- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálOBSAH 0
Obsah
1 Opakov¶an¶‡ z line¶arn¶‡ algebry 1
2 Numerick¶e •re•sen¶‡ soustav line¶arn¶‡ch algebraick¶ych rovnic 2
2.1 P•r¶‡m¶e metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Itera•cn¶‡ metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Soustavy neline¶arn¶‡ch rovnic 7
4 Interpolace a aproximace funkc¶‡ 8
4.1 Interpolace kubick¶ymi spline-funkcemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Aproximace metodou nejmen•s¶‡ch •ctverc”u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Oby•cejn¶e diferenci¶aln¶‡ rovnice 11
5.1 Po•c¶ate•cn¶‡ ¶ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 Okrajov¶e ¶ulohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Parci¶aln¶‡ diferenci¶aln¶‡ rovnice 17
6.1 Eliptick¶e rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.2 Parabolick¶e rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.3 Hyperbolick¶e rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
1 OPAKOV¶AN¶I Z LINE¶ARN¶I ALGEBRY 1
1 Opakov¶an¶‡ z line¶arn¶‡ algebry
1. Pro dan¶e vektory ~x = (1;0;2)T;~y = (0;5;3)T ur•cete
(a) k~x¡~ykm
(b) k~x+~yk‘
(c) k~x£~ykE
•Re•sen¶‡:
(a) k~x¡~ykm = 5
(b) k~x+~yk‘ = 11
(c) k~x£~ykE = p134 := 11:5758
2. Pro dan¶e vektory ~u = (1;2;3)T;~v = (3;2;1)T ur•cete
(a) k3~u¡~vkm
(b) k2~u+ 3~vk‘
(c) k~u£2~vkE
•Re•sen¶‡:
(a) k3~u¡~vkm = 8
(b) k2~u+ 3~vk‘ = 30
(c) k~u£2~vkE = p384 := 19:5959
3. Pro danou matici
A =
ˆ
1 5
2 4
!
ur•cete
(a) kAkm, kAk‘,kAkE
(b) (A);‰(A)
•Re•sen¶‡:
(a) kAkm = 6, kAk‘ = 9, kAkE = p46 := 6:7823
(b) ‚1 = 6;‚2 = ¡1, ‰(A) = 6
4. Pro danou matici
B =
ˆ
0 1
¡2 2
!
ur•cete
(a) kBkm, kBk‘,kBkE
(b) (B);‰(B)
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
2 NUMERICK¶E •RE•SEN¶I SOUSTAV LINE¶ARN¶ICH ALGEBRAICK¶YCH ROVNIC 2
•Re•sen¶‡:
(a) kBkm = 4, kBk‘ = 3, kBkE = 3
(b) ‚1 = 1 + i;‚2 = 1¡i, ‰(B) = p2
5. Pro danou matici
C =
0
B@ 2 ¡1 ¡10 ¡1 0
0 2 1
1
CA
ur•cete
(a) kCkm, kCk‘,kCkE
(b) (C);‰(C)
•Re•sen¶‡:
(a) kCkm = 4, kCk‘=4, kCkE = p12 := 3:4641
(b) ‚1 = 2;‚2 = 1;‚3 = ¡1, ‰(C) = 2
6. Pro danou matici
D =
0
B@ 2 1 01 3 ¡1
¡1 2 3
1
CA
ur•cete
(a) kDkm, kDk‘,kDkE
(b) (D);‰(D)
•Re•sen¶‡:
(a) kDkm = 6, kDk‘=6, kDkE = p30 := 5:4772
(b) ‚1 = 2;‚2 = 3 + i;‚3 = 3¡i, ‰(D) = p10
2 Numerick¶e •re•sen¶‡ soustav line¶arn¶‡ch algebraick¶ych rovnic
2.1 P•r¶‡m¶e metody
1. Je d¶ana soustava line¶arn¶‡ch algebraick¶ych rovnic A~x =~b, kde
A =
0
BB
BB
B@
a1;1 a1;2 ::: a1;n
a2;1 a2;2 ::: ...
... ... ... ...
an;1 ::: ::: an;n
1
CC
CC
CA
~b =
0
BB
BB
@
b1
b2
...
bn
1
CC
CC
A
Pro prvky matice A plat¶‡ ai;j 6= 0 ,ji¡jj• 1 i;j = 1;:::;n
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
2 NUMERICK¶E •RE•SEN¶I SOUSTAV LINE¶ARN¶ICH ALGEBRAICK¶YCH ROVNIC 3
(a) Popi•ste algoritmus Gaussovy eliminace modiflkovan¶y pro •re•sen¶‡ uveden¶e soustavy
(b) Odvod’te pot•rebn¶e vzorce
•Re•sen¶‡:
(a) ????????????
(b) ????????????
2.2 Itera•cn¶‡ metody
1. Zjist•ete, zda soustavu rovnic ~x = U~x+~v, kde
U =
ˆ
0:3 0:4
¡0:7 ¡0:8
!
~v =
ˆ
1
3
!
lze •re•sit prostou itera•cn¶‡ metodou. V kladn¶em p•r¶‡pad•e ur•cete ~x(1), ~x(2) touto metodou
p•ri volb•e ~x(0) =~0
•Re•sen¶‡:
kUkm = 1:5;kUk‘ = 1:2;kUkE = 1:174
(U) = f‚1 = ¡0:1;‚2 = ¡0:4g =) ‰(U) = 0:4 =) lze pou•z¶‡t prostou itera•cn¶‡ metodu
~x(1) = ~v = (1;3)T;~x(2) = (2:5;¡0:1)T
2. Zjist•ete, zda soustavu rovnic ~x = U~x+~v, kde
U =
0
B@ ¡0:7 0 1¡0:5 0:4 1
¡0:5 0 ¡0:5
1
CA ~v =
0
B@ 2:72:7
¡1
1
CA
lze •re•sit prostou itera•cn¶‡ metodou. V kladn¶em p•r¶‡pad•e ur•cete ~x(1), ~x(2) touto metodou
p•ri volb•e ~x(0) =~0
•Re•sen¶‡:
kUkm = 1:9;kUk‘ = 2:5;kUkE = 1:844
(U) = f‚1 = 0:4;‚2 = ¡0:6+0:7i;‚2 = ¡0:6¡0:7ig =) ‰(U) = p0:85 < 1 =) lze pou•z¶‡t prostou
itera•cn¶‡ metodu
~x(1) = ~v = (2:7;2:7;¡1)T;~x(2) = (¡0:19;1:43;¡1:85)T
3. Je d¶ana soustava rovnic ~x = U~x+~v, kde
U =
ˆ
¡0:8 0:15
1 +p ¡0:6
!
~v =
ˆ
1
p
!
(a) Ur•cete v•sechna p 2R, pro n•e•z je spln•ena posta•cuj¶‡c¶‡ podm¶‡nka konvergence prost¶e
itera•cn¶‡ metody pro danou soustavu.
(b) Pro p = ¡1:3 ur•cete ~x(1), ~x(2) touto metodou p•ri volb•e ~x(0) =
ˆ
1
2
!
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
2 NUMERICK¶E •RE•SEN¶I SOUSTAV LINE¶ARN¶ICH ALGEBRAICK¶YCH ROVNIC 4
(c) Odhadn•ete k~x⁄ ¡~x(2)k, kde ~x⁄ je p•resn¶e •re•sen¶‡ soustavy
•Re•sen¶‡:
(a) p 2 (¡1:4;¡0:6)
(b) ~x(1) = (¡0:5;¡2:8)T, ~x(2) = (0:18;0:23)T
(c) k~x⁄ ¡~x(2)km • 57:57
4. Je d¶ana soustava rovnic ~x = U~x+~v, kde
U =
ˆ
p ¡0:4
0:9 p
!
~v =
ˆ
10
5
!
(a) Ur•cete v•sechna p 2 R, pro n•e•z je spln•ena fi) nutn¶a a posta•cuj¶‡c¶‡ podm¶‡nka a fl)
posta•cuj¶‡c¶‡ podm¶‡nka konvergence prost¶e itera•cn¶‡ metody pro danou soustavu.
(b) Pro p = 0 ur•cete ~x(1), ~x(2) touto metodou p•ri volb•e ~x(0) = ~v
(c) Ur•cete k~x(1) ¡~x(2)km
•Re•sen¶‡:
(a) fi) (U) = f‚1;2 = p§0:6ig =)jpj < 0:8
fl) kUkm < 1 =)jpj < 0:1
kUk‘ < 1 =)jpj < 0:1
kUkE < 1 =)jpj < 0:1225
(b) ~x(1) = (8;14)T;~x(2) = (¡5:6;7:2)T
(c) k~x(1) ¡~x(2)km = 13:6
5. Je d¶ana soustava rovnic ~x = A~x+~b, kde
A =
0
B@ fi 0 ¡1¡0:5 ¡0:4 1
0:5 0 fi
1
CA ~b =
0
B@ 11
¡1
1
CA
(a) Ur•cete v•sechna fi 2 R, pro n•e•z je spln•ena nutn¶a a posta•cuj¶‡c¶‡ podm¶‡nka konver-
gence prost¶e itera•cn¶‡ metody pro danou soustavu.
(b) Pro fi = 0:5 ur•cete ~x(1), ~x(2) touto metodou p•ri volb•e ~x(0) =~0
•Re•sen¶‡:
(a) fi 2 (¡ 1p2; 1p2)
(b) ~x(1) = (1;1;¡1)T, ~x(2) = (2:5;¡0:9;¡1)T
6. Je d¶ana soustava rovnic ~x = R~x+~s, kde
R =
0
B@ 0:1 t+ 1 ¡0:30:4 ¡0:3 0:1
0:6 0:1 t+ 0:5
1
CA ~s =
0
B@ 1:7¡1:8
0:5
1
CA
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
2 NUMERICK¶E •RE•SEN¶I SOUSTAV LINE¶ARN¶ICH ALGEBRAICK¶YCH ROVNIC 5
(a) Ur•cete v•sechna t 2R, pro n•e•z je spln•ena posta•cuj¶‡c¶‡ podm¶‡nka konvergence prost¶e
itera•cn¶‡ metody pro danou soustavu.
(b) Pro t = ¡0:5 ur•cete ~x(1), ~x(2) touto metodou p•ri volb•e ~x(0) =~0
(c) Vypo•ct•ete k~x(2) ¡~x(1)km
•Re•sen¶‡:
(a) kRkm < 1 =) t 2 (¡0:4;¡0:8)
(b) ~x(1) = ~s = (1:7;¡1:8;0:5)T;~x(2) = (¡0:88;1:27;0:84)T
(c) k~x(1) ¡~x(2)km = 3:07
7. Je d¶ana soustava rovnic P~x = ~q, kde
P =
0
B@ 2 1 ¡11 2 0
¡1 0 3
1
CA ~q =
0
B@ ¡20
3
1
CA
(a) Uka•zte, •ze pro danou soustavu konverguje Jacobiho i Gauss-Seidelova itera•cn¶‡
metoda.
(b) Ur•cete ~x(1), ~x(2) u•zit¶‡m Jacobiho metody p•ri volb•e ~x(0) =~0
(c) Vypo•ct•ete k~x(2) ¡~x(1)km
•Re•sen¶‡:
(a) P je symetrick¶a a pozitivn•e deflnitn¶‡, ‰(UJ) =
p 5
12
(b) ~x(1) = (¡1;0;1)T, ~x(2) = (¡0:5;0:5;0:66667)T
(c) k~x(2) ¡~x(1)km = 0:5
8. Je d¶ana soustava rovnic F~x = ~g, kde
F =
0
B@ 1 ¡11 1 0
¡1 0 3
1
CA ~g =
0
B@ 43
¡5
1
CA
Ur•cete v•sechna 2R, pro n•e•z je spln•ena
(a) N•ekter¶a z posta•cuj¶‡c¶‡ch podm¶‡nek konvergence (pro matici F ne UG)
(b) Nutn¶a a posta•cuj¶‡c¶‡ podm¶‡nka konvergence Gauss-Seidelovy itera•cn¶‡ metody.
(c) Pro = 2 ur•cete ~x(1), ~x(2) touto metodou p•ri volb•e ~x(0) =~0
•Re•sen¶‡:
(a) > 43
(b) j j > 43
(c) ~x(1) = (2;1;¡1)T, ~x(2) = (1;2;¡1:33333)T
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
2 NUMERICK¶E •RE•SEN¶I SOUSTAV LINE¶ARN¶ICH ALGEBRAICK¶YCH ROVNIC 6
9. Je d¶ana soustava rovnic G~x =~h, kde
G =
0
B@ 1 0 10 ’2 1
3 1 4
1
CA ~h =
0
B@ 14
1
1
CA
(a) Ur•cete v•sechna ’ 2 R, pro kter¶a konverguje Gauss-Seidelova itera•cn¶‡ metoda pro
danou soustavu
(b) Pro ’ = ¡2 ur•cete ~x(1) touto metodou p•ri volb•e ~x(0) =~h
•Re•sen¶‡:
(a) ’ 2f(¡1;¡1)U(1;1)g
(b) ~x(1) = (0;0:75;0:0625)T
10. Je d¶ana soustava rovnic T~x = ~w, kde
T =
0
B@ 1 1 0¡0:5 1 1
0:5 +s2 ¡0:5 1
1
CA ~w =
0
B@ 42
¡1
1
CA
(a) Uka•zte, •ze Gauss-Seidelova pro danou soustavu konverguje pr¶av•e tehdy, kdy•z jsj <
1p
2, kde s 2R
(b) Pro s = 0 ur•cete ~x(1), ~x(2) touto metodou p•ri volb•e ~x(0) =~0
•Re•sen¶‡:
(a) (T) =
n
‚1 = 0;‚2 = „‚3 = ¡1§i
p
4s2+1
2
o
=)jsj < 1p2
(b) ~x(1) = (4;4;1)T;~x(2) = (8;7;¡1:5)T
11. Je d¶ana soustava rovnic C~x = ~d, kde
C =
0
B@ 1 ¡10 fl¡1 5 0
2 0 2
1
CA ~d =
0
B@ 12fl
3
1
CA
(a) Ur•cete mno•zinu B v•sech parametr”u fl 2 R, pro n•e•z lze k •re•sen¶‡ soustavy u•z¶‡t
Jacobiho itera•cn¶‡ metodu.
(b) Pro fl = ¡2 ur•cete ~x(1), ~x(2) touto metodou p•ri volb•e ~x(0) = ~d
•Re•sen¶‡:
(a) fl 2 (¡3;¡1)
(b) ~x(1) = (33;¡0:6;0:5)T;~x(2) = (¡4;¡7:4;34:5)T
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
3 SOUSTAVY NELINE¶ARN¶ICH ROVNIC 7
3 Soustavy neline¶arn¶‡ch rovnic
1. Ur•cete graflcky p•ribli•znou polohu v•sech ko•ren”u soustavy
(a) x24 +y2 = 1, y = 2cos(…x)
(b) x = y(1+x)2 , y = 1¡x25
(c) 1x ¡y2 = 0, 2x2 +y = 4
(d) y = 1 +e¡x, 4¡x2 ¡y = 0
•Re•sen¶‡:
(a)
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
y
x
(b)
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
y
x
(c)
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
y
x
(d)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y
x
2. Je d¶ana soustava rovnic
x2
4 +y
2 = 1 y = 2cos(…x)
(a) Pro jeden z ko•ren”u ~x⁄ le•z¶‡ch ve 3. kvadrantu volte ~x(0) = (¡0:5;¡1)T a vypo•ct•ete
~x(1) Newtonovou metodou
(b) Ur•cete k~x(1) ¡~x(0)k‘
•Re•sen¶‡:
(a) ~x(1) = (¡0:651174;¡0:949853)T
(b) k~x(1) ¡~x(0)k‘ = 0:201321
3. Je d¶ana soustava rovnic 1
2x ¡y = 0 x
2 + 4y2 = 4
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
4 INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKC¶I 8
(a) Ur•cete graflcky p•ribli•znou polohu v•sech ko•ren”u soustavy
(b) Volte ~x(0) = (1;0)T a vypo•ct•ete ~x(1) Newtonovou metodou
(c) Ur•cete k~x(1) ¡~x(0)k‘
•Re•sen¶‡:
(a)
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
y
x
(b) ~x(1) = (2:5;¡0:25)T
(c) k~x(1) ¡~x(0)k‘ = 2:75
4 Interpolace a aproximace funkc¶‡
4.1 Interpolace kubick¶ymi spline-funkcemi
1. (a) Napi•ste deflnici kubick¶e interpola•cn¶‡ spline funkce s(x) v intervalu ha;bi 2 E1 s
uzly a = x0 < x1 < ::: < xk = b a s hodnotami s(xi) = yi i = 0;1;:::;k
(b) Za p•redpokladu, •ze zn¶ate hodnoty s00(xi) = s00i i = 0;1;:::;k, odvod’te vztahy
pro v¶ypo•cet koeflcient”u spline funkce v jednotliv¶ych intervalech.
•Re•sen¶‡:
(a) s(x) 2C2(ha;bi)
s(x) = ai(x¡xi)3 +bi(x¡xi)2 +ci(x¡xi) +di pro x 2hxi;xi+1i i = 0;1;:::;k¡1
s(xi) = yi i = 0;1;:::;k
(b)
ai = 16hi (s00i+1 ¡s00i )
bi = s00i2
ci = 1hi (yi+1 ¡yi)¡ hi6 (s00i+1 + 2s00i )
di = yi
9
>>=
>>; i = 0;1;:::;k¡1
2. (a) Zapi•stetvarinterpola•cn¶‡kubick¶esplinefunkces(x) dan¶etabulkouhodnot [xi;yi]; i =
1;:::;n na intervalu hxi;xi+1i
(b) Odvod’te vzorce pro koeflcienty polynomu z (a), jsou li zn¶amy hodnoty xi;yi;s00i a
xi+1;yi+1;s00i+1
•Re•sen¶‡:
(a) s(x) 2C2(ha;bi)
s(x) = ai(x¡xi)3 +bi(x¡xi)2 +ci(x¡xi) +di pro x 2hxi;xi+1i i = 0;1;:::;k¡1
s(xi) = yi i = 0;1;:::;k
Preliminary version { May 27, 2001 { 21:29
4 INTERPOLACE A APROXIMACE FUNKC¶I 9
(b)
ai = 16hi (s00i+1 ¡s00i )
bi = s00i2
ci = 1hi (yi+1 ¡yi)¡ hi6 (s00i+1 + 2s00i )
di = yi
9>
>=
>>; i = 0;1;:::;k¡1
3. Je d¶ana funkce
s(x) =
(
¡2(x+ 1)3 +b0(x+ 1)2 +c0(x+ 1) +d0 pro x 2h¡1;0i
a1x3 +b1x2 +c1x pro x 2h0;2i
(a) Ur•cete b0;c0;d0;a1;b1;c1;fi;fl 2Rtak, aby funkce s(x) byla p•rirozen¶ym kubick¶ym
interpola•cn¶‡m splinem funkce y = f(x) dan¶e tabulkou hodnot
xi -1 0 2
yi fi fl 0
(b) Nakreslete graf s00(x);s000(x) x 2h¡1;2i
(c) Ur•cete p•ribli•zn•e hodnotu f(0:2), f0(0:2), f00(0:2)
•Re•sen¶‡:
(a) c0 = 14, d0 = ¡12, a1 = 1, b1 = ¡6, c1 = 8, fi = ¡12, fl = 0
(b) ????????????
(c) f(0:2) := s(0:2) = 1:368, f0(0:2) := s0(0:2) = 5:72, f000(0:2) := s000(0:2) = ¡10:8
4. Ur•cete a1;fi;fl; a funkci s0(x) tak, aby funkce
s(x) =
(
s0(x) pro x 2h1;2i
a1(x¡2)3 ¡6(x¡2)2 + 2(x¡2) pro x 2h2;4i
byla p•rirozen¶ym kubick¶ym interpola•cn¶‡m splinem funkce y = f(x) dan¶e tabulkou hodnot
xi 1 2 4
yi fi fl
•Re•sen¶‡: a1 = 1; fi = ¡6; fl = 0; = ¡12
s0(x) = ¡2(x¡1)3 + 8(x¡1)¡6
5. Je d¶ana tabulka hodnot funkce y = f(x) a druh¶e derivace s00(x) jej¶‡ interpola•cn¶‡ kubick¶e
spline funkce s(x) v bod•e x = ¡0:5.
xi -2 -1 0
yi 2 3
s00(xi) 2 0 8
(a) Ur•cete hodnotu
(b
Vloženo: 25.04.2009
Velikost: 258,37 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu 2011049NMA - Numerická matematika
Reference vyučujících předmětu 2011049NMA - Numerická matematika
Podobné materiály
- 2011049NMA - Numerická matematika - Numera
- 2011066MA3 - Matematika III. - Vyřešené příklady
- 2011066MA3 - Matematika III. - Vyřešené zkouškové příklady 03-04
- 2021022FY2 - Fyzika II. - Příklady ke zkoušce
- 2021022FY2 - Fyzika II. - Zkouskove priklady
- 2011049NMA - Numerická matematika - Zkouškové příklady 1
- 2011056MA1 - Matematika I. - Vybrané příklady ze skript ke zkoušce 2006-2008
- 2011056MA1 - Matematika I. - Vybrané příklady ze skript ke zkoušce Riemanův integrál 2006-2008
- 2131512 - Části a mechanismy strojů I. - Zkouškové příklady 1
- 2011066MA3 - Matematika III. - Příklady na cvičení
- 2121023TM - Termomechanika - Příklady na cvičení
- 2131512 - Části a mechanismy strojů I. - Skripta Casti stroju a mechanismy strojů příklady
- 2132001 - Strojírenské konstruování I. - Příklady vedení řezů na součástech
- 2141504 - Elektrické obvody a elektronika - Skripta Příklady z elektrotechniky a elektroniky
- 2311101ME1 - Mechanika I. - Skripta Mechanika I řešené příklady
- 2371547 - Automatické řízení - Skripta Příklady a návody z automatického řízení
- 2121023TM - Termomechanika - Rešené příklady u zkoušek
- 2011066MA3 - Matematika III. - Matematika III - Řešené příklady
- 2011062 - Matematika II - Řešené příklady
Copyright 2023 unium.cz. Abychom mohli web rozvíjet a dále vylepšovat podle preferencí uživatelů, shromažďujeme statistiky o návštěvnosti, a to pomocí Google Analytics a Netmonitor. Tyto systémy pro unium.cz zaznamenávají, které stránky uživatel na webové stránce navštívil, odkud se na stránku dostal, kam z ní odešel, jaké používá zařízení, operační systém či prohlížeč, či jaký má preferenční jazyk. Statistiky jsou anonymní, takže unium.cz nezná identitu návštěvníka a spravuje cookies tak, že neumožňuje identifikovat konkrétní osoby. Používáním webu vyjadřujete souhlas použitím cookies a následujících služeb: