- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiála zem nespadne.
Je-li rychlost nižší než kruhová, těleso se pohybuje po elipse a po čase spadne zpět na zem.
Je-li rychlost vyšší než kruhová, je trajektorií opět elipsa, ovšem těleso již na zem nespadne. Střed Země leží v jednom z ohnisek eliptické trajektorie. Bod, kdy je těleso Zemi nejblíže, se nazývá perigeum, opakem je apogeum.
Čím je rychlost větší, tím je elipsa protáhlejší. Je-li rychlost rovna , stává se z uzavřené elipsy parabola => hovoříme o 2. kosmické (parabolické, únikové) rychlosti. Při povrchu Země je její hodnota asi 11,2 km.s-1. Těleso s touto rychlostí je schopno uniknout z gravitačního pole Země.
3. kosmická rychlost (16,65 km.s-1) je rychlost, kterou musíme udělit tělesu při povrchu Země, aby opustilo Sluneční soustavu.
Oscilace (kmity)
Budeme studovat ideální případ – harmonické kmity
Model a souřadný systém:
Síly působící na těleso:
Gravitační síla a síla podložky – podle zákona akce a reakce, vzájemně se ruší
Odpor podložky zanedbáváme
Síla pružiny – kvazielastická síla F, která se chová podle Hookeova zákona („natažení je úměrné síle“):
kde k je tuhost pružiny (konstanta charakterizující všechny vlastnosti pružiny) a znaménko „–“ značí, že se jedná o sílu uvnitř pružiny namířenou proti směru natažení
Výsledná síla je tedy rovna:
Aplikací zákona síly dostaneme:
Poslední vztah – obyčejná diferenciální rovnice 2. řádu – se nazývá pohybová rovnice. Její charakteristickou rovnici dostaneme po substituci:
Obecné řešení rovnice má tvar:
Použijeme-li eulerův vzorec a dosadíme-li za (, dostaneme:
Pro vyřešení konstant této rovnice potřebuji znát dvě podmínky. V krajní poloze (t = 0) platí:
Dostáváme:
Rovnice okamžité polohy má tedy tvar:
Číslo A nazýváme amplituda, výraz je kruhová frekvence. Obvykle se rovnice píše ve tvaru:
Rychlost pohybu:
Zrychlení:
Ze vztahu pro zrychlení dostáváme opět kvazielastickou sílu:
Pohyb je periodický – po uplynutí jistého času T se hmotný bod vyskytuje opět v téže poloze. Čas T se nazývá perioda pohybu (kmitu).
Kmit – pohyb od A přes –A zpět do A
Frekvence kmitavého pohybu (f) – počet kmitů za sekundu
Materiálové parametry pohybu – nezávisí na čase, ale pouze na vlastnostech materiálu:
Vlastnosti harmonického pohybu:
Kruhová frekvence je konstantní
Kruhová frekvence je pouze funkcí (0 = f(k, m) – nezávisí na žádných silách ani jiných vlastnostech systému => je to materiálová vlastnost
Pohyb je periodický
Ve kterém případě kmitá pružina s větší frekvencí?
V obou stejně, protože
Zobecnění
Pro výslednou (kvazielastickou) sílu platí pohybová rovnice:
Obecně nemusí být x0 = A a v0 = 0 – pohyb můžeme začít sledovat v jakékoli jeho fázi
Minulý model byl de facto na počátku statický, zobecněním dostaneme model dynamický (jeho počáteční podmínky budeme určovat z průběhu pohybu)
Řešením diferenciální rovnice pro tento případ dostaneme rovnici pro okamžitou polohu ve tvaru:
( je fázový posun. Kvantitativně vyjadřuje posun pohybu.
