- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál121
7. Ukázky písemných testů
7.1 Test č.1
1. Dána diferenciální rovnice 0ln =+′ yyyx .
a) Zapište postačující podmínky existence a jednoznačnosti řešení Cauchyovy úlohy a urče-
te oblasti, v nichž jsou splněny.
b) Určete obecné řešení dané rovnice.
c) Určete maximální řešení Cauchyovy úlohy při počáteční podmínce
( ) ( ) eyy == 1),11) βα .
2. Dána soustava rovnic
==
44-
18 , AXAX& .
a) Určete obecné řešení dané soustavy.
b) Určete maximální řešení Cauchyovy úlohy při počáteční podmínce
−= 2
0)0(X .
c) Určete typ bodu rovnováhy, zapište parametrické rovnice fázové trajektorie maximálního
řešení a rovnice přímek, na nichž leží polopřímkové trajektorie. Vše znázorněte ve fázové
rovině, včetně orientace.
3. Dána Cauchyova úloha .1)0(,1)0(,sin32 −=′−==+′++′′ yyxxxarctgyyx xy
a) Určete interval maximálního řešení dané Cauchyovy úlohy.
b) Ukažte, že existuje řešení dané úlohy ve tvaru součtu mocninné řady a určete interval
konvergence této řady.
c) Řešení dané úlohy aproximujte polynomem 5.stupně.
4. Dána funkce ).3,0(,2)( ∈= xxxf
a) Vypočtěte Fourierovy koeficienty sinového rozvoje s periodou 62 =L a znázorněte graf
příslušného periodického prodloužení v intervalu (-6 , 6).
b) Zapište částečný součet řady Fourierovy řady až po 4.harmonickou (k=4).
c) Určete součet Fourierovy řady v intervalu a v bodě 8−=x .
Vypracování:
1. a) Danou rovnici převedeme na normální tvar x yydxdy ln−= . Postačující podmínky exis-
tence a jednoznačnosti maximálního řešení: Spojitost funkce x yyyxf ln),( −= a spojitost
parciální derivace podle proměnné y x yyf ln1+−=∂∂ v oblasti 2EG ⊂ . Podmínky jsou splně-
ny v oblastech ),0()0,(1 ∞×−∞=G a =2G ),0(),0( ∞×∞ .
Tedy každá z počátečních úloh α), β) má jediné řešení ( [ ] [ ] 2221 ,1,1,1 GePGP ∈=∈= ).
122
b) Obecné řešení dané diferenciální rovnice určíme pomocí separace proměnných:
Za předpokladu, že 1≠y dostaneme v oblasti 2G rovnici xdxyydy −=ln a po integraci →
∫ ∫ ===== yzdzdzydyzyyydy lnln,lnln a ∫ −=− xxdx ln . Tedy obecné řešení je určeno
implicitně rovnicí xCyCxCy =⇒>−= ln,0,lnlnlnln .
c) Pro počáteční podmínku α) 1,1 00 == yx nelze řešení získat separací proměnných, ale
dosazením 1)( =xy do rovnice x yydxdy ln−= ověříme, že tato funkce je řešením této rovnice.
Maximálním řešením Cauchyovy α) je tedy funkce 1)( =xy , ),0( ∞∈x .
Po dosazení počáteční podmínky β) eyx == 00 ,1 do obecného řešení dostaneme 1=C . Ma-
ximálním řešením Cauchyovy úlohy β) je funkce ).,0(,
1
∞∈= xey x
2. a) Vypočteme vlastní čísla matice A : Charakteristická rovnice
0361244 18 2 =+−=−−− λλλλ má dvojnásobný kořen 6=λ . Obecné řešení dané sousta-
vy má tedy tvar
ℜ∈∞−∞∈
−+−
++=
−−+
=
21
21
216
2
16 ,,),(,
)21(4
)21(
24
12
10
01 cct
tctc
tctce
c
cteX tt .
b) Maximálním řešením dané Cauchyovy úlohy je funkce:
),(,24 22024 1210 01 66 ∞−∞∈
−
−=
−
−−+
= t
t
teteX tt .
c) Bod rovnováhy O je typu uzel.
Fázová trajektorie maximálního řešení je dána parametricky rovnicemi:
),(,)24(,2 66 ∞−∞∈−=−= tetyetx tt .
Polopřímkové trajektorie leží na přímce, jejíž směrový vektor je vlastním vektorem
=
2
1
u
uU
matice A. Souřadnice vektoru U jsou řešením rovnice 02 21 =+ uu . Z nekonečně mnoha řeše-
ní stačí zvolit např. vektor
−= 2
1U . Daná
soustava má tedy dvě navzájem opačné polo-
přímkové trajektorie ležící na přímce xy 2−= .
Směrový vektor tečny fázové trajektorie
v bodě M je )4,1( −−=
→τ
. Doplňte orientaci
v obrázku!
123
3. a) Funkce xxxfxarctgxax xxa sin)(,)(,3)( 221 ==+= jsou spojité v intervalu
),( ∞−∞ , tedy Cauchyova úloha má právě jedno maximální řešení v tomto intervalu.
b) Funkce
31
3)(
21 x
x
xa
+
= je rozvinutelná v mocninnou řadu ...2793
53
++− xxx v intervalu
)3,3(1 −=J , funkce xarctgxa =)(2 je rozvinutelná v mocninnou řadu ...53
53
−+− xxx
v intervalu )1,1(2 −=J a funkce xxxf sin)( = je rozvinutelná v mocninnou řadu
+− 6
4
2 xx ...
120
6
−x v intervalu ),(3 ∞−∞=J . Řešení dané úlohy lze tedy vyjádřit jako součet
mocninné řady v intervalu )1,1(321 −=∩∩= JJJJ .
c) Protože máme řešení aproximovat polynomem 5.stupně, stačí zapsat pouze prvních šest
členů řady: Jxxcxcxcxcxccxy ∈++++++= ,...)( 5544332210 . Z počátečních podmínek
plyne, že 110 −== cc . Dále je
+++=′ 2321 32)( xcxccxy ...201262)( a ...54 3524324534 ++++=′′++ xcxcxccxyxcxc .
Protože nejvyšší hledaný koeficient 5c se vyskytuje v posledním vztahu u mocniny 3x , stačí
při dosazování do dané diferenciální rovnice použít pouze první čtyři členy řady a porovnat
koeficienty u stejných mocnin 3210 ,,, xxxx .
93
2
30:
432:
9
10
3
10:
1
3
21
1
4321
1
3210
ccccya
ccccy
a
xxxx
−′
′
−
,
30:
:
3
1010:
0
2102
3210
2
3210
ccccya
ccccy
a
xxxx
−
−
.
Porovnání koeficientů u stejných mocnin na levé a pravé straně diferenciální rovnice:
30
10
3920
6
11
3
212
9
20
36
002
5
0
2
1
35
3
41
2
4
2
30
1
3
1
22
0
−=⇒=−+−+
=⇒=++
=⇒=++
=⇒=
ccccccx
ccccx
ccccx
ccx
Aproximace řešení Cauchyovy úlohy v okolí bodu 00 =x : 543 30161921)( xxxxxy −++−−≈ .
124
4. a) Dodefinujeme funkci f na funkci g v intervalu )3,3(− tak, aby funkce g byla lichá.
Funkci g periodicky prodloužíme na funkci
f~ s periodou 62 =L . Fourierova řada
funkce f~ má tedy tvar ∑
∞
=1 3
sin
k
k
kxb pi ,
∫=
L
k dxL
kxxf
Lb 0 sin)(
2 pi = ∫3
0 3
sin232 dxkxx pi = =
−==′
=′=
=∫
3cos
31
3sin
3sin3
4 3
0 kx
kvu
kxvxu
dxkxx pi
pi
pi
pi
= kkxkkxxk k pipipipipi 934)1(3sin93cos334 1
3
0
22
+−=
+− , tedy
kb
k
k pi
12)1( 1+−= .
b)
−+−=
3
4sin
4
1sin
3
1
3
2sin
2
1
3sin
12)(
4
xxxxxs pipipipi
pi .
c)
=−=
>∈−
−∈
−−∈∈∈−−∈∈−< 6,6 . Zapište tvar Fou-
rierovy řady této funkce.
b) Funkci 3−= xf aproximujte Fourierovým polynomem až po 5.harmonickou (k=5).
c) Zapište interval, v němž je součet Fourierovy řady ( )xs roven ( )xf a určete hodnoty
součtu v bodech 20,10 =−= xx .
Vypracování:
1. Z rovnice ( ) yxx +−= 21 & vypočteme xxy 2+= & a spolu s xxy &&&& 2+= dosadíme do rov-
nice ( ) tyxy cos1022 +−=& . Dostaneme rovnici ( ) txx cos1033 =+ &&& . Obecné řešení rov-
nice (3) ph xxx += , kde hx je obecné řešení homogenní rovnice 03 =+ xx &&&
s charakteristickou rovnicí 032 =+ λλ a s charakteristickými čísly 3,0 21 −== λλ . Tedy
t
h eCCx
3
21
−+= . Partikulární řešení
px nehomogenní rovnice (3) má tvar
tBtAx p sincos += , tedy tBtAxtBtAx pp sincos,cossin −−=+−= &&& . Po dosazení do rov-
nice (3) a porovnání koeficientů u členů tt sin,cos na obou stranách rovnice dostaneme pro
konstanty A, B rovnice: 03,103 =−−=+− BABA . Tedy 3,1 =−= BA a obecné řešení
tteCCx t sin3cos)4( 321 +−+= − rovnice (3) je první souřadnicí stavového vektoru X dané
soustavy. Druhou souřadnici stavového vektoru X dostaneme z rovnice xxy 2+= & :
tteCCy t cossin72)5( 321 ++−= − .
Obecné řešen
Vloženo: 22.04.2009
Velikost: 193,46 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu 2011066MA3 - Matematika III.
Reference vyučujících předmětu 2011066MA3 - Matematika III.
Podobné materiály
- 2011049NMA - Numerická matematika - Ukázky testů 2008
- 2011056MA1 - Matematika I. - Ukázky testů 2006-2008
- 2011057MA2 - Matematika II. - Ukázky testů 2004-2006
- 2011057MA2 - Matematika II. - Ukázky testů 2005-2007
- 2012033ZAPG - Základy algoritmizace a programování - Zadání 1. testu
- 2012033ZAPG - Základy algoritmizace a programování - Zadání 2. testu
- 2021022FY2 - Fyzika II. - Klic k testu
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Zadání testů u zkoušky (2)
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Zadání testů u zkoušky (3)
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Zadání testů u zkoušky (4)
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Zadání testů u zkoušky (5)
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Zadání testů u zkoušky
- 2311102ME2 - Mechanika II. - Zadání testů
- 2321039MR2 - Nauka o materiálu II. - Zadání testu 27.1.04
- 2331067TE1 - Technologie I. - Otázky a odpovědi u testů
- 2341045TE2 - Technologie II. - Zadání testů
Copyright 2023 unium.cz. Abychom mohli web rozvíjet a dále vylepšovat podle preferencí uživatelů, shromažďujeme statistiky o návštěvnosti, a to pomocí Google Analytics a Netmonitor. Tyto systémy pro unium.cz zaznamenávají, které stránky uživatel na webové stránce navštívil, odkud se na stránku dostal, kam z ní odešel, jaké používá zařízení, operační systém či prohlížeč, či jaký má preferenční jazyk. Statistiky jsou anonymní, takže unium.cz nezná identitu návštěvníka a spravuje cookies tak, že neumožňuje identifikovat konkrétní osoby. Používáním webu vyjadřujete souhlas použitím cookies a následujících služeb: