- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálStatistika II.
Více rozměrná statistika = hledáme závislosti a vztahy mezi znaky
Měření závislostí kvantitativních znaků1. přednáška
Závislosti mezi dvěma či více znaky
zajímají nás příčinné (kauzální) souvislosti – výskyt jednoho znaku je svázán s výskytem druhého znaku
pevná závislost – výskyt jednoho znaku je neoddělitelně spjat s výskytem druhého znaku (pravděpodobnost výskytu druhého znaku při výskytu prvního znaku je 1)
volná závislost – s výskytem jednoho znaku se zvyšuje pravděpodobnost výskytu druhého znaku
sledované znaky nazýváme proměnnými:
proměnná y – závisle proměnná – nabývá hodnot y1, y2, . . . yk
proměnná x – nezávisle proměnná – nabývá hodnot x1, x2, . . . xk
znaky kvantitativní – hovoříme o tzv. statistické závislosti
Metody regresní a korelační analýzy
slouží k popisu závislosti znaků
závislost:
jednostranné – y = závisle proměnná, x = nezávisle proměnná
oboustranné – původní závisle proměnná se promění v nezávislou a naopak
u korelační a regresní analýzy máme 2 hlavní úkoly:
vystihnout průběh závislosti – tzv. tendenci změn, abychom mohli provádět odhady závisle proměnné = vlastní regresní analýza
změřit sílu neboli intenzitu závislosti, abychom mohli říci, jak je závislost silná a zároveň abychom mohli posoudit přesnost regresních odhadů z předcházejícího bodu = korelační analýza
Výpočet podmíněných průměrů
nejjednodušší způsob vyjádření průběhu závislosti
postup:
tak, že roztřídíme hodnoty závisle proměnné do skupin podle uvažovaných hodnot nezávisle proměnné
xi
yi
(yi
si2
intervaly
y1,y10,y21
spočítáme průměr (yi z těchto hodnot = podmíněné průměry
podmíněné jsou proto, že jsou podmíněny hodnotám nezávisle proměnné
lze vypočítat i podmíněné rozptyly
podmíněné průměry nám vyjadřují průběh závislosti
(yi
čára podmíněných průměrů (nejjednodušší způsob
vyjádření průběhu závislosti
xi
dále musíme změřit i těsnost závislosti
to můžeme provést tzv. korelačním poměrem
s(y2
pyx = -------------
sy2
s(y2 = rozptyl podmíněných průměrů
sy2 = rozptyl původních hodnot závisle proměnné y
(si2
nebo pyx = 1 - -------------
sy2
(si2 = průměr podmíněných rozptylů (z hodnot ze sloupce si2)
korelační poměr nabývá hodnot (0,1( a čím více se vypočtená hodnota blíží k 1, tím je závislost silnější a čím více se hodnota blíží k 0, tím závislost slabší
vystižení průběhu závislosti pomocí podmíněných průměrů je poměrně přesné, ale má jeden závažný nedostatek – na základě podmíněných průměrů nedokážeme provádět odhady
Regresní funkce
= matematické funkce
yy‘ = bo + b1 xRegresní přímka
- má 2 parametry: b0,b1
y‘ = bo - b1 x
x
y
y‘ = b0 + b1 x – b2 x2 + b3 x3Kubická parabola – parabola 3. stupně
x
y
y‘ = b0 + b1 x – b2 x2Parabola 2. stupně
y‘ = b0 – b1 x + b2 x2(tvar udává znaménko u b2)
x
yy‘ = b0 xb1
y‘ = b0 b1xExponenciála – mocninná funkce
x
y
y‘ = b0 – b1 1/xDvě hyperboly
y‘ = b0 + b1 1/x
x
y
b0
y‘ = -------------------Růstová funkce
1 + b1 e-b2 x- speciální funkce, která se běžně
nevyskytuje
x
úkol:
určit typ funkce k popisu konkrétní závislosti:
ze zkušenosti
sestrojíme tzv. korelační pole a to tak, že do grafu vyneseme body pro jednotlivé hodnoty x a y, vyznačíme pak korelační pole a hledáme funkci, které nejlépe probíhá korelačním polem (v tom poli jsou všechny vynesené body)
y
yi
di
yi‘
x
di = vzdálenost mezi skutečnou a teoretickou hodnotou (rozdíle mezi yi a yi‘)
chceme, aby suma vzdáleností těchto odchylek skutečných a teoretických hodnot byla co nejmenší
statistický software – konkrétní závislost si proložíme různými typy funkcí a potom až zpětně se snažíme vybrat z funkcí tu, která je nejvhodnější
u regresní a korelační analýzy pracujeme s určitým souborem jednotek
úkol:
najít konkrétní funkční rovnici – tzn. určit parametry funkce (tj. vypočítat je)
Metoda nejmenších čtverců
Nejběžnější
Máme funkciy = f ( x, b0, b1, b2, . . . bp)
y = b1f1 + b2f2 + . . . + bpfp
fj = fj (x)
1. požadavek:
( (i = 1, . . n) (yi - yi‘) = 0
tento 1. požadavek nevede k jednoznačnému řešení – funkcí, které jej splní je nekonečně mnoho a proto formulujeme tzv. 2. požadavek
2. požadavek:
chceme, aby kvadrát těch odchylek byl minimální
( (i = 1, . . n) (yi - yi‘)2 = min
tento požadavek již vede k jednoznačnému řešení
metodu nejmenších čtverců používáme k řešení parametrů všech regresních funkcí
Přímková regrese
nejjednodušší
taková regrese, kdy průběh závislosti je vystižen regresní přímkou
rovnice regresní přímky:
y‘ = ayx + byx x
indexy yx udávají směr závislosti – y závisí a na x
metoda nejmenších čtverců:
( (i = 1, . . n) (yi – a – b xi)2 = min
provedeme parciální derivace obou parametrů a položíme je rovny 0:
(x / (a = ( (i = 1, . . n) (yi – a – b xi)2 = 0
(x / (b = ( (i = 1, . . n) (yi – a – b xi)2 = 0
2 ( (i = 1, . . n) (yi – a – b xi)2 (-1) = 0
2 ( (i = 1, . . n) (yi – a – b xi)2 (-x) = 0
po úpravě: dostaneme se k tzv. normálním rovnicím přímky:
n ayx + byx ( xi = ( yi
ayx ( xi + byx ( xi2 = ( xi yi
= soustava dvou rovnic o dvou neznámých (a,b)
n ( xi yi - ( xi ( yi/: n2
byx = ----------------------------------- =
n ( xi2 – (( xi)2/: n2
( xi yi ( xi ( yikovariance (cov)
---------- - -------- * ---------
n n n(x(y - (x * (y
= ---------------------------------------- = ----------------------------
( xi2( xi 2(x(2 - ((x (2
--------- - ----------
n n
cov xykovariance = průměr součinů – součin průměrů
byx = -------------
sx2
byx = regresní koeficient – lze ho interpretovat: vyjadřuje nám o kolik se změní závisle proměnná (zde y), když se nezávisle proměnná x změní o jednotku
regresní koeficient lze použít též k odhadům – pouze změny
chceme-li odhadnout skutečnou hodnotu závisle proměnné, tak musíme použít celou regresní funkci
( yi ( xi
ayx = ---------- - byx * --------- = (y - byx (x
n n
sdružená regresní přímka s předchozí:
x‘ = axy + bxy y
2. regresní přímka – obrácená závislost – zde x závisí na y
sdružené normální rovnice regresní přímky:
n axy + bxy ( yi ( yi = ( xizjistili jsme je pomocí metody nejmenších čtverců -
axy ( yi + bxy ( yi2 = ( xi yiprovedli jsme dílčí parciální derivace
určíme opět parametry:
bxy = regresní koeficient
n ( xi yi - ( xi ( yi(x(y - (x * (y
bxy = ---------------------------- = ----------------------
n ( yi2 – ( ( yi )2(y(2 - ((y (2
cov xy
bxy = ------------------
sy2
axy = (x - bxy (y
byx a bxy – tvoří sdružené regresní koeficienty
bxy – vyjadřuje o kolik se změní závisle proměnná x, jestliže se nezávisle proměnná y změní o jednu jednotku (opět lze použít jen pro odhad změny)
Korelační koef., koef. determinace, korelační tabulka, nelineární regrese2. přednáška
Korelační koeficient
v případě, že průběh závislosti je vyjádřen rovnicí přímky, pak těsnost závislosti měříme tzv. korelačním koeficientem
tento koeficient nabývá hodnot ( -1, +1(
tento koeficient vyjadřuje tedy intenzitu závislosti
koeficient může nabývat:
kladných hodnot – tzn. že se jedná o závislost přímou
záporných hodnot – tzn. že se jedná o závislost nepřímou
čím více se regresní koeficient blíží k 1, resp. k –1, tím je závislost silnější a naopak čím více se vypočtená hodnota blíží k 0, tím je závislost slabší
definiční tvar korelačního koeficientu:
sy‘ 2
ryx = ----------
sy2
yi‘ = (y + byx * ( xi -(x )
( ( yi‘ - (y )2 ( ((y + byx * ( xi -(x ) -(y (2
sy‘ 2 = ------------------- = -------------------------------------
n n
byx2 ( ( xi -(x )2
= ----------------------------- = byx2 * sx2
n
Rozptyl z hodnot x
korelační koeficient lze zapsat i jako součin obou regresních koeficientů:
ryx = byx * bxypřičemž platí: rxy = ryx = r – tzn. že jsou stejné a nezáleží
tedy na závislosti
Přepočet regresního a korelačního koeficientu:
sy sx
byx = r * ---------bxy = r * ----------
sx sy
výpočtový tvar korelačního koeficientu:
(x(y - (x * (y
r = ---------------------------------------------
((x(2 - ((x (2 ( ((y(2 - ((y (2 (
( xi yi ( xi( yi
---------- - -------- * ---------* n2
n n n
= ------------------------------------------------------------------ =
( xi2 ( xi 2 ( yi2 ( yi 2
--------- - ------------------ - --------- * n2
n n n n
n ( xi yi - ( xi( yi
r = ---------------------------------------------------
( n ( xi2 – ( ( xi )2 ( ( n ( yi2 – ( ( yi )2 (
Hodnocení korelačního koeficientu:
kladné znaménko = přímá závislost
záporné znaménko = nepřímá závislost
(r (( ( 0 ; 0,3 (slabá závislost
(r (( ( 0,31 ; 0,7 (střední závislost
(r (( 0,7silná (těsná) závislost
cov xy
r = ------------
sx * sypřičemž: cov xy = 1/n * ( (i=1,..n) ( xi -(x ) * ( yi - (y )
ovlivňuje znaménko
y( xi -(x ) ( 0 a ( yi - (y ) ( 0( xi -(x ) ( 0 a ( yi - (y ) ( 0
-------------------------------------------------------------------
( ( xi -(x ) * ( yi - (y ) ( 0( ( xi -(x ) * ( yi - (y ) ( 0
4. kvadrant – záporný1. kvadrant - kladný
(y
( xi -(x ) ( 0 a ( yi - (y ) ( 0( xi -(x ) ( 0 a ( yi - (y ) ( 0
-------------------------------------------------------------------
( ( xi -(x ) * ( yi - (y ) ( 0( ( xi -(x ) * ( yi - (y ) ( 0
3. kvadrant – kladný2. kvadrant – záporný
(xx
Maticový zápis přímkové regrese
regresní přímka (pro základní soubor):
y = X * b + ε
y1ε1
y = y2 Vektor hodnot závisle proměnnéε = ε2ε = epsilon = vektor
… …neodhadnutelných
ynεnsložek
b11X1
b = b2Vektor regresních koeficientůX = 1X2Matice ………pozorovaných
bn1Xnhodnot nezávisle
proměnné
normální rovnice:
X‘ y = X‘ X * b
Matice soustavy normálních rovnic
B = ( X‘ X ) -1 X‘ y
Inverzní matice k matici soustavy normálních rovnic
Matice X‘ = transponovaná matice k matici X
Index korelace
slouží nám jako obecná míra pro výpočet těsnosti závislosti
bT XT y – 1/n ( ( yi )2
Iyx = ---------------------------------
yT y - 1/n ( ( yi )2pozn.: XT = X‘= transponovaná matice
Koeficient determinace
= korelační koeficient povýšený na druhou
byx2 * sx2
ryx2 = ----------------
sy2
cov2 xy
------------ * sx2
( sx2 )2 cov2 xy
= ---------------------- = ----------------
sy2 sx2 * sy2
koeficient determinace nám v procentech udává, z kolika % je závisle proměnná ovlivněna uvažovanou nezávisle proměnnou
tento koeficient nabývá hodnot ( 0, 1( ( 0 –100 %
Jak hodnotíme koeficient determinace = r2 v %
r2 ( 10 %těsnost nízká
10 % ( r2 ( 50 %těsnost mírná
25 % ( r2 ( 50 %těsnost význačná
50 % ( r2 ( 80 %těsnost velká
80 % ( r2 velmi vysoká těsnost
Jak lze určit korelační koeficient metodou pořadových čísel = Spearmanův koeficient korelace pořadí
- tento koeficient nabývá hodnot ( 0,1(
6 * ( di2
r = 1 - -----------------
n ( n2 – 1 )
jed.
xi
yi
Pořadová čísla - vzestupně
di
di2
ix
iy
1
x1
y1
diference pořadových čísel v každém řádku = ix - iy
(ix - iy)2
2
x2
y2
3
x3
y3
…
…
…
n
xn
yn
slouží nám k rychlému stanovení těsnosti závislosti – je méně přísnou mírou než korelační koeficient (vyjde vždy o něco vyšší)
slouží nám jako orientační míra
Korelační tabulka
jedna z forem kombinačních tabulek
znázorňuje dvourozměrné rozdělení četností (zobrazují se většinou intervaly)
korelační tabulka poskytuje přehled – orientaci v té závislosti
na každém průsečíku té korelační tabulky vidíme tu četnost
xi / yi
y1
y2
…..
yj
x1
n11
n12
…..
n1j
n1
x2
n21
n22
…..
n2j
n2
….
….
xi
ni1
ni2
…..
nij
ni
n1
n2
…..
nj
n
u hodnot xi se používají středy intervalů
stále jsme u párové závislosti
k výpočtu korelačních a regresních charakteristik z korelační tabulky byly odvozeny speciální výpočtové postupy pro usnadnění výpočtu
tato korelační tabulka nám slouží k orientačnímu posouzení, jestli vztah mezi dvěma zkoumanými znaky existuje – čím více jsou četnosti soustředěny kolem úhlopříčky, tím je závislost těsnější
kladná úhlopříčka – přímá závislost
záporná úhlopříčka – nepřímá závislost
Maticový výpočtový tvar korelačního koeficientu (nabývá hodnot ( -1,1( )
b‘ X‘ y – 1/n ( ( yi )2
r2 = -------------------------------
y‘ y – 1/n ( ( yi )2po odmocnění – je nám jasné, že nabývá hodnot ( 0,1( a znaménko dodáváme manuálně – podle znaménka regresního koeficientu
b‘ = transponovaný vektor k vektoru regresních koeficientů
y‘ = transponovaný vektor k vektoru hodnot závisle proměnné
Nelineární regrese
= taková regrese, kdy průběh závislosti je vystižen jinou regresní funkcí než je přímka
párová nelineární regrese
taková, kdy máme jednu závisle proměnou a jednu nezávisle proměnou
u nelineární regrese máme stejné úkoly jako u přímkové regrese:
vystihnout průběh závislosti odpovídající regresní funkcí
stanovit těsnost závislosti
Nelineární regrese3. přednáška
b) Nelineární regrese
vhodný typ funkce – nejlépe nalezneme podle korelačního pole a k určování parametru funkcí používáme metodu nejmenších čtverců
Obecný tvar nelineární regrese:
y‘ = a0 + a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn
Obecná soustava normálních rovnic:
n a0 + a1 ( v1 + a2 ( v2 + . . . + an ( vn = ( y
a0 ( v1 + a1 ( v12 + a2 ( v1 v2 + . . . + an ( v1 vn = ( v1 y
a0 ( v2 + a1 ( v1 v2 + a2 ( v22 + . . . an ( v2 vn = ( v2 y
……………………………………………………………..
a0 ( vn + a1 ( v1 vn + a2 ( v2 vn + . . . + an ( vn2 = ( vn y
Úkol – vystihnout průběh závislosti odpovídající regresní funkcí = vlastní regresní analýza
a) Funkce lineární v parametrech
u těchto funkcí, které jsou lineární v parametrech, lze bez problémů použít metodu nejmenších čtverců
Hyperbola
y‘ = a + b/x
v1 = 1/x dosadíme do obecné soustavy rovnic a získáme tak normální rovnice pro hyperbolu
n a + b ( 1/x = ( y
a ( 1/x + b ( 1/x2 = ( y/x
poměrně často používaná funkce se známým průběhem
Parabola
má 3 parametry
y‘ = a + b x + c x2
pokud do obecných normálních rovnic dosadíme za v1 = x a za v2 = x2, pak dostaneme normální rovnice pro parabolu
n a + b ( x + c ( x2 = ( y
a ( x + b ( x2 + c ( x3 = ( xy
a ( x2 + b ( x3 + c ( x 4 = ( x2y
jedna z nejrozšířenějších funkcí v regresní analýze
Funkce odmocninná
má rovněž 3 parametry
y‘ = a + b x + c (x
a pokud do obecné soustavy dosadíme za v1 = x a za v2 = (x, pak obdržíme soustavu normálních rovnic pro tuto funkci
n a + b ( x + c ( (x = ( y
a ( x + b ( x2 + c ( x(x = ( xy
a ( (x + b ( x(x + c ( x = ( y(x
tato funkce se tolik nepoužívá, ale nalezneme její aplikace v oblasti ekonomických disciplín
zjednodušená odmocninná funkce:
y‘ = a + b (x
a pokud do obecné soustavy rovnic dosadíme za v1 = (x, pak obdržíme soustavu normálních rovnic pro tuto zjednodušenou funkci
n a + b ( (x = ( y
a ( (x + b ( x = ( y(x
Funkce regresní logaritmická
y‘ = a + b log x
pokud dosadíme do obecné soustavy normálních rovnic za v1 = log x, pak získáme normální rovnice pro tuto funkci
n a + b ( log x = ( y
a ( log x + b ( log2x = ( y*log x
tato funkce má časté aplikace, ale tyto aplikace se vyskytují spíše v biologii, v ekonomii se vyskytují jen zřídka
b) Funkce nelineární v parametrech
nelze u nich přímo využít metodu nejmenších čtverců, nejprve se musí rovnice funkce vhodně upravit
Mocninná funkce
y‘ = a xb
použijeme metodu nejmenších čtverců, ale musíme většinou provést vhodnou transformaci funkce – zde provedeme tzv. logaritmickou transformaci, kdy funkci zlogaritmujeme a poté provedeme substituci
log y‘ = log a + b * log x
z‘ = log y‘
A = log a
z‘ = A + b * log x
po provedení substituce dostáváme rovnici, která je shodná s funkcí logaritmickou – použijeme tedy k dalšímu postupu řešení stejné normální rovnice jako pro logaritmickou funkci
Exponenciála
y‘ = a bx
provedeme opět logaritmickou transformaci a vhodnou substituci
log y‘ = log a + x * log b
z‘ = log y‘
A = log a
B = log b
z‘ = A + B x
po provedení zmíněných kroků jsme vlastně obdrželi v podstatě rovnici přímky, proto normální soustava rovnic bude vypadat následovně:
n * log a + log b * ( xi = ( log yi
log a * ( xi + log b * ( xi2 = ( xi * log yi
zejména exponenciála, ale i předchozí funkce, má četné aplikace v ekonomických disciplínách
Úkol – stanovit těsnost závislosti = korelační analýza
těsnost můžeme měřit několika způsoby, z toho první dva jsme již používali:
korelační poměr – používáme ho tehdy, pokud je těsnost závislosti vystižena podmíněnými průměry
korelační koeficient nebo jeho druhá mocnina = koeficient determinace – používá se tehdy, je-li průběh závislosti vystižen rovnicí přímky
korelační index = měří míru těsnosti závislosti, jestliže je závislost vystižena jinou funkcí než je přímka
Definiční tvar:
sy‘2rozptyl teoretických hodnot
Iyx = ------------
sy2rozptyl původních hodnot
sd2
Iyx = 1 - -----------
sy2
( ( yi – yi‘ )2
sd2 = ---------------------- ( Rozptyl regrese = odchylky jednotlivých
nhodnot od těch teoretických
korelační index se pohybuje v intervalu od (0,1( a čím více se blíží k 1, tím je závislost těsnější a čím více se blíží k 0, tím je závislost slabší
při hodnocení tohoto indexu závisí na pořadí závislosti, neboť Iyx ( Ixy a směr závislosti musí být tedy zachován
druhá mocnina tohoto indexu korelace se nazývá index determinace – je obvykle udáván v % a udává nám přibližně z kolika % je závisle proměnná ovlivňována uvažovanou nezávisle proměnnou (Iyx2)
pokud s korelačního pole nemůžeme jednoznačně stanovit funkci – nejvhodnější bude pak ta funkce, která bude mít největší korelační index, neboť tento index nám charakterizuje to, jak ta funkce probíhá korelačním polem
Výpočtový tvar korelačního indexu:
( yi‘2( yi 2
-------- - -------------* n
n n
Iyx = -------------------------------------------------
( yi2( yi 2
---------- - ---------* n
n n
( yi‘2 – 1/n ( ( yi )2
Iyx = ----------------------------
( yi2 – 1/n ( ( yi )2
( ( yi – yi‘ ) yi‘ = 0 ( ( yi yi‘ - ( yi‘2
nelineární závislost při párové závislosti (tj. máme jednu závisle proměnnou a jednu nezávisle proměnnou) má řadu praktických aplikací – při experimentech, modelech vztahů
Maticový zápis nelineárních regresních funkcí
Obecný zápis:
X‘ y = X‘ X b
Matice soustavy normálních rovnic
X = matice pozorovaných hodnot nezávisle proměnné
y = vektor hodnot závisle proměnné
b = vektor regresních parametrů
X‘ = transponovaná matice k matici X
Pro každý typ funkce – jiná matice X:
počet parametrů = počet sloupců v matici X
hyperbola:1, 1/x1
1, 1/x2
………
1, 1/xn
parabola:1, x1, x12
1, x2, x22
………..
1, xn, xn2
funkce odmocninná:1, x1, (x1
1, x2, (x2
………..
1, xn, (xn
funkce logaritmická:1, log x1
1, log x2
……….
1, log xn
Vektor regresních parametrů:
b = ( X‘ X )- 1 X‘ y
inverzní matice k matici soustavy normálních rovnic
Index determinace:
bT XT y – 1/n ( ( yi )2
Iyx2 = ---------------------------------
yT y - 1/n ( ( yi )2pozn.: XT = X‘= transponovaná matice
bT = b‘ = transponovaný vektor k vektoru b
yT = y‘ = transponovaný vektor k vektoru y
Zevšeobecňování charakteristik na základní soubor4. přednáška
doposud jsme hovořili jenom o základním souboru (tj. jako kdyby výběrovost neexistovala), ale ve většině případů pracujeme ve statistice s výběrovým souborem a proto námi vypočtené výsledky platí pro výběrové soubory a abychom mohli získat informace o základním souboru, tedy abychom mohli výsledky zevšeobecnit na celý základní soubor, musíme použít speciální postupy v regresní a korelační analýze
výběrový soubor nám slouží k tomu, aby nám poskytly informace o celém základním souboru
když budeme pracovat s výběrovým souborem, zjištěná závislost pak platí pouze pro výběrový soubor a proto se to budeme snažit zobecnit na celý základní soubor
v případě práce s výběrovým souborem, tak získané výsledky (tzn. hodnota korelačního koeficientu, regresní parametry a funkce) – platí pouze pro výběrový soubor – musíme tedy zobecňovat – tedy zjistit, zda-li vše, co platí pro výběrový soubor, platí i pro základní soubor
1. pro
Vloženo: 24.04.2009
Velikost: 524,50 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu ESE17E - Statistika II. - PAA
Reference vyučujících předmětu ESE17E - Statistika II. - PAA
Podobné materiály
- AAE01E - Obecná fytotechnika - Přednášky
- AGE01E - Chov zvířat I. - Přednášky
- AGE01E - Chov zvířat I. - Přednášky
- EAE02E - Ekonomicko matematické metody II. - Přednášky
- EEE02E - Ekonomika agrárního sektoru PaA - Přednášky
- EEE16E - Ekonometrie PaA - Přednášky
- EEE33E - Investice a dlouhodobé financování - PaA - Přednášky
- EEE35E - Ekonomika veřejného sektoru - Přednášky
- EHE12E - Politologie - PAA - Přednášky (2)
- EHE12E - Politologie - PAA - Přednášky
- EJE04Z - Občanské právo - Přednášky - Pikola
- EJE05E - Obchodní právo - Přednášky
- EJE14E - Základy právních nauk - PAE - Přednášky
- EJE14E - Základy právních nauk - PAE - Přednášky
- ENE04E - Obecná ekonomie I. - Přednášky (2)
- ENE04E - Obecná ekonomie I. - Přednášky
- ENE05E - Obecná ekonomie II. - Prednasky - pokračování
- ENE05E - Obecná ekonomie II. - Přednášky - Pavelka
- ENE05E - Obecná ekonomie II. - Přednášky
- ENE15E - Obecná ekonomie III. - Přednášky
- ENE15E - Obecná ekonomie III. - Přednášky
- EPE09E - Psychologie a etika v podnikání - Přednášky - Kolman
- EPE10E - Psychologie osobnosti a komunikace - Přednášky
- ERE15E - Marketing I. PAA - Přednášky
- ERE49E - Kybernetika v řízení PAA - Přednášky
- ERE49E - Kybernetika v řízení PAA - Přednášky
- ERE61E - Teorie řízení PAA - Přednášky
- ESE15Z - Statistika I. - PAA - Přednášky
- ESE17E - Statistika II. - PAA - Přednášky
- ETE05E - Informační systémy - Přednášky - celek
- ETE05E - Informační systémy - Přednášky - Šilerová
- ETE05E - Informační systémy - Přednášky
- ETE41E - ICT pro manažery - Přednášky
- EUE06E - Finance a úvěr - Přednášky
- EUE12E - Mezinárodní obchod - Přednášky
- EUE20E - Potravinářské zbožíznalství - Přednášky (2)
- EUE20E - Potravinářské zbožíznalství - Přednášky
- EUE21Z - Teorie účetnictví - PAA, INFO - Přednášky - Valder
- EUE21Z - Teorie účetnictví - PAA, INFO - Přednášky - Váchová
- EUE21Z - Teorie účetnictví - PAA, INFO - Přednášky
- EUE21Z - Teorie účetnictví - PAA, INFO - Přednášky
- EUE22E - Účetnictví pro podnikatele - PaE - Přednášky
- EUE28E - Základy obchodních nauk - Přednášky
- TAE21E - Matematika - Přednášky - Gurka
- ARE01E - Speciální fytotechnika - Přednášky - Vašák
- EEE08E - Ekonomika podniků I. PaE - Přednášky
- EEE08E - Ekonomika podniků I. PaE - Přednášky
- ERE02E - Administrativní technika VSRR - Přednášky ve wordu
- EHE55E - Věda, filosofie a společnost - PAE - přednášky
- AGE01E - Chov zvířat I - přednášky + výpisky ze skript
- EHE60E - Věda, filosofie a společnost - PAA - přednášky
- EJA05E - Základy právních nauk - Přednášky
- ABE01E - Základy fytotechniky - přednášky - houby
- ABE01E - Základy fytotechniky - výpisky z přednášky
- ABE01E - Základy fytotechniky - výpisky z přednášky
- ABE01E - Základy fytotechniky - výpisky z přednášky
- ABE01E - Základy fytotechniky - výpisky z přednášky
- ABE01E - Základy fytotechniky - výpisky z přednášky
- ARE01E - Speciální fytotechnika - přednášky
- EHE10E - Politologie - PaE - přednášky
- ERE07E - Kybernetika v řízení PAE - přednášky
- ARE01E - Speciální fytotechnika - Výtah ze sladů - přednášky
- EHE60E - Věda, filosofie a společnost - PAA - Přednášky
- ERE86E - Marketingová komunikace - KS PaE - Přednášky KS
- EAE01E - Ekonomicko matematické metody I. - přednášky
- ESE27E - Základy statistiky - Přednášky
- ERE61E - Teorie řízení PAA - Přednášky Lhotská
- ERE39E - Teorie řízení PAE - Přednášky Lhotkská
- ERA09E - Teorie řízení - FAPPZ - Přednášky Lhotská
- ERE02E - Administrativní technika VSRR - Prednášky
- EAE01Z - Ekonomicko matematické metody I - přednášky
Copyright 2024 unium.cz