Kruhová frekvence se oproti předchozímu případu nemění:
Rychlost pohybu:
Jakou maximální rychlostí se hmotný bod pohybuje? Jelikož cos nabývá maximální hodnoty +1, platí:
Zrychlení:
Pro výslednou sílu platí, že je orientována proti okamžité výchylce:
Celková mechanická energie oscilátoru
Celková mechanická energie je dána součtem energie kinetické a potenciální:
Kinetická energie je:
Pro vyjádření potenciální energie je potřeba vyjádřit potenciál. Bereme-li jen pohyb ve směru osy x, platí pro intenzitu:
Porovnáním obou vztahů a integrací dostaneme:
Z okrajových podmínek dostaneme C = 0 a tedy:
Celková mechanická energie pak je:
V čase t = 0 je výchylka pohybu 5 cm, rychlost je 20 cm. Frekvence pohybu je 1 Hz. Urči amplitudu a fázový posun.
Z rovnic pro x a v:
Dosazením a úpravou:
uation.3
Kmity v gravitačním poli Země
Výsledná síla působící na kmitající hmotný bod je:
V rovnovážné poloze platí:
Pro výslednou sílu dále platí:
Úpravou dostaneme pohybovou rovnici:
Pokud tuto diferenciální rovnici vyřešíme, dostaneme vztah pro okamžitou polohu hmotného bodu:
Matematické kyvadlo
Musí platit mL (0 – prostředí velmi husté
b ( (0
b < (0 – prostředí řídké, blížíme se matematickému kyvadlu
Případ 1
b > (0 => síla tření překonává sílu elastickou. Ve vztazích pro charakteristická čísla máme pod odmocninou kladné výrazy => charakteristická čísla jsou reálná. Obecné řešení pohybové rovnice tedy bude mít tvar:
Platí jednoduchá matematická úvaha:
Jelikož vlastní čísla diferenciální rovnice jsou záporná, obě exponenciely v obecném řešení rovnice jsou klesající funkce (exponenciela je nejrychleji klesající funkce v matematice vůbec)
Hodnoty koeficientů C1, C2 dostaneme z okrajových podmínek:
Řešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých získáme hodnoty koeficientů:
Po dosazení a úpravě má tedy rovnice pro okamžitou polohu bodu tvar:
Vztah neobsahuje žádnou goniometrickou funkci => jedná se o pohyb aperiodický (při velkém odporu prostředí pohyb není periodický – útlum je příliš velký). Jeho graf vypadá přibližně následovně:
Případ 2
b ( (0 => síla tření a síla elastická jsou přibližně stejné. Ve vztazích pro charakteristická čísla máme pod odmocninou nulu => charakteristická rovnice má jeden dvojnásobný kořen ((1,2 = –b). Obecné řešení pohybové rovnice tedy bude mít tvar:
Opět uvážíme okrajové podmínky x(0) = A a v(0) = 0 a dostaneme rovnici pro okamžitou polohu bodu:
Opět absentuje goniometrická funkce a jedná se tedy o pohyb aperiodický. Průběh je podobný jako v prvním případě, pouze bude trvat déle, něž dojde k útlumu. Hovoříme o aperiodickém pohybu s kritickým útlumem.
Případ 3
b < (0 => síla elastická překonává sílu tření. Ve vztazích pro charakteristická čísla máme pod odmocninou záporné výrazy => charakteristická čísla jsou komplexní. Obecné řešení pohybové rovnice tedy bude mít tvar:
kde charakteristická čísla jsou:
Nově zavádíme tzv. kritickou frekvenci tlumených kmitů:
Pomocí okrajových podmínek bychom dostali rovnici pro okamžitou polohu bodu ve tvaru:
BED Equation.3
kde
Průběh pohybu má tedy periodický charakter (Ae –bt představuje obalovou křivku) :
Perioda tlumených kmitů je:
Poloha bodu v čase t je dána rovnicí:
Poloha bodu v čase t + T je dána rovnicí:
Jelikož a obecně platí, můžeme rovnici dále zjednodušit:
Úpravou dostaneme:
Z této rovnice zavádíme tzv. logaritmický dekrement útlumu ( (vyjadřuje logaritmovaný podíl dvou po sobě jsoucích amplitud):
Příklad – viz ruční poznámky
Vynucené kmity
Existuje vnější síla, která si pohyb vynucuje (síla budící) => i přes přítomnost tření může amplituda zůstat konstantní
Příkladem může být houpání na houpačce, kdy do člověka někdo pravidelně strká
Působící síly:
Průběh budící síly:
Výsledná síla působící na kmitající hmotný bod:
Úpravou dostaneme pohybovou rovnici tlumených kmitů:
Jedná se o nehomogenní diferenciální rovnici. Její partikulární řešení (bez pravé strany) je:
Řešení s pravou stranou je:
Celkové řešení je součtem dvou předchozích:
Druhý sčítanec představuje tlumené kmitání. Po poměrně krátkém čase jde rychle k nule => tlumící efekt rychle vymizí a prakticky tedy nemusíme znát C1 a C2. Vše ostatní známe:
Řešení po krátkém čase (po vymizení tlumícího efektu) tedy je:
Ve vztahu pro K jsme schopni všechny veličiny na pravé straně víceméně zvolit dle potřeby (do houpačky mohu strčit potřebnou silou v potřebný čas). Mohu tedy říci, že K je funkcí toho, jak často do houpačky strkám – K = f(().
Existují nějaké extrémy funkce K? Minimum je jasné – pokud do houpačky nestrkám vůbec, je amplituda nulová. Pro maximum platí tzv. podmínka rezonance:
Zmíněná podmínka je splněna právě tehdy, když:
Výraz (R nazýváme rezonanční frekvence.
Je-li b vzdálenost libovolné dvojice molekul kolísá v určitém intervalu (jakoby „kuličky spojené pružinkami“). Speciálně hovoříme o modelu absolutně tuhého tělesa, kdy jsou vzdálenosti bodů konstantní. Takové těleso je nedeformovatelné.
Kontinuální model – molekuly jsou nahuštěny, ztrácejí svou individualitu. K popisu používáme statistické metody.
Absolutně tuhé těleso
Oproti modelu hmotného bodu působí mimo vnějších ještě vnitřní síly mezi jednotlivými hmotnými body
Vzdálenosti bodů jsou fixovány => jejich polohové vektory se mění pouze pokud na ně působí výsledná síla, která je příčinou změny pohybového stavu celého tělesa
Počet možných pohybů bodu ve vazbách = stupně volnosti (nebudeme blíže studovat)
Síly působící na těleso dělíme na:
Vnější – jejich počátek leží vně tělesa
Vnitřní – vyjadřují působení částic navzájem
Salámová metoda – rozklad složitého problému na více jednoduchých.
Helmholtz: libovolný pohyb lze rozložit na 2 části – translaci a rotaci
Translace
Body se pohybují po kongruentních („jakoby rovnoběžných“) křivkách => jelikož jsou vzdálenosti bodů konstantní, stačí zkoumat pouze jeden z bodů – hmotný střed. Jelikož jsme v homogenním silovém poli, je hmotný střed totožný s těžištěm.
Těžiště
Fiktivní hmotný bod, jehož hmotnost je součtem hmotností všech bodů a hybnost je součtem hybností všech bodů:
Fiktivní proto, že nemusí ležet v tělese (viz bumerang) nebo se nemusí ztotožnit s některým z bodů tělesa
Poloha těžiště:
Rychlost:
Hybnost:
Zrychlení:
Na každý jednotlivý bod působí celková síla (mezi každou dvojící bodů navzájem působí vnitřní síly):
Výslednice – celková síla působící na všechny body – je:
Pokusme se vztah pro výslednici poněkud upravit. S prvním členem pravé strany nic nenaděláme – na těleso působí určitý počet vnějších sil. Pro druhý člen platí:
„Stejnoindexové“ síly jsou nulové (vyjadřují působení molekuly na sebe samu) => zbudou jen síly o nestejných indexech a máme:
Ze zákona akce a reakce ovšem vyplývá, že
a všechny závorky v předchozím výrazu jsou tedy nulové => součet vnitřních sil je roven nule.
Pohybová rovnice translačního pohybu (zvaná též 1. impulsová věta) tedy zní:
=>
Rotace
Model: absolutně tuhé těleso
Souřadný systém:
Omezíme se na případ, kdy těleso rotuje, ale nepřemisťuje se
Body rotují konstantní úhlovou rychlostí, obvodová rychlost závisí na poloze daného bodu podle vztahu:
Známe pravidlo, že moment nějaké veličiny je roven vektorovému součinu polohového vektoru a dané veličiny. Pro moment hybnosti rotujícího tělesa platí:
Dalo by se dokázat, že poslední výraz lze dále upravit:
Celá suma v posledním výrazu se označuje jako a nazývá se tensor setrvačnosti. Charakterizuje vnitřní vlastnosti objektu – rozložení os, vlastnosti rotace aj.
Ověřme, že v sumě mámě skutečně tensor.
je jednotkový tensor.
je skalár. Součinem skaláru a tensoru je tensor. Dyadickým součinem dvou vektorů dostaneme tensor. Rozdíl dvou tensorů je tensor – v sumě je tedy skutečně tensor.
Pomocí binárního operátoru Kroeneckerovo delta ((ij = 1 i = j, (ij = 0 i ( j) lze prvek tensoru setrvačnosti ležící na pozici ij zapsat ve tvaru:
Konkrétní prvky jsou například:
Pokud podobně spočítáme všechny prvky, dostaneme tensor setrvačnosti ve tvaru:
Prvky hlavní diagonály jsou momenty setrvačnosti, prvky mimo hlavní diagonálu jsou deviační momenty. Deviační momenty při rotaci vychylují kolo do stran . Jsou-li nulové, hovoříme o čisté rotaci.
Vhodnou volbou souřadnic lze tensor setrvačnosti převést na tvar diagonální matice – převedením tensoru k hlavním osám:
Pro moment síly obecně platí:
Dalo by se dokázat, že pro libovolnou veličinu X platí:
Aplikujme toto pravidlo na předchozí vztah pro momenty síly:
Tensor setrvačnosti není funkcí času, jedinou funkcí času v předchozím výrazu je úhlová rychlost. Můžeme tedy vyslovit 2. impulsovou větu (pohybovou rovnici rotujícího absolutně tuhého tělesa) ve tvaru:
(oba dva sčítance na pravé straně jsou vektory)
Je-li tensor setrvačnosti vyjádřen k hlavním osám, můžeme 2. impulsovou větu rozepsat po složkách do tří Eulerových pohybových rovnic:
Příklad 1
Těleso na obrázku se skládá ze 4 stejných hmotných bodů spojených nehmotným nedeformovatelným drátem. Spočti jeho momenty setrvačnosti, rotuje-li kolem vyznačených os.
Obecně platí:
kde Ri je vzdálenost bodu i od osy rotace
1. případ:
2. případ
Z výsledků příkladu je patrné, že asymetrický případ rotace má větší moment setrvačnosti než případ symetrický. Moment setrvačnosti totiž vyjadřuje míru symetrie rozložení hmotnosti kolem osy rotace – čím je rozložení symetričtější, tím je moment nižší.
Příklad 2
Spočti moment setrvačnosti dveří (tzn. spojitého prostředí) kolem osy z. Pro jednoduchost uvažujeme dveře složené z jediného materiálu (( = konst).
Příklad 3
Spočti moment setrvačnosti latě délky L rotující kolem osy zobrazené na obrázku.
V tabulkách najdeme pro moment setrvačnosti latě vzorec . Tento vztah však platí pouze pro rotaci kolem osy procházející těžištěm. Pokud osa rotace těžištěm neprochází, musíme užít Steinerovu větu:
kde a je vzdálenost osy rotace od osy s ní rovnoběžné procházející těžištěm. Tedy v tomto případě bude:
Kinetická energie rotujícího absolutně tuhého tělesa
Pro 1 hmotný bod by platilo:
Celková kinetická energie celého rotujícího tělesa (index T značí těžiště):
Příklad
Homogenní koule se začne v čase t = 0 kutálet z vrcholu nakloněné roviny. Jaká bude její rychlost na úpatí roviny?
Předně je třeba si uvědomit, že kouli nelze modelovat jako hmotný bod – ten se nemůže kutálet. Musíme ji tedy modelovat jako absolutně tuhé těleso. Zákon zachování mechanické energie má tedy tvar:
Na vrcholu nakloněné roviny bude pro kouli platit:
Na úpatí pak platí:
Ze zákona zachování energie vyplývá rovnost:
Moment setrvačnosti koule je:
Pro úhlovou rychlost platí obecný vztah:
Dosazením do rovnosti vyplývající ze zákona zachování energie a jednoduchou úpravou dostaneme:
Z výsledku vyplývá, že koncová rychlost nezávisí na hmotnosti koule ani na sklonu roviny. V konzervativním gravitačním poli závisí pouze na výšce nakloněné roviny.
Kontinuální model
Fyzika (mechanika) kontinua se obecně zabývá popisem spojitých těles
Mějme krychli o hmotnosti M a objemu V. V každém jejím místě může být v každém konkrétním čase jiná hustota. Hustota je tedy funkcí polohy bodu a času:
a platí pro ni vztah:
Pro hmotnost celé krychle tedy platí:
Vzorce s integrály jsou analogií vzorců se sumou u absolutně tuhého tělesa – viz například poloha těžiště nebo moment setrvačnosti:
Diskrétní model Kontinuální model
Existují dva přístupy k popisu pohybu kontinua:
Eulerův (prostorový popis), kdy je pozorovatel statický, stojící mimo objekt. Poloha každého bodu objektu v prostoru se s časem mění (v každém čase mu lze přiřadit jiný bod prostoru). Místní časová změna veličiny X je dána lokální časovou derivací:
Například, máme-li pozorovatele stojícího na břehu, který na teploměru sleduje průběh teploty v daném místě řeky (pozorovatel je statický, řeka teče => pohybuje se), platí pro dva různé okamžiky:
čas teplota
tT(t)
t+(tT(t+(t)
Rozdíl teplot je:
T(t+(t) – T(t)
Rychlost změny teploty pak je:
Lagrangeův (materiální popis), kdy je pozorovatel umístěn v objektu. Jde o homomorfismus („zobrazení na“, tj. zobrazení, které každému prvku množiny A přiřadí právě jeden prvek množiny B a naopak) – každému bodu objektu lze jednoznačně přiřadit jeden bod prostoru a toto přiřazení se v čase nemění. Místní časová změna veličiny X je dána vztahem:
Druhý sčítanec na pravé straně vyjadřuje konvektivní část časové derivace (v je rychlost pohybu tělesa). Příkladem by mohl být pozorovatel, který měří teplotu vody z člunu plujícího po řece.
Deformace
Deformace je speciální typ pohybu, při kterém se mění tvar tělesa (při translaci a rotaci předpokládáme tvarovou neměnnost)
Rozlišujeme deformaci:
Elastickou (pružnou), kdy se těleso po vymizení deformační síly vrátí zpět do původního tvaru (deformace je dána pouze pootočením vazeb mezi částicemi, které je vratné)
Plastickou (nepružnou), kdy se těleso do původního stavu již nevrátí (přetržení krystalových vazeb nebo amorfní látky typu plastelíny)
Le-Chatelierův–Brownův princip – jakési zobecnění zákona akce a reakce. Všechno v přírodě se snaží vracet do původního stavu, reagovat na změnu a snažit se ji eliminovat.
Popis deformace
Mějme těleso v prostoru a zaveďme k němu Lagrangeovskou soustavu souřadn
Vloženo: 22.04.2009
Velikost: 1,19 MB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu 102FYZI - Fyzika
Reference vyučujících předmětu 102FYZI - Fyzika
Podobné materiály
- 101MA2 - Matematika 2 - Přednášky
- 101PMS - Pravděpodobnost a matematická statistika - Přednášky 1
- 101PMS - Pravděpodobnost a matematická statistika - Přednášky 2
- 101PMS - Pravděpodobnost a matematická statistika - Přednášky 3
- 101PMS - Pravděpodobnost a matematická statistika - Přednášky 4
- 101PMS - Pravděpodobnost a matematická statistika - Přednášky 5
- 101PMS - Pravděpodobnost a matematická statistika - Přednášky 6
- 102FYZI - Fyzika - Přednášky Semerák
- 105PRA - Právo - Přednášky Pourová
- 105PRA - Právo - Přednášky Syrůčková
- 105PRA - Právo - Přednášky
- 105PRA - Právo - Přednášky
- 105ZETE - Základy ekonomické teorie - Přednášky
- 123CHE - Chemie - Přednášky Grunwald
- 123CHE - Chemie - Přednášky(2)
- 123CHE - Chemie - Přednášky
- 123SHM - Stavební hmoty - Přednášky - výpisky
- 123SHM - Stavební hmoty - Přednášky Svoboda
- 123SHM - Stavební hmoty - Přednášky
- 124KP1 - Konstrukce pozemních staveb 1 - Přednášky
- 126EMM - Ekonomika a management - Přednášky Novák
- 126SSPR - Stavební a smluvní právo - M욶anová přednášky
- 127UUPS - Urbanismus a územní plánování - Přednášky
- 128OPV - Operační výzkum - Přednášky - výpisky (2)
- 128OPV - Operační výzkum - Přednášky - výpisky(1)
- 128OPV1 - Operační výzkum 1 - Přednášky
- 129VYAS - Vývoj architektury a stavění - Přednášky(2)
- 129VYAS - Vývoj architektury a stavění - Přednášky(3)
- 129VYAS - Vývoj architektury a stavění - Přednášky(4)
- 129VYAS - Vývoj architektury a stavění - Přednášky(5)
- 129VYAS - Vývoj architektury a stavění - Přednášky
- 132ZASP - Zatížení a spolehlivost - Přednášky
- 133BEK1 - Betonové a zděné konstrukce - Přednášky - Vašková
- 133BEK1 - Betonové a zděné konstrukce - Přednášky - Števula
- 133BEK1 - Betonové a zděné konstrukce - Přednášky
- 133BEK1 - Betonové a zděné konstrukce - Přednášky
- 134OCM1 - Ocelové mosty 1 - Přednášky
- 134OK1 - Ocelové konstrukce 1 - Přednášky - zápisky
- 134OK1 - Ocelové konstrukce 1 - Přednášky a testy Macháček
- 134OK1 - Ocelové konstrukce 1 - Přednášky Studnička
- 135GEO - Geologie - Přednášky Chamra
- 135GEO - Geologie - Přednášky Chamra
- 135GEO - Geologie - Přednášky(2)
- 135GEO - Geologie - Přednášky
- 135MEZE - Mechanika zemin - Přednášky Salák a cvičení Holoušová
- 135MEZE - Mechanika zemin - Přednášky Salák
- 135MEZE - Mechanika zemin - Přednášky
- 135PZMH - Podzemní stavby a mech. hornin - Přednášky Barták
- 142YTD - Tvorba technické dokumentace - Přednášky
- 143ZIPR - Životní prostředí - Přednášky
- 154SGE - Stavební geodézie - Přednášky Pospíšil
- 154SGE - Stavební geodézie - Přednášky
- 132SM1 - Stavební mechanika 1 - Úkoly, přednášky...
- 133BEK1 - Betonové a zděné konstrukce - Otázky + přednášky
- 128OPV1 - Operační výzkum 1 - Přednášky 3
- 128OPV1 - Operační výzkum 1 - Přednášky(2)
- 128OPV1 - Operační výzkum 1 - Přednášky
- 134OK1 - Ocelové konstrukce 1 - Přednášky Studnička
- 126MVPR - Management výst. projektů - Přednášky
- 136DOSZ - Dopravní stavby Z - přednášky silnice
- 105PRA - Právo - Prednasky Fiala asi
- 126KAN1 - Kalkulace a nabídky 1 - přednášky
- 135ZSV - Zakládání staveb - Přednášky Jettmar oficiální
- 105KODO - Komunikační dovednosti - Přednášky KODO
- 136DOSZ - Dopravní stavby Z - Přednášky-silnice
- 136DOSZ - Dopravní stavby Z - Přednášky-železnice
- 143EKOL - Ekologie - Přednášky1
- 143EKOL - Ekologie - Přednášky2
- 143EKOL - Ekologie - Přednášky3
- 143GISZ - Geografické informační systémy - Přednášky
- 143MPP - Modelování povrchových procesů - Přednášky
- 143ODRZ - Odpady a recyklace - Přednášky
- 143PEDO - Pedologie - Přednášky1
- 143PEDO - Pedologie - Přednášky2
- 143PEDO - Pedologie - Přednášky3
- 143PEDO - Pedologie - Přednášky4
- 143PEDO - Pedologie - Přednášky5
- 143PEDO - Pedologie - Přednášky6
- 143PJZ1 - Projekt 1 - Přednášky
- 143PROZ - Protierozní ochrana - Přednášky
- 143REPO - Revitalizace povodí - Přednášky
- 143RLVP - Rizikové látky v půdě - Přednášky_1
- 143RLVP - Rizikové látky v půdě - Přednášky_2
- 143RPZ - Rozhodovací procesy v ŽP - Přednášky
- 143TOK1 - Tvorba a ochrana krajiny - Přednášky-1
- 143TOK1 - Tvorba a ochrana krajiny - Přednášky-2
- 143VHK2 - Vodní hospodářství krajiny 2 - Přednášky
- 143YHMH - Hydromeliorační stavby - Přednášky
- 143YKRV - Krajinné inženýrství - Přednášky
- 143YOOP - Ochrana a organizace povodí - Přednášky
- 143YOPZ - Ochrana a organizace povodí -Z - Přednášky-1
- 143YOPZ - Ochrana a organizace povodí -Z - Přednášky-2
- 143ZIP - Životní prostředí - Přednášky
- 143ZIPR - Životní prostředí - Přednášky z webu
- 143ZPA - Životní prostředí - Přednášky
- 143ZZIP - Základy životního prostředí - Přednášky
- 141HYA - Hydraulika - Přednášky
- 141HY2V - Hydraulika 2 - Přednášky
- 141APH - Aplikovaná hydrologie - Přednášky
- 141VTO - Vodní toky - Přednášky 1
- 141VTO - Vodní toky - Přednášky 2
- 141RIN - Říční inženýrství - Přednášky 1
- 141RIN - Říční inženýrství - Přednášky 2
- 140VIN - Vodohospodářské inženýrství - Přednášky 1
- 140VIN - Vodohospodářské inženýrství - Přednášky 2
- 140VIN - Vodohospodářské inženýrství - Přednášky 3
- 141VI10 - Vodohospodářské inženýrství 10 - Přednášky
- 144YCVO - Čistota vod - Přednášky 1
- 144YCVO - Čistota vod - Přednášky 2
- 144HBC - Hydrobiologie a hydrochemie - Přednášky 1
- 144HBC - Hydrobiologie a hydrochemie - Přednášky 2
- 144ZZI - Základy zdravotního inženýrství - Přednášky 1
- 144ZZI - Základy zdravotního inženýrství - Přednášky 2
- 144ZZI - Základy zdravotního inženýrství - Přednášky 3
- 143YAZS - Automatické závlahové systémy - Přednášky
- 144MZI - Monitoring ve zdravotním inženýrství - Přednášky 1
- 144MZI - Monitoring ve zdravotním inženýrství - Přednášky 2
- 144MZI - Monitoring ve zdravotním inženýrství - Přednášky 3
- 144MZI - Monitoring ve zdravotním inženýrství - Přednášky 4
- 102APF - Aplikovaná fyzika - Přednášky
- 141HYKZ - Hydrologie - Přednášky 1
- 141HYKZ - Hydrologie - Přednášky 2
- 141HYL - Hydrologie - Přednášky
- 126PJZP - Projekt - Evropské fondy pro život. prostředí - Přednášky
- 105PSS - Psychologie a sociologie - Přednášky
- 122KRJS - Kvalita a řízení jakosti ve stavebnictví - Přednášky
- 122PROB - Příprava a realizace objektů a staveb - Přednášky 1
- 122PROB - Příprava a realizace objektů a staveb - Přednášky 2
- 122SPRO - Stavební procesy - Přednášky Svoboda 1
- 122SPRO - Stavební procesy - Přednášky Svoboda 2
- 122SPRO - Stavební procesy - Přednášky 1
- 122SPRO - Stavební procesy - Přednášky 2
- 122SPRO - Stavební procesy - Přednášky
- 122TPS - Technologie a provoz stavby - Přednášky
- 122TS1 - Technologie staveb L1 - Přednášky 1
- 122TS1 - Technologie staveb L1 - Přednášky 2
- 122TS1 - Technologie staveb L1 - Přednášky 3
- 122TS1A - Technologie staveb 1 - Přednášky 1
- 122TS1A - Technologie staveb 1 - Přednášky 2
- 122TS1A - Technologie staveb 1 - Přednášky 3
- 122TS1A - Technologie staveb 1 - Přednášky 4
- 122TS2 - Technologie staveb L2 - Přednášky 1
- 122TS2 - Technologie staveb L2 - Přednášky 2
- 122TS2 - Technologie staveb L2 - Přednášky 3
- 122TS2A - Technologie staveb 2 - Přednášky
- 122TSE - Technologie staveb - E - Přednášky 1
- 122TSE - Technologie staveb - E - Přednášky 2
- 122TSE - Technologie staveb - E - Přednášky 3
- 122TSE - Technologie staveb - E - Přednášky 4
- 122TSE - Technologie staveb - E - Přednášky 5
- 122TSE2 - Technologie staveb 2 - Přednášky 1
- 122TSE2 - Technologie staveb 2 - Přednášky 2
- 122TSE2 - Technologie staveb 2 - Přednášky 3
- 122TSK - Technologie staveb - K - Přednášky 1
- 122TSK - Technologie staveb - K - Přednášky 2
- 122TSS - Technologie staveb - E - Přednášky 1
- 122TSS - Technologie staveb - E - Přednášky 2
- 142HYT1 - Hydrotechnické stav.1(Jezy a vod. cesty) - Nafocené přednášky Valenta 1
- 142HYT1 - Hydrotechnické stav.1(Jezy a vod. cesty) - Nafocené přednášky Valenta 2
- 142HYT1 - Hydrotechnické stav.1(Jezy a vod. cesty) - Nafocené přednášky Valenta 3
- 142HYT1 - Hydrotechnické stav.1(Jezy a vod. cesty) - Nafocené přednášky Valenta 4
- 142HYT1 - Hydrotechnické stav.1(Jezy a vod. cesty) - Nafocené přednášky Valenta 5
- 142HYT1 - Hydrotechnické stav.1(Jezy a vod. cesty) - Nafocené přednášky Valenta 6
- 142HYT1 - Hydrotechnické stav.1(Jezy a vod. cesty) - Nafocené přednášky Valenta 7
- 142HYT1 - Hydrotechnické stav.1(Jezy a vod. cesty) - Nafocené přednášky Valenta 8
- 122TSV - Technologie staveb - Přednášky
- 122TSZ - Technologie staveb - Přednášky
- 122YTD - Tvorba technické dokumentace - Přednášky
- 153FGR - Fotogrametrie DPZ - Přednášky
- 144EKT - Ekotoxikologie - Přednášky
- 153FGR - Fotogrametrie DPZ - Přednášky
- 102FYZI - Fyzika - Vypracované otázky (Demo)
- 102FYZI - Fyzika - Zkouška Demo
- 102FYZI - Fyzika - Zkouška Demo
Copyright 2024 unium.cz