- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálým kořenem polynomu P(x), jestliže k je největší
přirozené číslo takové, že P(x) je beze zbytku dělitelný polynomem (x−α)k.
Poznámka Tato definice vyhovuje i případu, kdy dané číslo není kořenem polynomu, je totiž 0-násobným
kořenem. Místo o jednonásobném kořenu mluvíme většinou o jednoduchém kořenu.
Pozorování (Komplexní) číslo α je k-násobným kořenem polynomu P(x) právě tehdy, když existuje polynom
Q(x) takový, že P(x) = Q(x) · (x−α)k a Q(α) negationslash= 0.
Základní věta algebry: Každý (komplexní) polynom alespoň prvního stupně má alespoň jeden (komplexní)
kořen.
Důsledek Nenulový polynom n-tého stupně má právě n kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je
jeho násobnost.
Důsledek Nechť P a Q jsou polynomy stupně nejvýše n-tého, α1,...,αn+1 navzájem různá komplexní čísla
taková, že P(αi) = Q(αi) pro všechna i = 1,...,n+ 1. Potom P = Q.
Tvrzení Rozklad polynomu na součin kořenových činitelů (resp. kořenových polynomů). Každý polynom
můžeme zapsat ve tvaru
P(x) = an ·(x−αs)ks ···(x−α2)k2 · (x−α1)k1,
kde α1,...,αr jsou kořeny polynomu P(x).
3
Věta Nechť P(x) je polynom s reálnými koeficienty a komplexní číslo a+bi, b negationslash= 0 je jeho k-násobný kořen.
Pak také komplexně sdružené číslo a−bi, je k-násobným kořenem polynomu P(x).
Důsledek Reálný polynom lichého stupně má vždy aspoň jeden reálný kořen.
Tvrzení Rozklad polynomu na součin ireducibilních reálných polynomů. Každý polynom můžeme zapsat ve
tvaru
P(x) = an(x−α1)k1 ···(x −αr)kr · (x2 +p1x +q1)l1 ···(x2 +ptx +qt)lt,
kde α1,...,αr jsou reálné kořeny polynomu P(x) a (x2+p1x+q1),...,(x2+ptx+qt) jsou součiny kořenových
polynomů odpovídajících vždy dvěma komplexně sdruženým kořenům.
Při hledání kořenů binomických polynomů můžeme vyjít z Moivreovy věty. Pro rovnici
xn −a = 0, kde a ∈ C
dostáváme řešení
xk = n
radicalbig
|a|·
parenleftbigg
cos α + 2kpin +i· sin α+ 2kpin
parenrightbigg
, k = 0,1,2,...,n− 1,
přičemž využíváme zápisu čísla a v goniometrickém tvaru, tedy
a = |a|· (cosα +i·sinα).
Při rozkládání binomických polynomů můžeme využít i následujících vztahů:
x2 −a2 = (x−a)(x +a)
x2 +a2 = (x−a·i)(x +a·i)
x3 −a3 = (x−a)(x2 +ax +a2)
x3 +a3 = (x +a)(x2 −ax +a2)
x4 −a4 = (x2 − a2)(x2 +a2) = (x −a)(x +a)(x2 +a2)
x4 +a4 = (x2 + a2)2 − 2x2a2 = (x2 + √2ax +a2)· (x2 −√2ax +a2)
x6 −a6 = (x3 − a3)(x3 +a3) = (x −a)(x2 +ax +a2)(x +a)(x2 −ax +a2)
x8 −a8 = (x4 − a4)(x4 +a4) = (x −a)(x +a)(x2 +a2)(x2 + √2ax +a2)(x2 −√2ax+a2)
Tvrzení Nechť koeficienty polynomu P(x) = anxn +···+a1x+a0 jsou celá čísla, an negationslash= 0 a nechť racionální
číslo pq, kde p a q jsou nesoudělná celá čísla, je kořenem tohoto polynomu. Potom p dělí a0 a q dělí an.
4
Vloženo: 25.06.2009
Velikost: 59,31 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Reference vyučujících předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Podobné materiály
Copyright 2023 unium.cz. Abychom mohli web rozvíjet a dále vylepšovat podle preferencí uživatelů, shromažďujeme statistiky o návštěvnosti, a to pomocí Google Analytics a Netmonitor. Tyto systémy pro unium.cz zaznamenávají, které stránky uživatel na webové stránce navštívil, odkud se na stránku dostal, kam z ní odešel, jaké používá zařízení, operační systém či prohlížeč, či jaký má preferenční jazyk. Statistiky jsou anonymní, takže unium.cz nezná identitu návštěvníka a spravuje cookies tak, že neumožňuje identifikovat konkrétní osoby. Používáním webu vyjadřujete souhlas použitím cookies a následujících služeb: