 + kpi), k ∈ Z,integraltext
dx
1+x2 = arctgx + C na (−∞,∞),integraltext
dx√
1−x2 = arcsinx + C na (−1,1).
Petr Gurka (katedra matematiky) 6. Primitivní funkce a neurčitý integrál. 9. 11. 2006 7 / 15
Pravidla pro integrování
Věta.
Nechť funkce f , g mají na intervalu J primitivní funkce. Potom také
funkce (f + g), (f − g) a c f , c ∈ R, mají na J primitivní funkce a platí
integraldisplay
(f (x)+ g(x))dx =
integraldisplay
f (x)dx +
integraldisplay
g(x)dx,
integraldisplay
(f (x)− g(x))dx =
integraldisplay
f (x)dx −
integraldisplay
g(x)dx,
integraldisplay
cf (x)dx = c
integraldisplay
f (x)dx.
Důležité!
Neexistují žádné vzorce pro přímé integrování součinu a podílu dvou funkcí.
Petr Gurka (katedra matematiky) 6. Primitivní funkce a neurčitý integrál. 9. 11. 2006 8 / 15
Metoda přímé integrace
Provádějí se pouze základní algebraické úpravy výrazů a používají se
základní integrační vzorce a pravidla.
Příklad.
Vypočítejme neurčitý integrál
integraldisplay dx
sin2 x cos2 x .
Řešení.
V čitateli zlomku je výraz dx = 1 · dx. Použijeme-li známou rovnost
1 = sin2 x + cos2 x, dostáváme:
integraldisplay dx
sin2 x cos2 x =integraldisplay
sin2 x + cos2 x
sin2 x cos2 x dx =
integraldisplay parenleftBig sin2 x
sin2 x cos2 x +
cos2 x
sin2 x cos2 x
parenrightBig
dx =
integraldisplay dx
cos2 x +
integraldisplay dx
sin2 x = tgx − cotgx + C.
Petr Gurka (katedra matematiky) 6. Primitivní funkce a neurčitý integrál. 9. 11. 2006 9 / 15
Věta. (Metoda integrace per partes (po částech))
Nechť funkce u, v mají spojité derivace uprime a vprime na intervalu J. Potom na
tomto intervalu platí
integraldisplay
u(x)vprime(x)dx = u(x)v(x)−
integraldisplay
uprime(x)v(x)dx.
Příklad.
Vypočítejme
integraldisplay
x cosx dx.
Řešení.
Metoda per partes dává
integraldisplay
x cosx dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingleu = x, vprime = cosxuprime = 1, v = sinx
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle =
x sinx −
integraldisplay
sinx dx = x sinx + cosx + C.
Petr Gurka (katedra matematiky) 6. Primitivní funkce a neurčitý integrál. 9. 11. 2006 10 / 15
Příklad.
Vypočítejme
integraldisplay
ln(x + 1)dx.
Řešení.
Výraz ln(x + 1) můžeme napsat jako 1 · ln(x + 1). Pak
integraldisplay
ln(x + 1)dx =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
u = ln(x + 1), vprime = 1
uprime = 1x+1, v = x+1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingl
Vloženo: 25.06.2009
Velikost: 233,11 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu TAA01E - Aplikovaná matematika
Reference vyučujících předmětu TAA01E - Aplikovaná matematika
Reference vyučujícího doc. RNDr. CSc. Petr Gurka
Podobné materiály
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 1
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 2
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 3
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 4
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 5
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 7
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 8
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 9
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 10
- TAA01E - Aplikovaná matematika - přednáška 11
Copyright 2023 unium.cz. Abychom mohli web rozvíjet a dále vylepšovat podle preferencí uživatelů, shromažďujeme statistiky o návštěvnosti, a to pomocí Google Analytics a Netmonitor. Tyto systémy pro unium.cz zaznamenávají, které stránky uživatel na webové stránce navštívil, odkud se na stránku dostal, kam z ní odešel, jaké používá zařízení, operační systém či prohlížeč, či jaký má preferenční jazyk. Statistiky jsou anonymní, takže unium.cz nezná identitu návštěvníka a spravuje cookies tak, že neumožňuje identifikovat konkrétní osoby. Používáním webu vyjadřujete souhlas použitím cookies a následujících služeb: