- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál) Stanovte hodnotu spline funkce s(x) v bod•e x = ¡0:5
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
4 INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKC¶I 10
•Re•sen¶‡:
(a) = 173
(b) s(¡0:5) = 236
4.2 Aproximace metodou nejmen•s¶‡ch •ctverc”u
1. Je d¶ana tabulka hodnot
xi -1 0 0 1 2 3
yi 1.6 1.4 1.8 2.1 2.5 2.7
(a) Vysv•etlete princip metody nejmen•s¶‡ch •ctverc”u p•ri aproximaci dan¶e tabulky hodnot
polynomem nejv¶y•se 1. stupn•e
(b) Odvod’te obecn•e soustavu norm¶aln¶‡ch rovnic pro p•r¶‡pad (a)
(c) Sestavte soustavu norm¶aln¶‡ch rovnic pro v¶y•se uvedenou tabulku hodnot
•Re•sen¶‡:
(a) Nal¶ezt polynom p⁄1(x) = a0 + a1x tak, aby kvadratick¶a odchylka –2(p⁄1) = Pki=1(p⁄1(xi)¡yi)2
byla minim¶aln¶‡ na t•r¶‡d•e polynom”u 1. stupn•e.
(b) Z nutn¶ych podm¶‡nek pro existenci lok¶aln¶‡ho minima odchylky –(p⁄1) p•r¶‡mo plyne n¶asleduj¶‡c¶‡ sous-
tava norm¶aln¶‡ch rovnic pro koeflcienty a0;a1 polynomu p⁄1(x)
a0
kX
i=1
1 +a1
kX
i=1
xi =
kX
i=1
yi
a0
kX
i=1
xi +a1
kX
i=1
x2i =
kX
i=1
xiyi
(c) Pro danou tabulku hodnot [xi;yi] dostaneme soustavu
6a0 + 5a1 = 12:1
5a0 + 15a1 = 13:6
V¶ysledn¶y polynom m¶a pak tvar p⁄1(x) = 1:74615 + 0:32462x
2. Je d¶ana tabulka hodnot
xi 0 0.5 1 1 1.5 2
yi -0.9 0 0.9 0.9 2 3.1
(a) Ur•cete polynom p⁄1 nejv¶y•se 1. stupn•e, kter¶y ve smyslu metody nejmen•s¶‡ch •ctverc”u
nejl¶epe aproximuje danou tabulku hodnot.
(b) Stanovte odpov¶‡daj¶‡c¶‡ kvadratickou odchylku
•Re•sen¶‡:
(a) p⁄1(x) = ¡1 + 2x
(b) –(p⁄1) = 0:2
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
5 OBY•CEJN¶E DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 11
3. Je d¶ana tabulka hodnot
xi -2 -1 -1 0 0 1 1 2
yi 9.9 4 4.1 0.1 0.2 -2 -2.5 -1.8
(a) Ur•cete polynom p⁄2 nejv¶y•se 2. stupn•e, kter¶y ve smyslu metody nejmen•s¶‡ch •ctverc”u
nejl¶epe aproximuje danou tabulku hodnot.
(b) Stanovte odpov¶‡daj¶‡c¶‡ kvadratickou odchylku
•Re•sen¶‡:
(a) p⁄2(x) = ¡3x+x2
(b) –(p⁄2) = 0:6
4. Je d¶ana tabulka hodnot
xi -2 -1 0 1 2
yi 7 2 -0.5 -2 -0.5
(a) Ur•cete polynom p⁄2 nejv¶y•se 2. stupn•e, kter¶y ve smyslu metody nejmen•s¶‡ch •ctverc”u
nejl¶epe aproximuje danou tabulku hodnot.
(b) Stanovte odpov¶‡daj¶‡c¶‡ kvadratickou odchylku
•Re•sen¶‡:
(a) p⁄2(x) = ¡0:8¡1:9x+x2
(b) –(p⁄2) = 0:4472
5 Oby•cejn¶e diferenci¶aln¶‡ rovnice
5.1 Po•c¶ate•cn¶‡ ¶ulohy
1. Je d¶ana Cauchyova ¶uloha
y0(y¡4) = x+ 3p1¡y y(3) = 2
(a) Zapi•ste oblast G v n¶‡•z jsou spln•eny podm¶‡nky existence a jednozna•cnosti •re•sen¶‡
Cauchyovy ¶ulohy
(b) U•zit¶‡m 1. a 2.modiflkace Eulerovy metody ur•cete p•ribli•zn•e hodnotu y(3:2) s krokem
h = ¡0:2
•Re•sen¶‡:
(a) G = (¡1;1)£(1;4)
(b) 1.modiflkace y(3:2) := 1:796713
2.modiflkace y(3:2) := 1:796742
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
5 OBY•CEJN¶E DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 12
2. Je d¶ana Cauchyova ¶uloha
y00 + y
0
ex ¡1 +ytgx = 1 y(¡1) = 2;y
0(¡1) = ¡3
(a) Zapi•ste interval I jej¶‡ho maxim¶aln¶‡ho •re•sen¶‡
(b) S krokem h = 0:2 ur•cete p•ribli•znou hodnotu y(¡0:8);y0(¡0:8) pomoc¶‡ 2.modi-
flkace Eulerovy metody
•Re•sen¶‡:
(a) I = (¡…2 ;0)
(b) 1.modiflkace y(¡0:8) := 1:38738, y0(¡0:8) := ¡3:40389
2.modiflkace y(¡0:8) := 1:38738, y0(¡0:8) := ¡3:38667
3. Je d¶ana Cauchyova ¶uloha
y000 + 13¡xy0 = px+ 3 y(¡2) = 1;y0(¡2) = 5;y00(¡2) = 2
(a) Zapi•ste interval jej¶‡ho maxim¶aln¶‡ho •re•sen¶‡
(b) S krokem h = 0:2 ur•cete p•ribli•znou hodnotu y(¡1:8);y0(¡1:8);y00(¡1:8) pomoc¶‡
2.modiflkace Eulerovy metody
•Re•sen¶‡:
(a) I = (¡3;3)
(b) 1.modiflkace y(¡1:8) := 2:04, y0(¡1:8) := ¡5:4, y00(¡1:8) := 1:99752
2.modiflkace y(¡1:8) := 2:04, y0(¡1:8) := ¡5:4, y00(¡1:8) := 1:99704
4. Je d¶ana Cauchyova ¶uloha
y00 = xy0 + 1 +py¡3 y(0) = 4;y0(0) = ¡2
(a) Zapi•steoblastvn¶‡•zjsouspln•enypodm¶‡nkyexistenceajednozna•cnosti•re•sen¶‡Cauchy-
ovy ¶ulohy
(b) U•zit¶‡m 1.modiflkace Eulerovy metody ur•cete p•ribli•zn¶e hodnoty y a y0 v bod•e x =
¡0:2 s krokem h = ¡0:2
•Re•sen¶‡:
(a) G = (¡1;1)£(3;1)£(¡1;¡1)
(b) 1.modiflkace y(¡0:2) := 4:4225067, y0(¡0:2) := ¡2:2368782
2.modiflkace y(¡0:2) := 4:4225067, y0(¡0:2) := ¡2:2368766
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
5 OBY•CEJN¶E DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 13
5. Je d¶ana Cauchyova ¶uloha
~y 0 =
ˆ
2x¡y2 + ln(x¡1) + 1
xp4¡y1 ¡1
!
~y(2) =
ˆ
0
¡1
!
(a) Zapi•ste oblast G v n¶‡•z jsou spln•eny podm¶‡nky existence a jednozna•cnosti •re•sen¶‡
Cauchyovy ¶ulohy
(b) U•zit¶‡m 1.modiflkace Eulerovy metody ur•cete p•ribli•zn•e hodnotu •re•sen¶‡ v bod•e x =
2:1 s krokem h = 0:1
•Re•sen¶‡:
(a) G = (1;1)£(¡1;4)£(¡1;1)
(b) 1.modiflkace y1(2:1) := 0:589879, y2(2:1) := ¡0:505674
2.modiflkace y1(2:1) := 0:589766, y2(2:1) := ¡0:506390
6. Je d¶ana Cauchyova ¶uloha
~y 0 =
ˆ
y1 +y2
¡ln xy2 ¡2px+ 4
!
~y(¡2) =
ˆ
1
¡3
!
(a) Zapi•ste oblast G v n¶‡•z jsou spln•eny podm¶‡nky existence a jednozna•cnosti •re•sen¶‡
Cauchyovy ¶ulohy
(b) U•zit¶‡m 1.modiflkace Eulerovy metody ur•cete p•ribli•zn•e hodnotu •re•sen¶‡ v bod•e x =
¡1:5 s krokem h = 0:5
•Re•sen¶‡:
(a) G = h¡4;0)£(¡1;1)£(¡1;0)
(b) 1.modiflkace y1(¡1:5) := ¡0:55287, y2(¡1:5) := ¡4:13854
2.modiflkace y1(¡1:5) := ¡0:55287, y2(¡1:5) := ¡4:13822
7. Je d¶ana Cauchyova ¶uloha
~y 0 =
ˆ
y2 ¡ 2x
1
y1 +y2 lnx
!
~y(1) =
ˆ
1
0
!
(a) Zapi•ste oblast G v n¶‡•z jsou spln•eny podm¶‡nky existence a jednozna•cnosti •re•sen¶‡
Cauchyovy ¶ulohy
(b) U•zit¶‡m 1.modiflkace Eulerovy metody ur•cete p•ribli•zn•e hodnotu •re•sen¶‡ v bod•e x =
1:2 s krokem h = 0:2
•Re•sen¶‡:
(a) G = (0;1)£(0;1)£(¡1;1)
(b) 1.modiflkace y1(1:2) := 0:656363, y2(1:2) := 0:251906
2.modiflkace y1(1:2) := 0:653333, y2(1:2) := 0:270313
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
5 OBY•CEJN¶E DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 14
8. Je d¶ana Cauchyova ¶uloha
~y 0 =
0
B@ y1tgx+y3 ¡2y1 +y2 ln(x+ 1)
y1 + 2y2 ¡ 1x¡2y3
1
CA ~y(1) =
0
B@ ¡11
2
1
CA
(a) Ov•e•rte, •ze Cauchyova ¶uloha m¶a pr¶av•e jedno •re•sen¶‡
(b) Zapi•ste interval I jej¶‡ho maxim¶aln¶‡ho •re•sen¶‡
(c) S krokem h = 0:2 ur•cete p•ribli•znou hodnotu ~y(1:2) pomoc¶‡ Eulerovy metody
•Re•sen¶‡:
(a) Pro jednozna•cnou •re•sitelnost Cauchyovy ¶ulohy po•zadujeme spojitost f a @fi@yj . Tyto podm¶‡nky
jsou spln•eny (mimo jin¶e) pro x 2 (¡1; …2 ) a libovoln¶e y. V t¶eto oblasti le•z¶‡ i zadan¶a po•c¶ate•cn¶‡
podm¶‡nka a proto existuje pr¶av•e jedno •re•sen¶‡ dan¶e Cauchyovy ¶ulohy.
(b) I = (¡1; …2 )
(c) Eulerova metoda y1(1:2) := ¡1:311482, y2(1:2) := 0:938629, y3(1:2) := 2:600000
1.modiflkace y1(1:2) := ¡1:394151, y2(1:2) := 0:912686, y3(1:2) := 2:667689
2.modiflkace y1(1:2) := ¡1:433074, y2(1:2) := 0:912173, y3(1:2) := 2:681578
9. Je d¶ana Cauchyova ¶uloha
~y 0 =
0
B@ y1 +xy3 + 3y1 ¡y2 ln(x+ 4)
y1 +y2 ¡ 1x2¡4y3
1
CA ~y(¡3) =
0
B@ ¡10
2
1
CA
(a) Ov•e•rte, •ze Cauchyova ¶uloha m¶a pr¶av•e jedno •re•sen¶‡
(b) Zapi•ste interval I jej¶‡ho maxim¶aln¶‡ho •re•sen¶‡
(c) Zapi•ste x-ov¶e sou•radnice v•sech bod”u, ve kter¶ych lze hodnoty maxim¶aln¶‡ho •re•sen¶‡
aproximovat numerickou metodou skrokem h = 0:2
(d) S krokem h = 0:2 ur•cete p•ribli•znou hodnotu ~y(¡2:8) pomoc¶‡ Eulerovy metody
•Re•sen¶‡:
(a) Pro jednozna•cnou•re•sitelnost Cauchyovy ¶ulohy po•zadujeme spojitost f a @fi@yj . Tyto podm¶‡nky jsou
spln•eny (mimo jin¶e) pro x > ¡4 x 6= §2 a libovoln¶e y. V jedn¶e z t•echto oblast¶‡ le•z¶‡ i zadan¶a
po•c¶ate•cn¶‡ podm¶‡nka a proto existuje pr¶av•e jedno •re•sen¶‡ dan¶e Cauchyovy ¶ulohy.
(b) I = (¡4;¡2)
(c) xi 2f¡3:8;¡3:6;¡3:4;¡3:2;¡3:0;¡2:8;¡2:6;¡2:4;¡2:2g
(d) Eulerova metoda y1(¡2:8) := ¡1:800000, y2(¡2:8) := ¡0:200000, y3(¡2:8) := 1:720000
1.modiflkace y1(¡2:8) := ¡1:758800, y2(¡2:8) := ¡0:281906, y3(¡2:8) := 1:615646
2.modiflkace y1(¡2:8) := ¡1:761600, y2(¡2:8) := ¡0:283646, y3(¡2:8) := 1:615208
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
5 OBY•CEJN¶E DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 15
5.2 Okrajov¶e ¶ulohy
1. (a) Formulujte Dirichletovu ¶ulohu pro oby•cejnou line¶arn¶‡ diferenci¶aln¶‡ rovnici 2.•r¶adu v
samoadjungovan¶em tvaru
(b) Uved’te podm¶‡nky pro jednozna•cnou •re•sitelnost ¶ulohy (a)
(c) Zd”uvodn•ete, zda jsou posta•cuj¶‡c¶‡ podm¶‡nky spln•eny pro ¶ulohu
¡(xy0)0 + 3¡xx y = ¡ln(2 +x) y(1) = 0;y(2) = ¡4
•Re•sen¶‡:
(a) Nalezn•ete funkci y = y(x) tak aby spl•novala
¡¡p(x)y0¢0 +q(x)y = f(x) x 2 (a;b)
a aby vyhovovala okrajov¶ym podm¶‡nk¶am y(a) = fi, y(b) = fl
(b) Necht’ plat¶‡:
i) q;f 2 C(ha;bi), p 2 C1(ha;bi)
ii) p(x) > 0; q(x) ‚ 0 8x 2ha;bi
Potom existuje pr¶av•e jedno •re•sen¶‡ Dirichletovy ¶ulohy.
(c) Posta•cuj¶‡c¶‡ podm¶‡nky existence a jednozna•cnosti •re•sen¶‡ Dirichletovy ¶ulohy jsou spln•eny pro x 2
(0;3i.
2. Je d¶ana Dirichletova ¶uloha
y00 ¡ 2xy0 + (c¡x)y +x2 = 0 y(2) = ¡1;y(4) = 3
(a) Danou rovnici p•reved’te na samoadjungovan¶y tvar
(b) Ur•cetev•sechnyhodnotyparametruc 2R, pron•e•zjsouspln•enyposta•cuj¶‡c¶‡podm¶‡nky
jednozna•cn¶e •re•sitelnosti Dirichletovy ¶ulohy
(c) Napi•ste prvn¶‡ dv•e rovnice soustavy s¶‡t’ov¶ych rovnic kter¶a vznikne p•ri •re•sen¶‡ dan¶e
¶ulohy metodou s¶‡t¶‡ s krokem h = 0:2 pro c = 1
•Re•sen¶‡:
(a) ¡¡ 1x2 y0¢0 + x¡cx2 y = 1
(b) c 2 (¡1;2i
(c) 0:42571Y1 ¡0:18904Y2 = ¡0:18676
¡0:18904Y1 + 0:35876Y2 ¡0:16Y3 = 0:04
3. Je d¶ana Dirichletova ¶uloha
y00 + xx2 ¡cy0 ¡ ln(cx¡3)px2 ¡c y = 0 y(2) = ¡1;y(4) = 3
(a) Danou rovnici p•reved’te na samoadjungovan¶y tvar
(b) Ur•cetev•sechnyhodnotyparametruc 2R, pron•e•zjsouspln•enyposta•cuj¶‡c¶‡podm¶‡nky
jednozna•cn¶e •re•sitelnosti Dirichletovy ¶ulohy
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
5 OBY•CEJN¶E DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 16
•Re•sen¶‡:
(a) ¡¡px2 ¡cy0¢+ ln(cx¡3)y = 0
(b) c 2h2;4)
4. Je d¶ana rovnice
y00 + 14¡xy0 + (x¡4)ln(2¡x2)y = 1x+ 2
(a) Stanovte maxim¶aln¶‡ intervaly, na nich•z lze danou rovnici p•rev¶est na samoadjungo-
van¶y tvar
(b) Ur•cete maxim¶aln¶‡ interval ha;bi na kter¶em jsou spln•eny posta•cuj¶‡c¶‡ podm¶‡nky ex-
istence a jednozna•cnosti •re•sen¶‡ Dirichletovy ¶ulohy pro danou rovnici s okrajov¶ymi
podm¶‡nkami y(a) = 0;y(b) = 0
•Re•sen¶‡:
(a) x 2¡¡p2;p2¢
(b) ha;bi·h¡1;1i
5. Je d¶ana Dirichletova ¶uloha
y00 ¡ 4x2 ¡4y = 1 y(3) = 0;y(5) = ¡1
(a) Ov•e•rte, •ze ¶uloha m¶a pr¶av•e jedno •re•sen¶‡
(b) Odvod’te soustavu s¶‡t’ov¶ych rovnic, kter¶a vznikne p•ri •re•sen¶‡ dan¶e ¶ulohy metodou
s¶‡t¶‡ s krokem h = 0:5
(c) Napi•ste prvn¶‡ dv•e rovnice soustavy s¶‡t’ov¶ych rovnic
•Re•sen¶‡:
(a) h3;5i‰ (2;1) =)9!•re•sen¶‡
(b) Yi¡1 ¡
‡
2 + 1x2
i¡4
·
Yi +Yi+1 = 14 i = 1;2;3
(c) 7033Y1 ¡Y2 = ¡14
¡Y1 + 2512Y2 ¡Y3 = ¡14
6. Je d¶ana Dirichletova ¶uloha
y00 ¡tgxy0 ¡ x
2
cosxy =
x+ 1
cosx y(¡1) = 1;y(1) = 0
(a) Ov•e•rte, •ze jsou spln•eny posta•cuj¶‡c¶‡ podm¶‡nky jednozna•cn¶e •re•sitelnosti dan¶e ¶ulohy
(b) Napi•ste prvn¶‡ dv•e rovnice soustavy s¶‡t’ov¶ych rovnic kter¶a vznikne p•ri •re•sen¶‡ dan¶e
¶ulohy metodou s¶‡t¶‡ s krokem h = 0:2
•Re•sen¶‡:
(a) ¡¡cosxy0¢0 +x2y = ¡(x+ 1) p > 0 ) x 2¡¡ …2; …2¢ h¡1;1i
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
6 PARCI¶ALN¶I DIFERENCI¶ALN¶I ROVNICE 17
(b) 1:412052Y1 ¡0:764842Y2 = 0:613610
¡0:764842Y1 + 1:656825Y2 ¡0:877583Y3 = ¡0:016
7. Je d¶ana rovnice
y00 + 2xy0 ¡ x2 +xy = 1x¡3
(a) Ur•cete intervaly maxim¶aln¶‡ho •re•sen¶‡ Cauchyovy ¶ulohy pro danou rovnici
(b) Ov•e•rte, •ze jsou spln•eny posta•cuj¶‡c¶‡ podm¶‡nky jednozna•cn¶e •re•sitelnosti Dirichletovy
¶ulohy pro danou rovnici s okrajov¶ymi podm¶‡nkami y(¡5) = ¡2;y(¡3) = 0
(c) Napi•ste prvn¶‡ dv•e rovnice soustavy s¶‡t’ov¶ych rovnic kter¶a vznikne p•ri •re•sen¶‡ dan¶e
¶ulohy metodou s¶‡t¶‡ s krokem h = 0:4
•Re•sen¶‡:
(a) I1 = (¡1;¡2); I2 = (¡2;0); I3 = (0;3); I4 = (3;1)
(b) ¡¡x2y0¢0 + x32+xy = ¡ x2x¡3
p > 0 8x, x 2h¡5;¡3i) q ‚ 0
(c) 48:389908Y1 ¡19:360000Y2 = ¡45:634526
¡19:360000Y1 + 40:748218Y2 ¡16:000000Y3 = 0:445474
6 Parci¶aln¶‡ diferenci¶aln¶‡ rovnice
1. (a) Zapi•ste line¶arn¶‡ parci¶aln¶‡ diferenci¶aln¶‡ rovnici 2.•r¶adu
(b) Ur•cete typ rovnice
(x+y)@
2u
@x2 + 2
@2u
@x@y + (x¡y)
@2u
@y2 ¡
@u
@x ¡2u = 0
v oblasti D = f[x;y] 2 E2 : x > py2 + 1g
•Re•sen¶‡:
(a) a(x;y)@2u@x2 +b(x;y) @2u@x@y +c(x;y)@2u@y2 +d(x;y)@u@x +e(x;y)@u@y +g(x;y)u = f(x;y)
(b) Rovnice je eliptick¶a v D
6.1 Eliptick¶e rovnice
1. (a) Odvod’tediferen•cn¶‡schemapro•re•sen¶‡Poissonovyrovnicemetodous¶‡t¶‡vregul¶arn¶‡ch
uzlech
(b) Uka•zte, •ze pro dostate•cn•e hladkou funkci y = y(x) je v¶yraz 1h2 (yi+1 ¡2yi +yi¡1)
aproximac¶‡ y00(xi) 2.•r¶ad
Vloženo: 25.04.2009
Velikost: 258,37 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu 2011049NMA - Numerická matematika
Reference vyučujících předmětu 2011049NMA - Numerická matematika
Podobné materiály
- 2011049NMA - Numerická matematika - Numera
- 2011066MA3 - Matematika III. - Vyřešené příklady
- 2011066MA3 - Matematika III. - Vyřešené zkouškové příklady 03-04
- 2021022FY2 - Fyzika II. - Příklady ke zkoušce
- 2021022FY2 - Fyzika II. - Zkouskove priklady
- 2011049NMA - Numerická matematika - Zkouškové příklady 1
- 2011056MA1 - Matematika I. - Vybrané příklady ze skript ke zkoušce 2006-2008
- 2011056MA1 - Matematika I. - Vybrané příklady ze skript ke zkoušce Riemanův integrál 2006-2008
- 2131512 - Části a mechanismy strojů I. - Zkouškové příklady 1
- 2011066MA3 - Matematika III. - Příklady na cvičení
- 2121023TM - Termomechanika - Příklady na cvičení
- 2131512 - Části a mechanismy strojů I. - Skripta Casti stroju a mechanismy strojů příklady
- 2132001 - Strojírenské konstruování I. - Příklady vedení řezů na součástech
- 2141504 - Elektrické obvody a elektronika - Skripta Příklady z elektrotechniky a elektroniky
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Skripta Mechanika I řešené příklady
- 2371547 - Automatické řízení - Skripta Příklady a návody z automatického řízení
- 2121023TM - Termomechanika - Rešené příklady u zkoušek
- 2011066MA3 - Matematika III. - Matematika III - Řešené příklady
- 2011062 - Matematika II - Řešené příklady
Copyright 2024 unium.cz