- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
priklady
EAE99E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Hradec Králové)
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál1
Lineární programování – sbírka
p íklad
kolektiv autor
1. P edmluva
Mnoho literatury LP, snaha o matematickou preciznost na úkor pochopitelnosti
Z hlediska matematiky to n kdy m že být nep esné (texty nebudeme zaplevelovat
transpozicemi, apod.)
Chybí praktické tipy a triky
P edpokládá se znalost teorie, nebude tu opakována v plném rozsahu, nutno
používat i jiné zdroje
Pro Klatovy: není to precizn zkontrolované, ve výsledcích mohou být chyby.
Auto i
Použitá konvence zna ení
Prvek Styl P íklad
Matice velké tu né písmeno A
Vektor malé tu né písmeno c
Prom nná malé písmeno kurzívou x1
Funkce malé písmeno kurzívou f
Množina velké psací písmeno
2
2. Operace s vektory a maticemi, soustavy lineárních rovnic
Cílem této kapitoly je poskytnout tená i k dispozici matematické nástroje, bez
kterých se p i ešení úloh lineárního programování neobejde. Budou zopakovány základní
operace z oblasti lineární algebry, jejichž bezpe né zvládnutí je klí em k úsp šnému ešení
model LP i provád ní postoptimaliza ních analýz.
2.1. ešené p íklady
V následujícím textu budeme p edpokládat, že
a = (3, -1, 2)
b = (2, 5, -3)
jsou vektory vektorového prostoru dimenze 3 a
1 0 5
2 1 3
2 0
0 3
2 1
2 4 0
1 0 2
5 3 4
A
B
C
jsou r zné matice.
S ítání vektor
Vektory s ítáme po složkách. Výsledkem je vektor stejné dimenze jako s ítané vektory.
c = a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3), tedy pro naše vektory
c = (3, -1, 2) + (2, 5, -3) = (5, 4, -1)
Vektory lze stejným zp sobem od ítat:
c = a - b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3), tedy
c = (3, -1, 2) - (2, 5, -3) = (1, -6, 5)
Násobení vektoru skalárem
Nech k = 5 je konstanta (skalár). Potom lze každý vektor touto konstantou vynásobit tak, že
se konstantou vynásobí každá složka daného vektoru:
c = k.a = (k.a1, k.a2, k.a3), tedy
c = 5.(3, -1, 2) = (15, -5, 10)
3
Skalární sou in dvou vektor
Násobit skalárn dva vektory znamená vynásobit mezi sebou odpovídající si složky obou
vektor a poté tyto sou iny se íst. Výsledkem je jediná hodnota (skalár).
d = a.b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3, nebo konkrétn
d = (3, -1, 2) . (2, 5, -3) = 6 – 5 – 6 = -5
Je-li skalární sou in dvou vektor roven nule, pak jsou tyto vektory na sebe kolmé.
Lineární kombinace vektor , lineární konvexní kombinace vektor
Nech l1 = 3 a l2 = -2 jsou konstanty. Pokud chceme vytvo it vektor c jako lineární kombinaci
vektor a a b s koeficienty l1 a l2, musíme nejprve vynásobit každý vektor skalárn
p íslušným koeficientem lineární kombinace a poté výsledné vektory se íst:
c = l1.a + l2.b = (l1.a1, l1.a2, l1.a3) + (l2.b1, l2.b2, l2.b3) = (l1.a1+l2.b1, l1.a2+l2.b2, l1.a3+l2.b3),
tedy
c = 3 . (3, -1, 2) + (-2) . (2, 5, -3) = (9, -3, 6) + (-4, -10, 6) = (5, -13, 12)
Lineární kombinaci vektor nazveme lineární konvexní kombinací v p ípad , že pro její
koeficienty platí:
l1, l2 0 (oba koeficienty jsou nezáporné) a
l1 + l2 = 1 (jejich sou et se rovná jedné).
Násobení matic
Matice lze násobit pouze tehdy, pokud má první matice práv tolik sloupc jako druhá ádk .
Výsledkem operace je matice, která má po et ádk stejný jako první matice a po et sloupc
stejný jako druhá matice. Pokud je tedy matice P rozm ru m x n a R je matice n x p,
výsledkem jejich sou inu bude matice S o rozm ru m x p.
Výsledná matice S obsahuje prvky sij, které dostaneme jako skalární sou in i-tého ádku
matice P a j-tého sloupce matice R.
D = A.B =
2 01 0 5 12 5
. 0 32 1 3 10 0
2 1
Ekvivalentní operace s maticemi
Ekvivalentní operace s maticemi jsou:
násobení ádku matice skalární hodnotou (r znou od nuly)
A = 1 0 5 10 0 502 1 3 2 1 3
p i tení libovolného násobku n kterého ádku k jinému ádku
A = 1 0 5 1 0 52 1 3 4 1 13
4
V prvním p ípad jsme vynásobili první ádek matice hodnotou 10, ve druhém jsme ke
druhému ásku p i etli dvojnásobek ádku prvního.
Inverzní matice, Jordanova elimina ní metoda
Podmínky pro existenci inverzní matice k dané matici jsou:
matice musí být tvercová (musí mít stejný po et ádk jako sloupc ),
ádky matice musí být lineárn nezávislé (žádný z ádk nesmí být možno vyjád it jako
lineární kombinaci ostatních ádk ).
Existuje více zp sob jak inverzní matici nalézt. Nej ast ji se používá Jordanova elimina ní
metoda:
C =
2 4 0
1 0 2
5 3 4
K této matici p ipíšeme jednotkovou matici:
2 4 0 1 0 0
1 0 2 0 1 0
5 3 4 0 0 1
Provádíme ekvivalentní operace tak, aby se jednotková matice p esunula na místo matice C.
Po dokon ení p esunu získáme matici C-1 na míst , kde p edtím byla jednotková matice.
Provedeme první krok. Pot ebujeme p emístit první sloupec jednotkové submatice (celkov 4.
sloupec) na pozici prvního sloupce. Použijeme jeden krok Jordanovy elimina ní metody,
který se skládá ze dvou ástí:
pot ebujeme dostat na první pozici hodnotu 1, proto celý první ádek vyd líme dv ma.
2 4 0 1 0 0 1 2 0 0,5 0 0
1 0 2 0 1 0 1 0 2 0 1 0
5 3 4 0 0 1 5 3 4 0 0 1
všechny ostatní hodnoty v prvním sloupci musí být nulové, proto ke všem ostatním ádk m
p i teme vhodný násobek nového prvního ádku. Na druhém ádku v prvním sloupci je
hodnota -1, proto ke druhému ádku p i teme nezm n ný nový první ádek (vynásobíme
ho hodnotou 1).
1 2 0 0,5 0 0 1 2 0 0,5 0 0
1 0 2 0 1 0 0 2 2 0,5 1 0
5 3 4 0 0 1 5 3 4 0 0 1
Na t etím ádku je v prvním sloupci hodnota 5, proto nový první ádek vynásobíme
hodnotou -5 p i teme ho k t etímu ádku.
5
1 2 0 0,5 0 0 1 2 0 0,5 0 0
0 2 2 0,5 1 0 0 2 2 0,5 1 0
5 3 4 0 0 1 0 7 4 2,5 0 1
Je d ležité p esn zachovat tento postup, pokud bychom ádky ode etli obrácen ,
p išli bychom o jednotkovou submatici.
Stejným zp sobem pokra ujeme dále, dokud se celá jednotková submatice nep esune.
1 2 0 0,5 0 0 1 0 2 0 1 0 1 0 0 0,5 1,33 0,67
0 2 2 0,5 1 0 0 1 1 0,25 0,5 0 0 1 0 0,5 0,67 0,33
0 7 4 2,5 0 1 0 0 3 0,75 3,5 1 0 0 1 0, 25 1,167 0,33
C-1 =
0,5 1,33 0,67
0,5 0,67 0,33
0,25 1,167 0,33
ešení soustav lineárních rovnic pomocí Jordanovy elimina ní metody
Pomocí Jordanovy elimina ní metody lze ešit také soustavy lineárních rovnic.
Soustavu lineárních rovnic
2x1 – 2x2 + 4x3 = 2
x1 + x2 + 2x3 = 1
-2x1 + x2 + 2x3 = 4
m žeme zapsat do maticového tvaru
2 2 4 2
1 1 2 1
2 1 2 4
Pomocí Jordanovy elimina ní metody transformujeme matici soustavy (matice koeficient
prom nných, první t i sloupce matice) do formy jednotkové matice. Protože použijeme pouze
ekvivalentní operace na celé ádky matice, v posledním sloupci dostaneme hledané hodnoty
prom nných.
V prvním kroku transformujeme matici tak, aby její první sloupec obsahovat jednotkový
vektor s jedni kou na prvním míst . Proto první ádek vyd líme dv ma, ke druhému ádku
p i teme (-1) násobek nového prvního ádku a ke t etímu ádku p i teme dvojnásobek nového
prvního ádku.
Transformovaná matice po prvním kroku vypadá takto:
2 2 4 2 1 1 2 1
1 1 2 1 0 2 0 0
2 1 2 4 0 1 6 6
6
Ve druhém kroku pot ebujeme dostat jednotkový vektor do druhého sloupce tak, aby jeho
jedni ka byla na druhém ádku. P itom je ale pot eba zachovat již vytvo ený jednotkový
vektor v prvním sloupci.
Druhý ádek vyd líme hodnotou 2. Potom k prvnímu ádku p i teme nový druhý ádek a ke
t etímu ádku také nový druhý ádek. Transformace vypadá takto:
1 1 2 1 1 0 2 1
0 2 0 0 0 1 0 0
0 1 6 6 0 0 6 6
Nyní transformaci dokon íme. T etí ádek vyd líme hodnotou 6. K prvnímu ádku p i teme
(-2) násobek nového t etího ádku, druhý ádek m žeme nechat beze zm ny (v jeho t etím
sloupci již nula je).
1 0 2 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 6 6 0 0 1 1
Protože jsme celou dobu provád li pouze ekvivalentní operace s vektory dané matice,
m žeme transformovanou soustavu p epsat z maticového tvaru zp t do tvaru rovnicového:
x1 + 0x2 + 0x3 = -1
0x1 + x2 + 0x3 = 0
0x1 + 0x2 + x3 = 1
ze kterého rovnou vidíme hledané hodnoty prom nných
x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1
ešení soustav lineárních rovnic s parametrem, bázická a nebázická ešení
Pokud soustava lineárních rovnic obsahuje více prom nných než je rovnic, má daná soustava
nekone n mnoho ešení. Abychom obdrželi n jaké konkrétní ešení, musíme hodnoty
n kterých prom nných zvolit (lze libovoln ) a na jejich základ hodnoty ostatních
prom nných dopo ítat.
M jme soustavu t í lineárních rovnic o p ti neznámých
4x1 + 2x2 + x3 – 2x4 – x5 = 23
x1 + x2 – x4 – x5 = 9
x1 + 2x2 – x4 – 2x5 = 14
Protože je prom nných o dv více než rovnic a rovnice jsou lineárn nezávislé, bude pot eba
p i konstrukci konkrétního ešení dv prom nné považovat za volitelný parametr a na jejich
základ hodnoty zbylých t í dopo ítat.
P ed odvozováním ešení je výhodné použít Jordanovu elimina ní metodu a transformovat
matici soustavy do kanonického tvaru. To je tvar, ve kterém matice soustavy obsahuje úplnou
jednotkovou submatici.
7
Vybereme si t i sloupce prom nných, jejichž sloupcové vektory nejsou lineárn závislé,
nap íklad prom nné x3, x4 a x5. Soustavu rovnic p evedeme do maticové formy resp. do formy
tabulky, jejíž záhlaví tvo í názvy prom nných
x1 x2 x3 x4 x5 b
4 2 1 -2 -1 23
1 1 0 -1 -1 9
1 2 0 -1 -2 14
a pomocí Jordanovy elimina ní metody dosáhneme kanonického tvaru. Prom nná x3 již ve
svém sloupci jednotkový vektor má, pod prom nné x4 a x5 ho pomocí dvou krok dostaneme.
x1 x2 x3 x4 x5 b
4 2 1 -2 -1 23
1 1 0 -1 -1 9
1 2 0 -1 -2 14
2 0 1 0 1 5
-1 -1 0 1 1 -9
0 1 0 0 -1 5
2 1 1 0 0 10
-1 0 0 1 0 -4
0 -1 0 0 1 -5
Pro názornost m žeme op t soustavu p epsat do formy rovnic:
2x1 + x2 + x3 = 10
-x1 + x4 = -4
-x2 + x5 = -5
Je z ejmé, že je p i odvozování konkrétních ešení výhodné volit jako parametry prom nné x1
a x2, nebo prom nné x3, x4 a x5 se vyskytují práv v jedné rovnici. íkáme, že jejich vektory
tvo í bázi daného vektorového prostoru dimenze 3 (t i ádky, t i rovnice, t i složky
sloupcových vektor ). Proto tyto prom nné ozna ujeme termínem bázická prom nná,
ostatní prom nné ozna ujeme jako nebázické prom nné (parametry).
Uvedli jsme, že hodnoty parametr m žeme volit libovoln . Pro pozd jší použití je výhodné
definovat jeden speciální typ parametrického ešení; takové, že hodnoty všech parametr
nabývají nulové hodnoty. V tom p ípad dopo ítávané prom nné nabývají aktuální hodnoty
p íslušné pravé strany. Takové ešení ozna ujeme termínem bázické ešení soustavy
lineárních rovnic.
Naopak u nebázického ešení je tato podmínka porušena. Sta í, abychom jakékoliv nebázické
prom nné p i adili hodnotu r znou od nuly a již se jedná o ešení nebázické.
Z výše uvedeného p íkladu bázické ešení snadno odvodíme. Prom nné v n m nabývají t chto
hodnot:
x1 = 0 … parametr, v bázickém ešení pokládáme roven nule
x2 = 0 … parametr, v bázickém ešení pokládáme roven nule
x3 = 10 … bázická prom nná na prvním ádku, je rovna první složce vektoru pravých stran
x4 = -4… bázická prom nná na druhém ádku, je rovna druhé složce vektoru pravých stran
x5 = -5… bázická prom nná na t etím ádku, je rovna t etí složce vektoru pravých stran
8
ešení m žeme zapsat formou vektoru bázického ešení
xB = (0, 0, 10, -4, -5)
nebo formou vektoru obecného ešení, ve kterém vyjad ujeme bázické prom nné pomocí
pravých stran a nebázických prom nných
xO =
1
2
10 2 1 2
4 1
5 2
x
x
x x
x
x
Pokud bychom se z n jakého d vodu rozhodli, že nám sou asná báze nevyhovuje, snadno ji
m žeme zm nit. Transformace se provádí op t pomocí Jordanovy elimina ní metody.
Pro ilustraci m žeme vytvo it bázi obsahující prom nné x1, x3 a x5
x1 x2 x3 x4 x5 b
2 1 1 0 0 10
-1 0 0 1 0 -4
0 -1 0 0 1 -5
0 1 1 2 0 2
1 0 0 -1 0 4
0 -1 0 0 1 -5
a op t ur it hodnoty prom nných v daném bázickém ešení:
x1 = 4 … bázická prom nná na druhém ádku, je rovna druhé složce vektoru pravých stran
x2 = 0 … parametr, v bázickém ešení pokládáme roven nule
x3 = 2 … bázická prom nná na prvním ádku, je rovna první složce vektoru pravých stran
x4 = 0 … parametr, v bázickém ešení pokládáme roven nule
x5 = -5… bázická prom nná na t etím ádku, je rovna t etí složce vektoru pravých stran
neboli xB = (4, 0, 2, 0, -5), p ípadn
xO =
4 4
2
2 2 2 4
4
5 2
x
x
x x
x
x
Z bázického ešení lze snadno odvodit ešení nebázické. Sta í dosadit zvolené hodnoty
parametr do soustavy rovnic, p evést s opa ným znaménkem na pravou stranu, ze které lze
potom snadno ode íst hodnoty bázických prom nných.
Položme hodnoty parametr x2 = 2 a x4 = -1. Po dosazení do soustavy rovnic dostaneme
9
1.2 + x3 + 2.(-1) = 2
x1 – (-1) = 4
-2 + x5 = -5
tedy
x3 = 2
x1 = 3
x5 = -3
což m žeme zapsat do vektoru bázického ešení xB = (3, 2, 2, -1, -3).
2.2. P íklady k procvi ení
P íklad 1
a = (5, 7, 2, 3), b = (-1, -5, 4, 6), c = (2, -7, -4, 3), d = (1, 4, 3, 0)
Ur ete vektor e jako
a) e = a + b - c
b) e = b + d - a + c
c) e = 5a - 2b
d) e = 3b + 2c - 4a
e) lineární kombinaci vektor b a d s koeficienty l1 = 3 a l2 = -2
f) lineární kombinaci vektor c a d s koeficienty l1 = -5 a l2 = 4
g) lineární konvexní kombinaci vektor a a c s koeficientem l1 = 0,7 (l2 dopo ítejte)
h) lineární konvexní kombinaci vektor b a c s koeficienty l1 = 0,4 (l2 dopo ítejte)
P íklad 2
a = (5, 7, 2, 3), b = (-1, -5, 4, 6), c = (2, -7, -4, 3), d = (1, 4, 3, 0)
Ur ete hodnotu u jako skalární sou in vektor
a) u = a.b
b) u = b.c
c) u = c.d
d) u = a.c
e) u = a.d
f) u = b.d
10
P íklad 3
2 5 3 2 3 5 2 0
0 2 5 , 1 2 , 0 2 1
1 1 7 3 0
A B C
Pokud je to možné, ur ete matici D jako
a) D = A.B
b) D = B.C
c) D = C.B
d) D = (C.A).B
e) D = A-1
f) D = (B.C)-1
P íklad 4
1 0 2 2 0 1 22 3 1 6
0 2 2 0 5 1 0, 4 2 0 1 ,
1 0 1 1 1 5 20 5 6 2
0 1 0 2 0 0 6
A B C
Pokud je to možné, ur ete matici D jako
a) D = A.C
b) D = B.C
c) D = C.B
d) D = (A.C).B
e) D = A-1
f) D = (C.B)-1
g) D = A-1.C
P íklad 5
Pomocí Jordanovy elimina ní metody ešte soustavu lineárních rovnic
a) 5x1 + 2x2 = 2
2x1 + x2 = 1
b) -3x1 + x2 = -2
x1 + 3x2 = 6
11
c) 2x1 - 3x2 = 10
6x1 - 4x2 = 5
d) 3x1 + x2 + 3x3 = -2
x1 + 3x2 + 2x3 = 3
x2 + x3 = 3
e) 2x1 + 2x2 + 2x3 = 2
x1 + 2x3 = 4
4x1 + x2 + 2x3 = 3
f) x1 - x2 + 3x3 = 7
x1 +5x2 – x3 = -4
3x1 + 9x2 + x3 = 5
g) x1 - x2 + 2x3 + 4x4 = 4
2x1 + 2x2 - 2x3 + x4 = 2
x1 + x2 - x3 - x4 = 1
- x2 + 2x3 + x4 = 2
h) x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 = 8
2x1 - x2 + x3 + x4 = 1
x1 + x2 - x3 + 4x4 = 5
3x1 - x2 + 2x3 + x4 = 5
i) 5x2 - x3 + 3x4 = 4
2x1 + 5x3 - 2x4 = 1
x1 + 2x2 + 6x3 + 2x4 = -2
x1 + x2 + x3 - x4 = -1
P íklad 6
Je dána soustava lineárních rovnic
x1 + 2x2 + x3 - x4 + 2x5 = 10
12
4x2 - x3 = 4
2x1 - 2x2 + x3 - x4 - 2x5 = 2
a) Pomocí Jordanovy elimina ní metody p eve te úlohu do kanonického tvaru s bazickými
prom nnými x3, x4 a x5.
b) Ur ete vektor bazického ešení a vektor obecného ešení dané soustavy rovnic
c) Nahra te v bázi prom nnou x3 prom nnou x2. Ur ete vektor bazického ešení.
P íklad 7
Je dána soustava lineárních rovnic
x1 + 2x2 + x3 - x4 + 2x5 = 4
5x1 + 4x2 - x3 + x4 + 4x5 = 2
2x1 - 2x2 + x3 + 2x4 + x5 = 5
a) Pomocí Jordanovy elimina ní metody p eve te úlohu do kanonického tvaru s bazickými
prom nnými x1, x2 a x3.
b) Ur ete vektor bazického ešení a vektor obecného ešení dané soustavy rovnic
c) Nahra te v bázi prom nnou x3 prom nnou x5. Ur ete vektor bazického ešení.
P íklad 8
Je dána soustava lineárních rovnic
x1 + 2x2 - x3 + 2x4 + x5 - x6 = 8
-2x1 + x2 + 2x3 + x4 + 2x5 - 2x6 = 6
x1 + 2x2 + x3 - 2x4 + x5 + x6 = 2
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 - 2x6 = 3
a) Pomocí Jordanovy elimina ní metody p eve te úlohu do kanonického tvaru s bazickými
prom nnými x3, x4, x5 a x6.
b) Ur ete vektor bazického ešení a vektor obecného ešení dané soustavy rovnic
c) Nahra te v bázi prom nnou x4 prom nnou x1. Ur ete vektor bazického ešení.
d) Nahra te v bázi prom nnou x5 prom nnou x1. Ur ete vektor bazického ešení.
2.3. ešení p íklad
P íklad 1
a) e = (2, 9, 10, 6)
b) e = (-3, -15, 1, 6)
13
c) e = (27, 45, 2, 3)
d) e = (-19, -57, -4, 12)
e) e = (-5, -23, 6, 18)
f) e = (-6, 51, 32, -15)
g) e = (4,1; 2,8; 0,2; 3)
h) e = (0,8; -6,2; -0,8; 4,2)
P íklad 2
a) u = -14
b) u = 35
c) u = -38
d) u = -38
e) u = 39
f) u = -9
P íklad 3
a) D =
8 16
13 4
18 1
b) D =
7 10 3
7 2 2
15 6 0
c) D = 8 197 1
d) D = 66 880 7
e) D =
9 32 19
5 17 10
2 7 4
f) D = nelze
14
P íklad 4
a) D =
2 9 14
12 8 4
1 4 6
5 1 12
b) D =
16 0 34
10 2 2
31 25 24
c) D =
4 12 12 3
6 17 5 29
22 17 11 7
0 30 36 12
d) D =
40 82 82 7
56 0 12 72
18 25 37 22
6 77 77 53
e) D =
3 2 2 4
2 1 2 3
2 1,5 2 3
1 0,5 1 1
f) D = nelze
g) D =
12 11 14
7 11 10
9,5 10,5 10
3,5 5,5 2
P íklad 5
a) x1 = 0 ; x2 = 1
b) x1 = 1,2 ; x2 = 1,6
c) x1 = -2,5 ; x2 = -5
d) x1 = 17 ; x2 = -20 ; x3 = 23
e) x1 = 0 ; x2 = -1 ; x3 = 2
f) nemá ešení
g) x1 = 2 ; x2 = 0 ; x3 = 1 ; x4 = 0
h) x1 = 15 ; x2 = 10,2 ; x3 = -11 ; x4 = -7,8
15
i) nemá ešení
P íklad 6
a)
x1 x2 x3 x4 x5 b
1 2 1 -1 2 10
0 4 -1 0 0 4
2 -2 1 -1 -2 2
1 2 1 -1 2 10
1 6 0 -1 2 14
1 -4 0 0 -4 -8
0 -4 1 0 0 -4
-1 -6 0 1 -2 -14
1 -4 0 0 -4 -8
0 -4 1 0 0 -4
-1,5 -4 0 1 0 -10
-0,25 1 0 0 1 2
b)
xB = (0, 0, -4, -10, 2),
1
2
2
1 2
1 2
4 4
10 1,5 4
2 0,25
x
x
x
x x
x x
Ox
c)
-0,25 1 0 0 1 2
x1 x2 x3 x4 x5 b
0 1 -0,25 0 0 1
-1,5 0 -1 1 0 -6
-0,25 0 0,25 0 1 1
xB = (0, 1, 0, -6, 1)
P íklad 7
a)
16
x1 x2 x3 x4 x5 b
1 2 1 -1 2 4
5 4 -1 1 4 2
2 -2 1 2 1 5
1 2 1 -1 2 4
0 -6 -6 6 -6 -18
0 -6 -1 4 -3 -3
1 0 -1 1 0 -2
0 1 1 -1 1 3
0 0 5 -2 3 15
1 0 0 0,6 0,6 1
0 1 0 -0,6 0,4 0
0 0 1 -0,4 0,6 3
b)
xB = (1, 0, 3, 0, 0),
4 5
4 5
4 5
4
5
1 0,6 0,6
0 0,6 0, 4
3 0,4 0,6
x x
x x
x x
x
x
Ox
c) 0 0 1 -0,4 0,6 3
x1 x2 x3 x4 x5 b
1 0 -1 1 0 -2
0 1 -0,67 -0,33 0 -2
0 0 1,667 -0,67 1 5
xB = (-2, -2, 0, 0, 5)
P íklad 8
a)
17
x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
1 2 -1 2 1 -1 8
-2 1 2 1 2 -2 6
1 2 1 -2 1 1 2
1 1 -2 -1 1 -2 3
-1 -2 1 -2 -1 1 -8
0 5 0 5 4 -4 22
2 4 0 0 2 0 10
-1 -3 0 -5 -1 0 -13
-1 0 1 0 0,6 -0,6 0,8
0 1 0 1 0,8 -0,8 4,4
2 4 0 0 2 0 10
-1 2 0 0 3 -4 9
-1,6 -1,2 1 0 0 -0,6 -2,2
-0,8 -0,6 0 1 0 -0,8 0,4
1 2 0 0 1 0 5
-4 -4 0 0 0 -4 -6
-1 -0,6 1 0 0 0 -1,3
0 0,2 0 1 0 0 1,6
1 2 0 0 1 0 5
1 1 0 0 0 1 1,5
b)
xB = (0; 0; -1,3; 1,6; 5; 1,5)
1
2
1 2
2
1 2
1 2
1,3 0,6
1,6 0, 2
5 2
1,5
x
x
x x
x
x x
x x
Ox
c) nelze, na míst klí ového prvku nesmí být nula
d) 1 1 0 0 0 1 1,5
x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 1,4 1 0 1 0 3,7
0 0,2 0 1 0 0 1,6
1 2 0 0 1 0 5
0 -1 0 0 -1 1 -3,5
18
3. Sestavení modelu lineárního programování
Mnoho u ebnic lineárního programování oblast sestavení modelu LP na základ
slovního zadání p echází s poznámkou, že neexistuje univerzální návod, jak tuto
transformaci uskute nit. To je pravda stejn jako fakt, že modelování, resp. systémové
modelování (definice systému na reálném objektu a následná konstrukce modelu na
základ definovaného systému) pat í s
Vloženo: 28.03.2011
Velikost: 3,42 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu EAE99E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Hradec Králové)
Reference vyučujících předmětu EAE99E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Hradec Králové)
Podobné materiály
- AAE01E - Obecná fytotechnika - Příklady na osevní postupy
- ERE49E - Kybernetika v řízení PAA - Příklady
- ETE09E - Informatika II. - Příklady - Halbich
- EEE08E - Ekonomika podniků I. PaE - fa-příklady
- EEE08E - Ekonomika podniků I. PaE - Příklady
- EUE14E - Obchodní nauka - příklady
- ESE27E - Základy statistiky - Příklady
- ESE27E - Základy statistiky - Příklady
- ERE61E - Teorie řízení PAA - Příklady
- ERE39E - Teorie řízení PAE - Příklady
- ERA09E - Teorie řízení - FAPPZ - Příklady
- ERT08E - Teorie řízení TF - Příklady
- ERT08E - Teorie řízení TF - Příklady
- EAE26E - Matematické metody v ekonomii a managementu - priklady
- EAE82E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Cheb) - priklady
- EAE98E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Klatovy) - priklady
- EAE97E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Litoměřice)) - priklady
- EAEA1E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Most) - priklady
- EAEA7E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Sezimovo Ústí) - priklady
- EAEA9E - Matematické metody v ekonomii a managementu (Šumperk) - priklady
- EAE01Z - Ekonomicko matematické metody I - příklady
- EAE01Z - Ekonomicko matematické metody I - příklady
- EAE04E - Ekonomicko matematické metody I. - priklady
- EAE04E - Ekonomicko matematické metody I. - priklady
- EAE71E - Ekonomicko matematické metody I. - priklady
- EAE71E - Ekonomicko matematické metody I. - priklady
Copyright 2024 unium.cz