- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Návod
01MAB4 - Matematická analýza
Hodnocení materiálu:
Vyučující: Mgr. Milan Krbálek
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálNávody na ˇrešení
zkouškových písemek z pˇredmˇetu MAB4
[1.] (8 bod˚u)
Vyšetˇrete všechny lokální extrémy funkce f(x;y;z) = cos(x) cos(3y) cos(5z) na množinˇe
A = (x;y;z) 2E3 : 2x + 6y + 10z = ^x > 0 ^y > 0 ^z > 0 :
Stacionární bod:
a =
6;
18;
30
d2L a(dx;dy;dz) / 3dx2 27dy2 75dz2 + 6dxdy + 10dxdz + 30dydz
Z diferenciálu vazby plyne, že dx = 3dy 5dy a následnˇe:
d2L a(dy;dz) / 9dy2 25dz2 15dydz
d2L a(dy;dz) je negativnˇe definitní a v a je tedy ostré lokální vázané maximum.
[2.] (8 bod˚u)
Necht’ je dána kˇrivka
’(t) = (cos(t);t + sin(t));
kde t 2 h0;6 i: Rozhodnˇete (a výpoˇctem prokažte), zda se jedná o jednoduchou kˇrivku. Dále naˇcrtnˇete
její geometrický obraz a vypoˇctˇete její délku.
Kˇrivka je jednoduchá, nebot’ ’(t) je prosté na h0;6 i:
6pi
1 −1
l = p2
Z 6
0
p
1 + cos(t) dt = 24:
[3.] (5 bod˚u)
Necht’ je dána soustava množin
x41 = f;;f1g;f2;3g;f4;5;6gg:
Rozhodnˇete, zda se jedná o soustavu aditivní, polookruh, okruh ˇci algebru. Urˇcete, ˇcemu se rovná min-
imální okruh x42 generovaný soustavou x41 . Dále rozhodnˇete, zda množinová funkce definovaná na x42
pˇredpisem
F(X) :=
(
0
max(X) min(X)
X = ;
X 6= ;
je mírou na x42:
x41 je pouze polokruhem.
x42 = f;;f1g;f2;3g;f4;5;6g;f1;2;3g;f1;4;5;6g;f2;3;4;5;6g;f1;2;3;4;5;6gg
F(X) není mírou, nebot’ není aditivní:
F(f1g) = 0 ^ F(f2;3g) = 1 ^ F(f1;2;3g) = 2 6= 0 + 1
[4.] (8 bod˚u)
Pro kladné parametry a;b;c vypoˇctˇete Lebesgueovu míru 3(M) množiny
M =
(x;y;z) 2E3 :
x
a +
y
b +
z
c
2
xa + yb zc ^x > 0 ^y > 0 ^z > 0
:
x = a%cos2(#) cos2(’)
y = b%cos2(#) sin2(’)
z = c%sin2(#);
det
D(x;y;z)
D(%;#;’)
= 4abc%2 cos3(#) sin(#) cos(’) sin(’)
x
a +
y
b +
z
c
2
xa + yb zc ) % < cos(2#):
A tedy cos(2#) musí být kladné, což nastává pouze pro # 2 (0; 4 ):
3(M) =
Z =2
0
Z =4
0
Z cos(2#)
0
4abc%2 cos3(#) sin(#) cos(’) sin(’) d%d#d’ = 380abc:
[5.] (7 bod˚u)
Pro a > 0 a b 2Rvypoˇctˇete urˇcitý integrál
Z 1
0
e ax
sin(bx)
x
2
dx:
I(b = 0) = 0 :
dI
db =
Z 1
0
e axsin(2bx)x dx:
dI
db(b = 0) = 0 :
d2I
db2 = 2
Z 1
0
e ax cos(2bx) dx = 2aa2 + 4b2:
dI
db = arctg
2b
a
+ C
C = 0
I(b) =
Z
arctg
2b
a
db = b arctg
2b
a
a4 ln
1 + 4b
2
a2
+ D
D = 0
Z 1
0
e ax
sin(bx)
x
2
dx = b arctg
2b
a
a4 ln
1 + 4b
2
a2
[6.] (4 body)
Pro které funkce, jež jsou implicitnˇe definovány soustavou
x + y2 + u + v + r2 + s2 = 0
x + y3 + u + v2 + r3 + s3 = 0
x + y4 + u2 + v2 + r4 + s4 = 0;
má smysl hledat Maclaurinovy polynomy?
Tˇri neznámé z x;y;u;v;r;s budou pˇredstavovat funkce, tˇri jejich nezávisle promˇenné. Hledáme Maclau-
rinovy polynomy, tedy Taylor˚uv rozvoj v bodˇe, kde jsou všechny tˇri nezávisle promˇenné nulové. Jsou-li
ale tˇri neznámé v rovnicích
F := x + y2 + u + v + r2 + s2 = 0
G := x + y3 + u + v2 + r3 + s3 = 0
H := x + y4 + u2 + v2 + r4 + s4 = 0;
nulové, musejí být i ostatní. Tedy funkcˇcní hodnoty implicitnˇe zadaných funkcí v bodˇe 0 2 E3 budou
nulové. Vyšetˇrujeme tedy existenci implicitnˇe zadaných funkcí na okolí bodu = (0;0;0;0;0;0): Ale
jedinˇe
det
D(F;G;H)
D(x;u;v)
( )
je nenulový, ˇcili smysl hledat Maclaurinovy polynomy má pouze pro funkce
x = x(y;r;s)
u = u(y;r;s)
v = v(y;r;s):
[7.] (9 bod˚u)
Užitím vˇety o derivaci integrálu s parametrem vypoˇctˇete urˇcitý integrál
I(p)
Z =2
0
ln 1 + psin2(x) dx:
I(0) = 0
dI
dp =
Z =2
0
sin2(x)
1 + psin2(x) dx =
t = tg(x)
dx = dt1+t2
=
Z 1
0
t2
1 + (p + 1)t2
1
1 + t2 dt
dI
dp =
1
p
Z 1
0
1
1 + (p + 1)t2 dt +
1
p
Z 1
0
1
1 + t2 dt =
2p
1 1pp + 1
Z =2
0
ln 1 + psin2(x) dx = ln
pp + 1 + 1
2
Vloženo: 8.05.2009, vložil: Pavel Antonín
Velikost: 179,40 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz