- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Popisek: jednoduše vysvětlení matematiky s příklady
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiály
3 -
2
1 -
| | | | | | | | |
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
-1 –
-2
-3 -
2 Kartézská soustava souřadnic je pojmenována podle francouzského matematika a filosofa, který se jmenoval
René Descartes (1596-1650). Byl všestranně nadaným vědcem, který svou prací přinesl řadu objevů
v kosmologii, mechanice a fyziologii. Na jeho racionalismus přímo navázalo osvícenství. V matematice zavedl
pojem proměnné veličiny, funkce, zmíněnou soustavu souřadnic a založil analytickou geometrii.
12
Závěrem by mohlo být užitečné naučit se ještě jeden pojem, a sice „zobrazení“.
Říkáme, že body na ose y, které jsou prvkem oboru hodnot dané funkce, jsou
zobrazením bodů na ose x, které jsou prvky definičního oboru dané funkce. Jinými
slovy, u funkce xxf 3)( = říkáme, že bod 4 na ose x se zobrazí jako bod 12 na ose y.
Ještě jedna obměna: číslo 12 je obrazem čísla 4 ve funkci xxf 3)( = .
Shrnutí: Funkce je množinou uspořádaných dvojic x a y , kde každému x , které je
prvkem definičního oboru, je přiřazeno právě jedno y , které je prvkem oboru
hodnot. Funkce se nejčastěji zapisuje matematickou formulí a znázorňuje se grafem
do kartézské soustavy souřadnic. Každý bod náležící do grafu funkce představuje
jednu uspořádanou dvojici x a y . Dosadíme-li za x konkrétní číslo, číselná hodnota
celého výrazu po tomto dosazení je hodnotou y ; říkáme, že funkční hodnota dané
funkce v konkrétním bodě x je y . Rovněž říkáme, že bod y je obrazem bodu x .
13
1.3 Definiční obor funkce a obor hodnot funkce
V předchozí kapitole jsem se zmínil, že funkce je množinou uspořádaných dvojic [ ]
yx; , kdy ke každému x přiřazujeme právě jedno y , přičemž x jsou prvky
definičního oboru a y jsou prvky oboru hodnot. Z toho tedy vyplývá, že abychom
definovali určitou konkrétní funkci, musíme definovat všechna její x a všechna jim
přiřazená y . Exaktně řečeno, k úplnému definování konkrétní funkce musíme určit její:
1) definiční obor D, což je množina prvků x . Jde tedy o množinu všech
x , jimž budou daným vztahem přiřazena odpovídající y . Tato množina
se stanovuje konkrétním výčtem jejích prvků či intervalů z prvků
tvořených. Můžeme například uvést, že { }3−= RD , tedy že definiční
obor obsahuje všechna reálná čísla vyjma čísla 3.
2) obor hodnot H, což je množina prvků y , z nichž každé bude přiřazeno
některému prvku x . Jde tedy o množinu všech y , která budou určitým
daným vztahem přiřazena odpovídající y . Na rozdíl od definičního
oboru však nemůže být obor hodnot dán pouhým výčtem jeho
prvků či intervalů z prvků složených, neboť z takového výpisu by
nebylo jasné, kterému x je přiřazeno které y . Kdybychom např.
napsali, že { }2;1=D (neboli že definiční obor obsahuje dva prvky – číslo
1 a číslo 2) a že { }5;4=H (neboli že obor hodnot je tvořen dvěma prvky
– číslem 4 a číslem 5), nebylo by z tohoto zápisů zřejmé, zda daná
funkce je množinou uspořádaných dvojic [ ]4;1 a [ ]5;2 , či zda je
množinou uspořádaných dvojic [ ]5;1 a [ ]4;2 . Funkce by tak vlastně
nebyla definována úplně. Proto je nutno definovat obor hodnot H tím, že
určíme matematický vztah, podle něhož je každému prvku x přiřazen
prvek y . Tento vztah je zvykem zapisovat především matematickým
vzorečkem. Pokud například zapíšeme: 39
2
−
−=
x
xy , pak jde o zápis
takové funkce, kde každému x z definičního oboru je přiřazeno právě
jedno y z oboru hodnot, které se rovná rozdílu druhé mocniny daného
x a čísla 9, podělenému rozdílem daného x a čísla 3. Zápisem ve formě
matematického vzorečku je obor hodnot dokonale vymezen a zároveň je
možno ke každému x ihned přiřadit jemu odpovídající y , a to
výpočtem daného vzorečku. Tím vlastně vymezíme danou uspořádanou
dvojici. Na tomto vysvětlení je již také vidět, proč musí platit
podmínka, že jednomu x nemůže být přiřazeno více než jedno
y : nikdy se totiž nemůže stát, že při dosazení jakéhokoliv čísla
za x nám po výpočtu vyjde více hodnot než jedna.
14
Důležité je, že zápis vzorečkem můžeme provést dvojím způsobem. Každý
z těchto způsobů předvedu na příkladu výše uvedené funkce. Můžeme psát buďto:
3
92
−
−=
x
xy ,
nebo:
3
9)( 2
−
−=
x
xxf .
Výraz )(xf použitý ve druhém z výše uvedených způsobů v tomto případě čteme jako
„funkční hodnota pro číslo x “. Jednotlivá y (neboli prvky oboru hodnot) jsou totiž
takzvanými funkčními hodnotami funkce f pro daná x . Oba zápisy si dobře
zapamatujte.
Ukažme si nyní standardní způsob uceleného zápisu definované funkce tak, aby
byly náležitě definovány obě nutné složky – definiční obor i obor hodnot. Forma zápisu
aplikovaná na příkladu výše uvedené funkce je:
{ }2,1|392 ∈−−= xxxy
Svislá čárka | mezi matematickým vztahem 39)(
2
−
−=
x
xxf a vymezením definičního
oboru { }2,1∈x se obvykle čte jako „kde“ nebo „pro“.3 Výraz za ní vymezuje specifickou
podmínku pro výraz uvedený před ní.
Zápis naší funkce bude samozřejmě zcela v pořádku, i pokud místo y napíšeme )(xf ,
tedy:
{ }2;1|39)( 2 ∈−−= xxxxf
3 Odborně, zvláště je-li použita ve výpočetní technice a v programování, se svislá čárka nazývá „roura“ či
„trubka“, anglicky “pipe”. Nesmírně cenného uplatnění se jí dostává například při práci s operačními systémy
typu UNIX.
15
POZOR! Velmi častou chybou bývá mylná domněnka, že funkce může být zadána,
aniž by byl zároveň zadán její definiční obor, přičemž stanovení definičního oboru zadané
funkce je úkolem pro samotného řešitele úlohy. Jinými slovy, mnozí si mylně představují,
že může být zadán pouze matematický vztah mezi y a x konkrétní funkce, přičemž
definiční obor vyplývá z povahy daného vztahu. Tato představa je ovšem nesprávná! Jak
je již výše uvedeno, má-li být dána konkrétní funkce, musí být jednoznačně dán
i její definiční obor. Definiční obor se nehledá, definiční obor musí být vymezen
již v samotném zadání konkrétní funkce. Předmětem úlohy nemůže být hledání
definičního oboru, nýbrž nanejvýš hledání největší podmnožiny reálných čísel, na
které lze definovat funkci zadanou vzorečkem. Jak příklad uvedu funkci
3
9)( 2
−
−=
x
xxf . Z daného zápisu této funkce vyplývá, že funkci nelze definovat pro číslo
3, neboť dosazením trojky za x by vznikla ve jmenovateli nula, což je nepřípustné. Proto
můžeme říci, že největší podmnožinou reálných čísel, na níž lze definovat funkci
zadanou vzorečkem, jsou všechna reálná čísla vyjma čísla 3. Tato podmnožina však
v žádném případě nemusí být shodná s definičním oborem; v naší funkci je kupříkladu
dáno, že definiční obor obsahuje pouze dva prvky – číslo 1 a číslo 2.
Uveďme si jiný příklad. Je dána funkce:
)∞∈= ;|1)( pixxxf
V tomto případě je definiční obor roven uzavřenému intervalu od pi do ∞. Pro ostatní
čísla mimo tento interval funkce definována není, ačkoliv největší podmnožinou reálných
čísel, na které lze definovat funkci zadanou vzorečkem xxf 1)( = , je { }0−R neboli
všechna reálná čísla kromě nuly.
Závěrem ještě jedna poznámka. Způsob, jak u konkrétní funkce definovat vztah
mezi prvky x a y , se neomezuje jen na zadání matematickým vzorečkem. Kromě zápisu
vzorečkem připadá v úvahu i několik alternativních metod:
1) Výčtem prvků – tedy jednoduše vypíšeme seznam všech uspořádaných dvojic,
které daná funkce obsahuje. Tato metoda však nemusí vždy být (a většinou není)
možná, neboť definiční obor funkce obsahuje často nekonečné množství prvků a
tudíž i funkce je množinou nekonečného množství uspořádaných dvojic.
2) Verbálním popisem vztahů mezi prvky x a y – tedy prostě slovy popíšeme,
v jakém vzájemném vztahu jsou prvky definičního oboru D a oboru hodnot H.
Můžeme např. popsat funkci větou: Každému x z oboru reálných čísel
přiřazujeme jedno y , které je rovno jeho dvojnásobku.
3) Znázorněním funkce do kartézské soustavy souřadnic – funkci znázorníme
do grafu tak, aby z něj bylo zřejmé, jaké má daná funkce vlastnosti.
16
1.4 Některé základní typy a vlastnosti funkcí
Účelem této podkapitoly je zopakovat či vysvětlit některé důležité pojmy,
charakterizující typy a vlastnosti funkcí. Nyní se budeme soustředit převážně na takové
pojmy, které budou potřebné pro dobré pochopení látky vyložené v dalších kapitolách
těchto skript. Jako hlavní nástroj vysvětlování jednotlivých pojmů bude použito grafické
znázornění, neboť umožňuje snadnou představu o podstatě dané problematiky.
Funkce liché a sudé
Lichost a sudost jsou vlastnosti vždy posuzované u funkce jako celku.
Funkce je lichá tehdy, když pro každé x z definičního oboru platí, že funkční
hodnota opačného x je rovna opačné funkční hodnotě pro x . Jinými slovy, funkční
hodnotou liché funkce pro x vynásobené mínus jedničkou odpovídá funkční hodnotě pro
x vynásobená mínus jedničkou. Snadno srozumitelný je obecný matematický zápis
podmínky platné pro lichou funkci: )()( xfxf −=− . Graf liché funkce je souměrný podle
počátku (pro lepší přesnost jsem předkládám graf vytvořený kapesní matematickou
laboratoří TI-89).
Graf liché funkce. V tomto případě jde o funkci 3)( xxf = .
Funkce je sudá tehdy, když pro každé x z definičního oboru platí, že funkční
hodnota opačného x je rovna funkční hodnotě pro x . Jinými slovy, funkční hodnotou
sudé funkce pro x vynásobené mínus jedničkou odpovídá funkční hodnotě pro x .
Snadno srozumitelný je obecný matematický zápis podmínky platné pro sudou funkci:
)()( xfxf =− . Graf sudé funkce je souměrný podle osy y.
Graf sudé funkce. V tomto případě jde o funkci 1)( 2 += xxf .
Sudé či liché mohou být jsou jen některé funkce; mnohé funkce samozřejmě
nejsou ani liché, ani sudé.
17
Funkce afinní
Afinní funkce jedné reálné proměnné je taková funkce, jejímž grafem je přímka.
Má obecný tvar bxaxf += .)( , kde a a b jsou reálná čísla. (V následující kapitole se
dozvíme, že koeficient a se nazývá směrnice a vyjadřuje naklonění této přímky.)
Funkce lineární
Lineární funkce je takovým speciálním případem afinní funkce, která v kartézské
soustavě souřadnic prochází počátkem (neboli bodem ]0;0[ ). Má obecný tvar xaxf .)( = ,
kde a je reálné číslo. (Samozřejmě, že i zde se koeficient a nazývá směrnice a
vyjadřuje naklonění této přímky.)
Funkce rostoucí a klesající
Zda je funkce rostoucí nebo zda je funkce klesající se posuzuje vždy na
konkrétní podmnožině definičního oboru, neboli na množině čísel rx až sx . Říkáme
také, že daná funkce je rostoucí či klesající v určitém intervalu.
Význam pojmů „rostoucí“ či „klesající“ si většina studentů dovede představit i bez
matematické definice. Raději se však přesto naučte vysvětlit tyto pojmy matematicky
korektní formulací.
Funkce je rostoucí na množině M právě tehdy, když pro každé dva prvky 1x a 2x
z množiny M platí, že je-li 21 xx < , pak )()( 21 xfxf < .
Funkce je klesající na množině M právě tehdy, když pro každé dva prvky 1x a 2x
z množiny M platí, že je-li 21 xx < , pak )()( 21 xfxf > .
Graf funkce )cos()( xxf = . Na množině pi;0=M je tato
funkce klesající, na množině pipi 2;=M je rostoucí.
Funkce konvexní a konkávní
Zda je funkce konvexní či konkávní se obvykle posuzuje na podmnožině
definičního oboru, která odpovídá konkrétnímu intervalu.
Tyto vlastnosti opět nejsnáze pochopíme z grafu. Konvexní je funkce v tom
intervalu, kde je její křivka tvaru ∪ (jakoby „promáčknutá dolů“), konkávní je v tom
intervalu, kde je její křivka tvaru ∩ („vyboulená nahoru“). Body, v nichž dochází ke
zvratu průběhu konkávního v konvexní či naopak, se nazývají inflexní body. Tyto
vlastnosti mají pochopitelně jen některé funkce.
Graf funkce )sin()( xxf = . V intervalu pi;0 je tato funkce
konkávní, v intervalu pipi 2; je konvexní. Body 0=x , pi=x
a pi2=x se nazývají inflexní body.
18
Spojitost funkce
Pojem spojitosti funkce je nesmírně důležitý, neboť v dalším výkladu uvnitř těchto
skript bude použit k vyjasnění velmi závažné látky.
Spojitost funkce je vlastnost, kterou budeme posuzovat v konkrétním bodě
o souřadnici 0x . Podívejme se na níže zobrazený graf:
y
8 -
7 -
A
6 +
5 -
f
4 -
3 -
2 -
1 -
0 | | | | | | x
1 2 x0=3 4 5 6 7
Dejme tomu že budeme chtít popsat spojitost výše načrtnuté funkci v bodě
30 =x . Výše zobrazená funkce f je definována v bodě 0x i v bodech v jeho okolí.
Funkční hodnotou pro 30 =x je číslo 6, takže jedním z prvků funkce je uspořádaná
dvojice ]6;3[ . Tato uspořádaná dvojice je v grafu zobrazena bodem označeným A. Z
grafu je patrné, že bod A ]6;3[ náleží do průběhu funkce zcela „plynule“, aniž by se
z celého grafu funkce nějak vyjímal. Jinými slovy, křivka, která je grafem funkce f , není
v bodě A nijak přerušena ani „přetržena“, její průběh je hladký a beze změn. Proto
říkáme, že funkce f je v bodě 0x spojitá. Raději použiji ještě jednoho přirovnání:
Kdybychom znázornili křivku funkce f pomocí provázku, který bychom jednou rukou
uchopili v levém okolí bodu o souřadnici 0x a druhou rukou v pravém okolí bodu o
souřadnici 0x a za provázek jsme z obou stran zatáhli tak, aby se jemně napnul, zůstal
by povázek celý (nerozdělil by se na dva kousky). Pokud tedy provázek není v bodě A
přetržený, je v tomto bodě spojitý.
19
Abychom si ukázali také některé nespojité funkce, pohlédněme na následující
grafy:
y
8 - f
7 -
6 o
5 -
4 -
3 -
2 -
1 -
0 | | | | | | x
1 2 x0=3 4 5 6 7
y
8 - f
7 -
6 o
5 -
4 -
3 -
2 -
1 -
0 | | | | | | x
1 2 x0=3 4 5 6 7
barb2left Tato funkce je definována pro
všechna reálná čísla s výjimkou čísla 3.
Jinými slovy, pro číslo 3 tato funkce
nemá funkční hodnotu. Proto v jejím
grafu chybí bod, který má na ose x
souřadnici 3. Chybějící bod v grafech
funkcí je zvykem znázorňovat
prázdným kroužkem tak, jak je vidět
na tomto obrázku.
Říkáme, že v bodě x0=3 daná funkce
není spojitá.
barb2left Tato funkce je již na první pohled
„přetržená“ v bodě o x-ové souřadnici
3. Říkáme, že v bodě x0=3 daná funkce
není spojitá.
20
2. SMĚRNICE PŘÍMKY
2.1 Význam pojmu „směrnice přímky“
Když jsem doučoval na konci prvního ročníku ESF své kolegy z ročníku
matematiku, vyšlo najevo, že relativně mnoho studentů nemělo o významu pojmu
„směrnice“ konkrétní představu. Když jsem se jich zeptal, co si pod pojmem „směrnice“
představují, mnozí mi odpověděli, že „asi nějakou přímku“, „nějaký vektor“ či dokonce
„nějakou šipku“. Rozhodně nechci čtenáře těchto skript podceňovat, avšak pociťujete-li
náhodou pochybnost o významu tohoto pojmu, pak ji po přečtení této kapitoly již snad
cítit nebudete.
Úvodem bych čtenáře rád ujistil, že směrnice není ani přímka, ani vektor, ani
šipka.
Směrnice je číslo.
K pochopení toho, jaké číslo a co toto číslo vyjadřuje, nám poslouží právě tato
kapitola.
Podíváme-li se na jakoukoliv přímku v kartézské soustavě souřadnic, první její
vlastnost, které si pravděpodobně vždy všimneme, je její naklonění, tedy vlastnost,
která souvisí s její strmostí. Pokusme se nyní zamyslet nad tím, jakými nástroji
můžeme naklonění přímky vyjádřit.
Základním nástrojem, který je jistě každému z nás již od základní školy znám, je
úhel. Na následujícím obrázku je pro ilustraci zobrazena přímka f , která je grafem
jednoduché funkce xy = a jejíž naklonění je dáno pomocí úhlu 4piα = neboli °= 45α .
Úhel lze samozřejmě měřit úhloměrem:
y f
5 –
4 –
3 -
2 –
1 - 4piα =
| | | | |
0 1 2 3 4 5
21
Možná nás na první pohled napadne, že rovnost mezi prvky definičního oboru na
ose x a prvky oboru hodnot na ose y u této konkrétní funkce je vystižena právě
odpovídajícím úhlem 45°. Mohlo by však být rizikové neuvědomit si, jak zkreslené
výsledky by mohla způsobit skutečnost, že bychom definovali naklonění přímky vždy
pouze pomocí úhlu. Ne vždy nám totiž musí vyhovovat takové znázornění grafu, kdy jsou
osy x a y kalibrovány shodně. Následující graf znázorňuje pohled na tutéž funkci, avšak
za předpokladu, že osy x a y jsou kalibrovány rozdílně:
y
10 - f
9 -
8 -
7 -
6 -
5 -
4 -
3 -
2 - α
1 -
| | | | | | | | | x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Jak je na výše načrtnutých obrázcích vidět, nemusí být při počítání s funkcemi
úhel sám o sobě vždy vhodným faktorem matematických vztahů: funkce je totiž v obou
výše uvedených případech stejná, úhel α je však díky rozdílnému kalibrování os x a y
v každém z případů různý. Ujasněme si nyní, že vlastnost, která je popisována
úhlem, se nazývá sklon. Sklon sám o sobě nemusí být matematicky jednoznačnou
veličinou, neboť vystihuje pouze vizuální aspekt naklonění. Jinými slovy, používání úhlu
při práci s funkcemi vyžaduje navíc vždy zohlednit kalibraci os x a y.
Abychom mohli s funkcemi počítat snadněji, tedy bez zohledňování kalibrace os,
existuje v matematice ještě jeden pohodlný nástroj k vyjadřování naklonění přímky.
Tento nástroj se nazývá směrnice přímky. Znázorněme si význam pojmu směrnice
přímky f v kartézské soustavě souřadnic níže uvedeným grafem. Přímku f , jejíž
obecnou směrnici si budeme nyní odvozovat, považujme za graf nějaké afinní funkce:
y f
y = f(x)
∆y
y0 = f(x0)
∆x
α
0 x0=5 x x
22
Zvolme si na ose x konkrétní bod 0x , např. 5. Dále si kdekoliv na ose x zvolme libovolný
bod x , který bude v tomto případě pro snadnější ilustraci od bodu [0;0] vzdálenější než
bod 0x . Jelikož přímka f je grafem funkce, zobrazí se bod 0x na ose y do bodu 0y . Ze
stejného důvodu se také bod x zobrazí na ose y jako bod y . Jelikož body na ose y
představují funkční hodnoty bodů ležících na ose x, můžeme si body y a 0y označit také
jako )(xf a )( 0xf . Rozdíl hodnot 0yy − neboli rozdíl )()( 0xfxf − označme jako y∆ a
rozdíl 0xx − označme jako x∆
Vloženo: 9.07.2009
Velikost: 654,38 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu TAE21E - Matematika I
Reference vyučujících předmětu TAE21E - Matematika I
Podobné materiály
Copyright 2024 unium.cz