- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálu p•resnosti
•Re•sen¶‡:
(a) ui¡1;j¡2ui;j+ui+1;jh2 + ui;j¡1¡2ui;j+ui;j+1h2 = fi;j
=) ui¡1;j +ui+1;j ¡4ui;j +ui;j¡1 +ui;j+1 = h2fi;j
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
6 PARCI¶ALN¶I DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 18
(b) y(x+h) = y(x) +y0(x)h+y00(x)h22 +y000(x)h36 +O(h4)
y(x¡h) = y(x)¡y0(x)h+y00(x)h22 ¡y000(x)h36 +O(h4)
=) y(x+h)¡2y(x)+y(x¡h)h2 = y00(x) +O(h2) ) y00(xi) … yi+1¡2yi+yi¡1h2
2. (a) Zapi•ste maticov•e soustavu s¶‡t’ov¶ych rovnic, kter¶a vznikne p•ri•re•sen¶‡ rovnice ¢u = 0
na •cty•r¶uheln¶‡ku [¡1;0], [1:5;0], [0;1:5], [¡1;1:5] s krokem h = 0:5. Na hranici je
u(x;y) = y
(b) Ov•e•rte, •ze danou soustavu lze •re•sit Jacobiho itera•cn¶‡ metodou
•Re•sen¶‡:
(a)
[−1;0] [1.5;0]
[0;1.5][−1;1.5]
P P P
P P
1 3
4 5
2
x
y
0
BB
B@
¡4 1 0 1 0
1 ¡4 1 0 1
0 1 ¡4 0 0
1 0 0 ¡4 1
0 1 0 1 ¡4
1
CC
CA
0
BB
B@
U1
U2
U3
U4
U5
1
CC
CA =
0
BB
B@
¡0:5
0
¡1:5
¡2:5
¡2:5
1
CC
CA
(b) Matice soustavy je ost•re diagon¶aln•e dominantn¶‡ ) Jacobiho metoda konverguje
3. Je d¶ana okrajov¶a ¶uloha ¢u = 4 v oblasti › tvo•ren¶e•cty•r¶uheln¶‡kem s vrcholy [0;0], [1:5;0],
[1;1], [0:5;1], u(x;y) = x+y na hranici ¡ oblasti ›
(a) Uka•zte, •ze pro dostate•cn•e hladkou funkci z = z(x) je v¶yraz 1h2 (z(x+h)¡2z(x)+
z(x¡h)) aproximac¶‡ z00(x) 2.•r¶adu p•resnosti
(b) Odvod’te diferen•cn¶‡ schema pro •re•sen¶‡ Dirichletovy ¶ulohy pro Poissonovu rovnici
metodou s¶‡t¶‡ v regul¶arn¶‡m uzlu
(c) Sestavte s¶‡t’ov¶e rovnice v uzlech s¶‡t•e le•z¶‡c¶‡ch na p•r¶‡mce y = 0:25, kter¶e vzniknou p•ri
•re•sen¶‡ ¶ulohy metodou s¶‡t¶i s krokem h = 0:25 (v neregul¶arn¶‡ch uzlech u•zijte line¶arn¶‡
interpolaci)
•Re•sen¶‡:
(a) z(x+h) = z(x) +z0(x)h+z00(x)h22 +z000(x)h36 +O(h4)
z(x¡h) = z(x)¡z0(x)h+z00(x)h22 ¡z000(x)h36 +O(h4)
=) z(x+h)¡2z(x)+z(x¡h)h2 = z00(x) +O(h2)
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
6 PARCI¶ALN¶I DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 19
(b) ui¡1;j¡2ui;j+ui+1;jh2 + ui;j¡1¡2ui;j+ui;j+1h2 = fi;j
=) ui¡1;j +ui+1;j ¡4ui;j +ui;j¡1 +ui;j+1 = h2fi;j
(c)
x
y
[0.5;1] [1;1]
[0;0] [1.5;0]
P P P P P
P P P
1 2 3 4 5
6 7 8
P2 = [0:5;0:25], P3 = [0:75;0:25], P4 = [1;0:25],
P6 = [0:5;0:5], P7 = [0:75;0:5], P8 = [1;0:5] ::: regul¶arn¶‡ uzly
P1 = [0:25;0:25], P5 = [1:25;0:25] ::: neregul¶arn¶‡ uzly
P1 : 1:5U1 ¡0:5U2 = 0:375
P2 : ¡U1 + 4U2 ¡U3 ¡U6 = 0:25
P3 : ¡U2 + 4U3 ¡U4 ¡U7 = 0:5
P4 : ¡U3 + 4U4 ¡U5 ¡U8 = 0:75
P5 : ¡0:5U4 + 1:5U5 = 1:625
4. Je d¶ana Dirichletova ¶uloha ¢u = 0 v oblasti ›, u(x;y) = ’(x;y) na hranici ¡ = @›
(a) Odvod’te tvar s¶‡t’ov¶e rovnice v neregul¶arn¶‡m uzlu pomoc¶‡ line¶arn¶‡ interpolace a
uka•zte, •ze je aproximac¶‡ 2.•r¶adu p•resnosti
(b) Pro › = f[x;y] 2 E2 : x 2 (0;1);y 2 (0;1¡ x2)g a krok h = 14 na•crtn•ete obr¶azek
s¶‡t•e, kter¶a obsahuje uzel [14; 34]. Vyzna•cte v•sechny neregul¶arn¶‡ uzly
•Re•sen¶‡:
(a) P
i¡1 Pi Q Pi+1
h –h
t d t d
Regul¶arn¶‡ bod :::Pi¡1
Neregul¶arn¶‡ bod :::Pi
Hrani•cn¶‡ bod :::Q
\Zahrani•cn¶‡" bod :::Pi+1
Z Taylorova rozvoje funkce u(x) z•rejm•e plat¶‡:
ui¡1 = ui ¡h@u@x(xi) +O(h2)
u(Q) = `(Q) = ui +–h@u@x(xi) +O(h2)
Prvn¶‡ rovnici vyn¶asob¶‡me – a p•ri•cteme ke druh¶e.
–ui¡1 +`(Q) = (1 +–)ui +O(h2)
Zanedb¶ame-li •clen O(h2), dostaneme aproximaci pro Ui, kter¶a je 2.•r¶adu p•resnosti.
(1 +–)Ui ¡–Ui¡1 = `(Q)
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
6 PARCI¶ALN¶I DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 20
(b)
x
y
P P P
P P P
P
3
4 5 6
7
1 2
[0;0] [1;0]
[1;0]
[0;0.5]
Neregul¶arn¶‡ uzly P6,P7
5. Je d¶ana Dirichletova ¶uloha ¢u = 4 v oblasti › tvo•ren¶e •cty•r¶uheln¶‡kem s vrcholy [0;0],
[2;0], [0;1:8], [1:4;1:8] s okrajovou podm¶‡nkou u(x;y) = x2 na hranici ¡ = @›
(a) Na•crtn•ete obr¶azek s •c¶‡slov¶an¶‡m uzl”u pro h = 0:6
(b) Sestavte s¶‡t’ov¶e rovnice v uzlech s¶‡t•e le•z¶‡c¶‡ch na p•r¶‡mce y = 1:2 tak, aby metoda
byla 2.•r¶adu p•resnosti
•Re•sen¶‡:
(a)
x
y [0;0] [2;0]
[0;1.8] [1.4;1.8]
P P
P P
1 2
3 4 Q
(b) P3 : U4 +U1 ¡4U3 = 1:08
P4 : 53U4 ¡ 23U3 = 2:56
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
6 PARCI¶ALN¶I DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 21
6.2 Parabolick¶e rovnice
1. Je d¶ana sm¶‡•sen¶a ¶uloha pro rovnici veden¶‡ tepla
@u
@t = p
@2u
@x2
u(x;0) = ’(x) pro x 2h0;li
u(0;t) = fi(t) pro t ‚ 0
u(l;t) = fl(t) pro t ‚ 0
(a) Zapi•ste podm¶‡nky souhlasu
(b) Pomoc¶‡ Taylorova rozvoje uka•zte, •ze v¶yraz 1¿ (U(k+1)i ¡U(k)i ) je aproximac¶‡ @u@t v
uzlu P(k+1)i •r¶adu O(¿) pro u 2 C(2)(„›)
•Re•sen¶‡:
(a) ’(x = 0) = fi(t = 0), ’(x = l) = fl(t = 0)
(b) u(t+¿) = u(t) + @u@t (t)¿ +O(¿2)
u(t+¿)¡u(t)
¿ =
@u
@t (t) +O(¿) =)
@u
@t (t) …
1
¿ (U
(k+1)
i ¡U
(k)
i )
2. Je d¶ana sm¶‡•sen¶a ¶uloha
@u
@t = 0:3
@2u
@x2 +x+ 2t v oblasti › = f[x;t] : x 2 (0;1); t > 0g
u(x;0) = x2 pro x 2h0;1i
u(0;t) = arctg(t) pro t ‚ 0
u(1;t) = 12t+ 1 pro t ‚ 0
(a) Ov•e•rte spln•en¶‡ podm¶‡nek souhlasu
(b) Ur•cete ¿ a minim¶aln¶‡ krok h tak, aby p•ri jej¶‡m •re•sen¶‡ stabiln¶‡ explicitn¶‡ metodou
le•zel bod P = [0:25;0:1] v prv¶e •casov¶e vrstv•e
(c) Pro hodnoty ¿ a h z bodu (b) ur•cete p•ribli•znou hodnotu •re•sen¶‡ v bod•e P u•zit¶‡m
explicitn¶‡ metody
(d) P•ri h = ¿ = 0:25 sestavte soustavu s¶‡t’ov¶ych rovnic pro prvn¶‡ •casovou vrstvu u•zit¶‡m
implicitn¶‡ formule
•Re•sen¶‡:
(a) ’(x = 0) = fi(t = 0) = 0; ’(x = 1) = fl(t = 0) = 1
(b) ¿ = 0:1; h = 0:25
(c) u(0:25;0:1) := 0:1475
(d) 3:4U(1)1 ¡1:2U(1)2 = 0:1375
¡1:2U(1)1 + 3:4U(1)2 ¡1:2U(1)3 = 0:35
¡1:2U(1)2 + 3:4U(1)3 = 1:8875
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
6 PARCI¶ALN¶I DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 22
3. Je d¶ana rovnice
@u
@t = 2:5
@2u
@x2 v oblasti › = f[x;t] : x 2 (0;2); t > 0g
(a) Ur•cete typ t¶eto rovnice
(b) P•r zadan¶ych podm¶‡nk¶ach
u(x;0) = x(2¡x) pro x 2h0;2i
u(0;t) = 30t pro t ‚ 0
u(2;t) = 0 pro t ‚ 0
sestavte soustavu s¶‡t’ov¶ych rovnic pro prvn¶‡ •casovou vrstvu pomoc¶‡ implicitn¶‡ho
schematu. Volte h = 0:5 a ¿ = 0:1
(c) Rozhodn•ete, zda lze volit •casov¶y krok ¿ = 0:01, resp. ¿ = 1:0 aby pro dan¶y krok
v ose x bylo u•zit¶e schema stabiln¶‡
•Re•sen¶‡:
(a) parabolick¶a rovnice
(b) 3U11 ¡ U12 = 1:05
¡U11 + 3U12 ¡ U13 = 1
¡U12 + 3U13 = 0:75
(c) Implicitn¶‡ schema je stabiln¶‡ 8 > 0
4. Je d¶ana sm¶‡•sen¶a ¶uloha
@u
@t = 2
@2u
@x2 + arctgt
u(x;0) = 1¡x2 pro x 2h0;1i
u(0;t) = 1 pro t ‚ 0
u(1;t) = 2t1 +t2 pro t ‚ 0
(a) Ov•e•rte podm¶‡nky souhlasu
(b) Volte •casov¶y krok 0:01, prostorov¶y krok 0:25 a ur•cete hodnotu •re•sen¶‡ v bod•e A =
[0:5;0:01] metodou s¶‡t¶‡ (u•zijte explicitn¶‡ schema)
(c) Ur•cete maxim¶aln¶‡ •casov¶y krok tak, aby explicitn¶‡ schema•re•sen¶‡ bylo pro dan¶y pros-
torov¶y krok je•st•e stabiln¶‡
•Re•sen¶‡:
(a) ’(x = 0) = fi(t = 0) = 1, ’(x = 1) = fl(t = 0) = 0
(b) U12 = 0:32U01 + 0:36U02 + 0:32U03 + 0:01arctg0 = 0:71
(c) ¿ < 164
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
6 PARCI¶ALN¶I DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 23
5. Je d¶ana sm¶‡•sen¶a ¶uloha
@u
@t = 0:2
@2u
@x2
u(x;0) = ax2 +b pro x 2h1;2i
u(1;t) = 10t+ 1 pro t ‚ 0
u(2;t) = 4e¡t pro t ‚ 0
(a) Ur•cete hodnoty a;b tak, aby byly spln•eny podm¶‡nky souhlasu
(b) Rozhodn•ete, zda lze volit h = 0:2 a ¿ = 0:2 pro •re•sen¶‡ ¶ulohy metodou s¶‡t¶‡ fi)
explicitn¶‡, fl) implicitn¶‡
(c) Pomoc¶‡ Taylorova rozvoje uka•zte, •ze v¶yraz 1¿ (U(k+1)i ¡U(k)i ) je aproximac¶‡ @u@t v
uzlu P(k+1)i •r¶adu O(¿) pro u 2 C(2)(„›)
•Re•sen¶‡:
(a) a = ¡2, b = 12
(b) Explicitn¶‡ metoda - nestabiln¶‡
Implicitn¶‡ metoda - stabiln¶‡
(c) u(t+¿) = u(t) + @u@t (t)¿ +O(¿2)
u(t+¿)¡u(t)
¿ =
@u
@t (t) +O(¿) =)
@u
@t (t) …
1
¿ (U
(k+1)
i ¡U
(k)
i )
6. Je d¶ana sm¶‡•sen¶a ¶uloha
@u
@t =
1
2
@2u
@x2 +
2x
1 +t
u(x;0) = 1¡x2 pro x 2h¡1;1i
u(¡1;t) = arctgt ; u(1;t) = 0 pro t 2h0;1)
(a) Odvod’te s¶‡t’ovou rovnici v regul¶arn¶‡m uzlu (k+1)-n¶‡ •casov¶e vrstvy p•ri•re•sen¶‡ dan¶e
¶ulohy implicitn¶‡ metodou
(b) Sestavte s¶‡t’ovou rovnici pro uzel [¡0:75;0:25]. Zvolte maxim¶aln•e mo•zn¶y •casov¶y
krok h a ¿ tak, aby metoda byla stabiln¶‡
•Re•sen¶‡:
(a) U
(k+1)
i ¡U
(k)
i
¿ = p
U(k+1)i¡1 ¡2U(k+1)i +U(k+1)i+1
h2
¡ U(k+1)i¡1 + (1 + 2 )U(k+1)i ¡ U(k+1)i = U(k)i = p ¿h2
(b) Implicitn¶‡ metoda je stabiln¶‡ pro libovoln¶e . Vol¶‡m h = 14, ¿ = 14.
5U11 ¡2U12 = 716 ¡0:3¡arctg14
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
6 PARCI¶ALN¶I DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 24
6.3 Hyperbolick¶e rovnice
1. D¶ana sm¶‡•sen¶a ¶uloha
@2u
@t2 = c
2@2u
@x2 +f(x;t) v oblasti › = (a;b)£(0;1)
u(x;0) = ’(x) ; @u@t(x;0) = ˆ(x) pro x 2ha;bi
u(a;t) = fi(t) ; u(b;t) = fl(t) pro t 2h0;1)
(a) Pomoc¶‡ Taylorova rozvoje uka•zte, •ze v¶yraz 1¿2 (U(k+1)i ¡2U(k)i +U(k¡1)i ) je aprox-
imac¶‡ @2u@t2 v uzlu P(k)i •r¶adu O(¿2) pro u 2 C(4)(„›)
(b) Odvod’te soustavu s¶‡t’ov¶ych rovnic pro ur•cen¶‡ p•ribli•zn¶ych hodnot •re•sen¶‡ (k + 1)-n¶‡
•casov¶e vrstv•e (k ‚ 1) implicitn¶‡ metodou.
(c) Odvod’tesoustavus¶‡t’ov¶ychrovnicprour•cen¶‡p•ribli•zn¶ychhodnot•re•sen¶‡prvn¶‡•casov¶e
vrstv•e s chybou O(¿2)
•Re•sen¶‡:
(a) u(t+¿) = u(t) + @u@t (t)¿ + @2u@t2 (t)¿2 + @3u@t3 (t)¿3 +O(¿4)
u(t¡¿) = u(t)¡ @u@t (t)¿ + @2u@t2 (t)¿2 ¡ @3u@t3 (t)¿3 +O(¿4)
u(t+¿)¡2u(t)+u(t¡¿)
¿2 =
@2u
@t2 (t) +O(¿
2) =) @2u
@t2 (t) …
1
¿2 (U
(k+1)
i ¡2U
(k)
i +U
(k¡1)
i )
(b) U
(k+1)
i ¡2U
(k)
i +U
(k¡1)
i
¿2 =
c2
2
hU(k+1)
i+1 ¡2U
(k+1)
i +U
(k+1)
i¡1
h2 +
U(k¡1)i+1 ¡2U(k¡1)i +U(k¡1)i¡1
h2
i
+f(k)i
)¡ 2U(k+1)i¡1 + 2(1 + 2)U(k+1)i ¡ 2U(k+1)i+1 = 2U(k¡1)i¡1 ¡ 2(1 + 2)U(k¡1)i + 2U(k¡1)i+1 + 4U(k)i + 2¿2f(k)i
(c) u(xi;¿) = u(xi;0) +¿ @u@t (xi;0) + ¿22 @2u@t2 (xi;0) +O(¿3)
=) @u@t (xi;0) = u(xi;¿)¡u(xi;0)¿ ¡ ¿2 @
2u
@t2 (xi;0)| {z }
c2 @2u@x2 (xi;0)+f(xi;0)
+O(¿2)
=) U
(1)
i ¡U
(0)
i
¿ =
c2¿
2
U(0)i+1¡2U(0)i +U(0)i¡1
h2 +
¿
2f
(0)
i +ˆ(xi)
=) U(1)i = 22 £’(xi¡1) +’(xi+1)⁄+ (1¡ 2)’(xi) +¿ˆ(xi) + ¿22 f(0)i
2. Je d¶ana sm¶‡•sen¶a ¶uloha
@2u
@t2 = 4
@2u
@x2 +xsint
u(x;0) = x2 ; @u@t(x;0) = 1¡x2 pro x 2h¡1;1i
u(¡1;t) = 1 ; u(1;t) = cost pro t 2h0;1)
(a) Ov•e•rte spln•en¶‡ podm¶‡nek souhlasu (pro polohu a rychlost)
(b) Ur•cete maxim¶aln¶‡ krok ¿ tak, aby byla spln•ena podm¶‡nka stability pro explicitn¶‡
metodu s prostorov¶ym krokem h = 0:2
(c) Odvod’te s¶‡t’ov¶e rovnice pro prvn¶‡ •casovou vrstvu p•ri n¶ahrad•e @u@t (x;0) s chybou
O(¿)
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
6 PARCI¶ALN¶I DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 25
(d) Stanovte p•ribli•znou hodnotu •re•sen¶‡ v bod•e A = [0:2;0:2]. U•zijte v¶ysledky z bod”u
(b) a (c).
•Re•sen¶‡:
(a) ’(¡1) = 1;fi(0) = 1; ’(1) = 1;fl(0) = 1
ˆ(¡1) = 0; _fi(0) = 0; ˆ(1) = 0; _fl(0) = 0
(b) ¿ = 0:1
(c) U
(1)
i ¡U
(0)
i
¿ = ˆ(xi) =) U
(1)
i = ’(xi) +¿ˆ(xi)
(d) u(0:2;0:2) := 0:3042
3. Je d¶ana sm¶‡•sen¶a ¶uloha
@2u
@t2 = 4
@2u
@x2 +x
u(x;0) = x(x¡1) ; @u@t(x;0) = (1¡x)2 pro x 2h0;1i
u(0;t) = sint ; u(1;t) = 0 pro t 2h0;1)
(a) Pro explicitn¶‡ metodu volte h = 0:2. Ur•cete ¿ tak, aby byla spln•ena podm¶‡nka
stability a bod A = [0:4;0:2] byl uzlem s¶‡t•e
(b) Stanovte p•ribli•znou hodnotu •re•sen¶‡ v bod•e A. Pro prvn¶‡ •casovou vrstvu u•zijte
n¶ahradu s chybou O(¿).
•Re•sen¶‡:
(a) ¿ = 0:1
(b) u(0:4;0:2) := ¡0:076
4. Je d¶ana sm¶‡•sen¶a ¶uloha
@2u
@t2 =
1
4
@2u
@x2 + 2x
u(x;0) = 1¡x2 ; @u@t(x;0) = 0 pro x 2h1;2i
u(1;t) = 0 ; u(2;t) = ¡3t2 + 1 pro t 2h0;1)
(a) Pro explicitn¶‡ metodu volte h = 0:25. Ur•cete ¿ tak, aby byla spln•ena podm¶‡nka
stability a bod A = [1:5;1] byl uzlem s¶‡t•e
(b) Stanovte p•ribli•znou hodnotu •re•sen¶‡ v bod•e A. Pro prvn¶‡ •casovou vrstvu u•zijte
n¶ahradu s chybou O(¿).
•Re•sen¶‡:
(a) ¿ = 0:5
(b) u(1:5;1) := ¡58
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
6 PARCI¶ALN¶I DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 26
5. Je d¶ana sm¶‡•sen¶a ¶uloha
@2u
@t2 = 4
@2u
@x2 + 2x
u(x;0) = 2x2 ; @u@t(x;0) = (1¡x)sin …2x pro x 2h¡1;1i
u(¡1;t) = aebt ; u(1;t) = 2 pro t ‚ 0
(a) Ur•cete hodnoty a;b tak, aby byly spln•eny podm¶‡nky souhlasu
(b) Odvod’te vzorec pro n¶ahradu •re•sen¶‡ v 1.•casov¶e vrstv•e s chybou O(¿)
(c) Pro explicitn¶‡ metodu volte h = 0:2. Ur•cete ¿ tak, aby byla spln•ena podm¶‡nka
stability a bod A = [0:8;0:15] byl uzlem s¶‡t•e
(d) V kter¶e •casov¶e vrstv•e le•z¶‡ bod A?
•Re•sen¶‡:
(a) a = 2, b = ¡1
(b) U
(1)
i ¡U
(0)
i
¿ = ˆ(xi) =) U
(1)
i = ’(xi) +¿ˆ(xi)
(c) ¿ = 0:075
(d) A = [0:8;0:15] le•z¶‡ ve 2.vrstv•e.
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
Vloženo: 25.04.2009
Velikost: 258,37 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu 2011049NMA - Numerická matematika
Reference vyučujících předmětu 2011049NMA - Numerická matematika
Podobné materiály
- 2011049NMA - Numerická matematika - Numera
- 2011066MA3 - Matematika III. - Vyřešené příklady
- 2011066MA3 - Matematika III. - Vyřešené zkouškové příklady 03-04
- 2021022FY2 - Fyzika II. - Příklady ke zkoušce
- 2021022FY2 - Fyzika II. - Zkouskove priklady
- 2011049NMA - Numerická matematika - Zkouškové příklady 1
- 2011056MA1 - Matematika I. - Vybrané příklady ze skript ke zkoušce 2006-2008
- 2011056MA1 - Matematika I. - Vybrané příklady ze skript ke zkoušce Riemanův integrál 2006-2008
- 2131512 - Části a mechanismy strojů I. - Zkouškové příklady 1
- 2011066MA3 - Matematika III. - Příklady na cvičení
- 2121023TM - Termomechanika - Příklady na cvičení
- 2131512 - Části a mechanismy strojů I. - Skripta Casti stroju a mechanismy strojů příklady
- 2132001 - Strojírenské konstruování I. - Příklady vedení řezů na součástech
- 2141504 - Elektrické obvody a elektronika - Skripta Příklady z elektrotechniky a elektroniky
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Skripta Mechanika I řešené příklady
- 2371547 - Automatické řízení - Skripta Příklady a návody z automatického řízení
- 2121023TM - Termomechanika - Rešené příklady u zkoušek
- 2011066MA3 - Matematika III. - Matematika III - Řešené příklady
- 2011062 - Matematika II - Řešené příklady
Copyright 2024 unium.cz