- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálII ≡ .
b) ( )∞∞−∈+−= ,...,6sin
3
xxxx , ( )1,1...,111 32 −∈−−−−−=− xxxxx (použití vzorce
pro součet geometrické řady ( )1,1,1 −∈−= qqas ).
0x 1x 2x 3x
xsin 0 1 0 -
6
1
( )1/1 −x -1 -1 -1 -1
1
sin
−x
x 0 -1 -1
6
5−
136
( )1,1...,651sin 32 −∈+−−−=− xxxxx x , tedy existuje řešení ve tvaru ∑
∞
=
=
0k
k
k xcy , přičemž
mocninná řada konverguje v intervalu ( )1,1−=J .
c) Určení koeficientů 5,...,1,0, =kck :
Z počátečních podmínek plyne ( ) ( ) 10,10 1 −=′=== ycyco . Dále je
...54321 5544332 +++++−=′ xcxcxcxcy a ...201262 352432 ++++=′′ xcxcxccy .
Po dosazení ...201262 352432 ++++=′′ xcxcxccy , ...3122 ++= xcxcyx o a
...651sin 32 +−−−=− xxxx x do dané diferenciální rovnice a porovnání koeficientů u stejných
mocnin na pravé a levé straně dostaneme:
L P
0x 22c 0 02 =c
x 36c -1
6
1
3 −=c
2x occ +412 -1
6
1
4 −=c
3x 1520 cc +
6
5−
120
1
5 =c
Výsledek: 543 120161611 xxxxy +−−−≈ .
4. a)
Tvar Fourierovy řady ∑
∞
=
++
1 2
sin2cos2
k
kk
o xkbxkaa pipi , 4
2
1 4
0
== ∫ dxxao ,
( ) == ∫4
0
2/cos21 dxxkxak pi
( )
( ) ( ) ( ) 02/cos
22/sin2
2
1
2/sin21
2/cos 4
022
4
0
=+
=
==′
=′=
xkkxkkxxk
kvu
xkvxu
pipipipipi
pi
pi
,
137
( )∫= 4
0
2/sin21 dxxkxbk pi =
( )
( ) ( ) ( ) kxkkxkkxxkkvu
xkvxu
pipipipipipipi
pi 4
2/sin22/cos2212/cos21
2/sin 4
022
4
0
−=+
−=
−==′
=′=
.
b) ( )
+++−= xxxxxs pipipipi
pi 2sin4
1
2
3sin
3
1sin
2
1
2sin
42
4 .
c) V intervalu >< 8-8, je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8,44,00,44,8 pro, ∪∪−∪−−∈= xxfxs a
( ) 8,4,0,4,8 pro2 −−== xxs , ( ) ( ) ( ) 4,1141717 ===−= pspss .
7.6 Test č.6
1. Dána diferenciální rovnice xyy
2
=′ .
a) Zapište postačující podmínky existence a jednoznačnosti řešení Cauchyovy úlohy a urče-
te oblasti, v nichž jsou splněny.
b) Určete obecné řešení dané rovnice.
c) Určete maximální řešení Cauchyovy úlohy při počáteční podmínce
( ) ( ) 01),11) =−=− yy βα .
2. Dána soustava rovnic
−
−=
=+=
2
3,
43
12 , BABXAX& .
a) Určete obecné řešení homogenní soustavy XAX =& .
b) Určete body rovnováhy daného nehomogenního systému a zapište obecné řešení tohoto
systému.
c) Určete typ bodu rovnováhy, zapište rovnice přímek, na nichž leží polopřímkové trajekto-
rie nehomogenního systému. Znázorněte ve fázové rovině bod rovnováhy, polopřímkové tra-
jektorie a fázovou trajektorii procházející bodem O včetně orientace.
3. Jsou dány funkce ( ) ( ) ( ) 221 4 1,1ln xxfxxf −=+= .
a) Určete definiční obory daných funkcí a jejich rozvoje v mocninné řady se středem v bodě
0=ox . Zapište obory konvergence obou řad.
b) Použijte větu o násobení mocninných řad k určení Taylorova rozvoje funkce
( ) ( )24 1ln x xxf −+= se středem v bodě 0=ox a určete interval konvergence této řady.
c) Použijte aproximaci funkce f polynomem 3.stupně k výpočtu přibližné hodnoty integrálu
( )∫2/1
0
dxxf a odhadněte chybu výpočtu.
138
4. Dána pi2 - periodická funkce ( )
>−∈<
>∪−−∈=
2/,2/,cos
,2/(2/,,0)(
pipi
pipipipi
xx
xxf
a) Znázorněte graf funkce f v intervalu >−< pipi 2,2 , zapište tvar Fourierovy řady dané
funkce a vypočtěte Fourierovy koeficienty.
b) Zapište částečný součet řady Fourierovy řady až po 6.harmonickou (k=6).
c) Určete součet Fourierovy řady v intervalu ( )∞∞− , a v bodě 4/25pi=x .
Vypracování:
1. a) Postačující podmínky existence a jednoznačnosti maximálního řešení: Spojitost funk-
ce xyyxf
2
),( = a spojitost parciální derivace xyyf 2=∂∂ v oblasti 2EG ⊂ . Tyto podmínky
jsou splněny v oblastech ( ) ( ) ( ) ( )∞∞−×∞=∞∞−×∞−= ,,0,,0, 21 GG .
Bod [ ] [ ] 2211 0,1bod,1,1 GPGP ∈=∈−−= , tedy obě počáteční úlohy mají jediné řešení.
b) Obecné řešení dané diferenciální rovnice získáme metodou separace proměnných. Pro
0≠y dostaneme ∫ ∫ ℜ∈+= CCxdxydy ,2 , a po integraci CxyCxy +−=+=− ln 1tedy,ln1 .
c) Maximální řešení počáteční úlohy pro podmínku α): po dosazení 1,1 −=−= yx do obec-
ného řešení vypočteme 1=C . Tedy řešením je funkce 1ln 1+−= xy . Maximální interval
maxJ , na němž řešení existuje, je průnikem intervalu ( )0,∞−=J a definičního oboru D funk-
ce 1ln 1+−= xy , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )eJeeeeD /1,,/1/1,00,/1/1, max −∞−=⇒∞∪∪−∪−∞−= .
Pro počáteční podmínku β): 0,1 == oo yx je maximálním řešení funkce ( )∞∈= ,/1,0 exy .
2. a) Určíme vlastní čísla matice A: charakteristická rovnice 0562 =+− λλ má kořeny
5,1 21 == λλ . Příslušné vlastní vektory jsou ( ) ( )TT UU 3,1,1,1 21 =−= , tedy obecným řeše-
ním homogenní soustavy XAX =& jsou vektorové funkce
ℜ∈
+
−=Φ 21
5
21 ,,3
1
1
1 CCeCeC tt
h .
b) Souřadnice bodů rovnováhy jsou řešením soustavy rovnic 0243,032 =−+=−+ yxyx .
Daná nehomogenní soustava má tedy jediný bod rovnováhy [ ]1,2 −=P , který je trajektorií
konstantního řešení ( )∞∞−∈
−=Φ ,,1
2 t
p , nehomogenní soustavy. Obecným řešením dané
soustavy je superpozice obecného řešení hΦ příslušné homogenní soustavy a partikulárního
řešení pΦ nehomogenní soustavy: ℜ∈
−+
+
−= 21
5
21 ,,1
2
3
1
1
1 CCeCeCX tt .
c) Bod rovnováhy P je typu uzel. Polopřímkové trajektorie leží na přímkách, které procháze-
jí bodem rovnováhy P a mají směrnice 3,1 21 =−= kk : 73,1 −=+−= xyxy .
139
Tečna fázové trajektorie procházející počátkem O má směrový vektor
( ) ( )2,3)0(),0( −−== yx &&τ . Doplňte orientaci v obrázku!
3. a) Definiční obory funkcí ( ) ( ) ( ) 221 4 1,1ln xxfxxf −=+= :
( ) ( ) ( ) ( )∞∪−∪−∞−=∞−= ,22,22,,,1 21 DD . Nejdříve použijeme vzorce pro součet geo-
metrické řady ( ( ) ( )1,1,......11 2 −∈+++++=− qqqqaqa n ) k určení rozvoje funkce
( ) ( ) ( )1,1...,1...11 1 21 −∈+−+++−=+=′ xxxxxxf nn , ( 1, =−= axq ). Podle věty o integra-
ci mocninné řady platí
( ) ( ) ( ) ( ) ℜ∈−∈++−+−+−=++=′
+
∫ CxnxxxxCxdxxf
nn
,1,1...,11...321ln
132
.
Pro 0=x dostaneme 001ln =⇒=+ CC .
K rozvoji funkce ( ) 22 4 1xxf −= opět použijeme vzorce pro součet geometrické řady:
( )2,2,...2...22141
41
1
4
1
4
1
2
2
4
4
2
2
22 −∈
+++++=
−
=− xxxxxx n
n
, ( 41,4
2
== axq ).
b) Podle věty o násobení mocninných řad je součtem součinu řad
( ) ...)1...1( 2 +−+++− nn xxx
+++++ ...
2...2214
1
2
2
4
4
2
2
n
nxxx
na intervalu ( )1,1− funkce
( ) ( ) ( ) 221 4 )1ln( x xxfxfxf −+== .
0x 1x 2x 3x 4x
( )xf1 0 1 -
2
1
3
1
4
1−
( )xf2
4
1 0
16
1 0
64
1
( )xf 0
4
1
8
1−
48
7
32
3−
140
Je tedy ( ) ( )1,1...,323487844 1ln
432
2 −∈+−+−=−
+ xxxxx
x
x (1).
c) Po integraci (1) dostaneme (2) ( )1,1...,160319272484 )1ln(
5432
2 −∈+−+−=−
+∫ xxxxxdx
x
x .
Funkci f aproximujeme polynomem třetího stupně. Protože mocninná řada ve vztahu (2) je
pro všechna >∈< 2/1,0x alternující, nepřevyšuje chyba aproximace absolutní hodnotu čtvr-
tého členu.
Interval integrace ( )11,-2/1,0 >⊂< , tedy platí
( )
2/1
0
4322/1
0
322/1
0 192
7
24848
7
84
+−=
+−≈ ∫∫ xxxdxxxxdxxf = 0.0283 a chyba aproximace
0006.02.1603 5 =−
Vloženo: 22.04.2009
Velikost: 193,46 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu 2011066MA3 - Matematika III.
Reference vyučujících předmětu 2011066MA3 - Matematika III.
Podobné materiály
- 2011049NMA - Numerická matematika - Ukázky testů 2008
- 2011056MA1 - Matematika I. - Ukázky testů 2006-2008
- 2011057MA2 - Matematika II. - Ukázky testů 2004-2006
- 2011057MA2 - Matematika II. - Ukázky testů 2005-2007
- 2012033ZAPG - Základy algoritmizace a programování - Zadání 1. testu
- 2012033ZAPG - Základy algoritmizace a programování - Zadání 2. testu
- 2021022FY2 - Fyzika II. - Klic k testu
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Zadání testů u zkoušky (2)
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Zadání testů u zkoušky (3)
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Zadání testů u zkoušky (4)
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Zadání testů u zkoušky (5)
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Zadání testů u zkoušky
- 2311102ME2 - Mechanika II. - Zadání testů
- 2321039MR2 - Nauka o materiálu II. - Zadání testu 27.1.04
- 2331067TE1 - Technologie I. - Otázky a odpovědi u testů
- 2341045TE2 - Technologie II. - Zadání testů
Copyright 2024 unium.cz