- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálP.
2. Násobení polynomů je asociativní, tedy pro každé tři polynomy P,Q,R platí, že (P ·Q)·R = P ·(Q·R).
3. Polynom E(x) = 1 (konstantní jednička) je neutrální vzhledem k násobení, tedy pro jakýkoli polynom
P platí, že P ·E = P = E ·P.
4. Násobení polynomů je distributivní vzhledem ke sčítání, to znamená, že pro každé tři polynomy P,Q,R
platí
(a) P · (Q+R) = P ·Q+P ·R
(b) (P +Q)·R = P ·R +Q·R
Pozorování Pro polynomy P,Q platí:
1. st(P +Q) ≤ max{stP,stQ}.
2. st(α·P) = stP pro α negationslash= 0, st(0 ·P) = −1.
3. st(P ·Q) = stP + stQ, pokud jsou oba polynomy nenulové, v opačném případě je stupeň roven −1.
Věta Dělení polynomů se zbytkem: Ke každým dvěma polynomům P a Q, kde polynom Q je nenulový,
existují polynomy Y a Z takové, že
P = Y ·Q +Z a stZ < stQ.
Tyto polynomy jsou určeny jednoznačně.
Hornerovo schema umožňuje spočítat hodnotu polynomu pro nějaké (reálné) číslo s minimálním počtem
násobení. Nejprve zapíšeme polynom trochu jiným způsobem. Platí totiž
P(x) = anxn + an−1xn−1 + ···+a2x2 +a1x +a0 = (anxn−1 +an−1xn−2 + ···+a2x +a1) ·x+a0 =
= ((anxn−2 +an−1xn−3 + ···+a2)·x +a1) ·x +a0 = ··· = ((···(anx +an−1)x + ··· +a2)x +a1)x +a0
Máme spočítat hodnotu polynomu P(x) v bodě x0. Podle předchozího zápisu je
P(x0) = ((···(anx0 + an−1)x0 + ···a2)x0 +a1)x0 +a0.
2
Položme
bn = an
bn−1 = bnx0 + an−1 = anx0 +an−1
bn−2 = bn−1x0 +an−2 = (anx0 +an−1)x0 +an−2
... ... ...
b1 = b2x0 +a1 = (···((anx0 +an−1)x0 +an−2)x0 + ···+a2)x0 +a1
b0 = b1x0 +a0 = ((···((anx0 +an−1)x0 +an−2)x0 + ··· +a2)x0 +a1)x0 +a0
Zřejmě
P(x0) = b0.
Také platí, že
P(x) = (x −x0)(bnxn−1 +bn−1xn−2 + ···+b2x +b1) +b0
Hornerovo schema je tabulka, která má tři řádky. V prvním řádku jsou zapsány koeficienty polynomu
P(x) (včetně nulových). Do třetího řádku budeme postupně zapisovat koeficienty bi, nejprve bn = an, potom
vždycky tak, že nejprve do druhého řádku zapíšeme bi+1 · x0 a potom sečteme čísla v prvním a druhém
řádku. Koeficient bi je roven tomuto součtu. Schema tedy vypadá takto
an an−1 an−2 ... a2 a1 a0
x0 bnx0 bn−1x0 ... b3x0 b2x0 b1x0
bn bn−1 bn−2 ... b2 b1 b0
Kořeny polynomů V této části musíme pojem polynomu rozšířit na komplexní polynom. Budeme se nadále
zajímat především o polynomy reálné, ale budeme se na ně dívat jako na polynomy komplexní. To lze, protože
každé reálné číslo je také číslem komplexním (s nulovou imaginární částí).
Definice Nechť P(x) je nenulový (komplexní) polynom. Řekneme, že komplexní číslo α je kořenem poly-
nomu P, jestliže P(α) = 0.
Tvrzení Komplexní číslo α je kořenem polynomu P(x) právě tehdy, když je polynom P(x) beze zbytku
dělitelný polynomem (x−α).
Definice Řekneme, že (komplexní) číslo α je k-násobn
Vloženo: 25.06.2009
Velikost: 59,31 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Reference vyučujících předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Podobné materiály
Copyright 2024 unium.cz