- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálch œprav 1’, 2’, 3’.
3fi + 3fl + 5 = 0
3fi + 5fl + 9 = 0
5fi + 9fl + 17 = 0
3fi + 3fl + 5 = 0
2fl + 4 = 0
2fi + 4fl + 8 = 0
3fi + 3fl + 5 = 0
fl + 2 = 0
3fl + 7 = 0
3fi + 3fl + 5 = 0
fl + 2 = 0
= 0
Postupn vypoŁ tÆme ze 3., 2., 1. rovnice = fl = fi = 0. DanÆ skupina vektorø je tud
lineÆrn nezÆvislÆ a mø eme ji vz t jako bÆzi R3. Potom ka d vektor z R3 mø eme
vyjÆdłit jako jejich lineÆrn kombinaci, tj. mø eme urŁit souładnice libovolnØho vektoru
vzhledem k tØto bÆzi.
Pł klad 3. Vektor x = (3;7;9) vyjÆdł me jako lineÆrn kombinaci vektorø v1 = (3;3;5),
v2 = (3;5;9), v3 = (5;9;17) (z pł kladu 2).
e„en . Koe cienty v lineÆrn kombinaci
x1
0
@
3
3
5
1
A+ x2
0
@
3
5
9
1
A+ x3
0
@
5
9
17
1
A =
0
@
3
7
9
1
A (5)
16
dan ch vektorø budou souładnicemi vektoru x vzhledem k bÆzi v1, v2, v3. Plat pro
n ekvivalentn soustavy rovnic
3x1 + 3x2 + 5x3 = 3
3x1 + 5x2 + 9x3 = 7
5x1 + 9x2 + 17x3 = 9
3x1 + 3x2 + 5x3 = 3
2x2 + 4x3 = 4
2x1 + 4x2 + 8x3 = 2
3x1 + 3x2 + 5x3 = 3
x2 + 2x3 = 2
3x2 + 7x3 = 0
Posledn ekvivalentn soustava, ze kterØ je hledanØ łe„en vid t, je
3x1 + 3x2 + 5x3 = 3
x2 + 2x3 = 2
x3 = ¡6:
Postupn vypoŁ tÆme ze 3., 2., 1. rovnice x3 = ¡6, x2 = 14, x1 = ¡3. NovØ souładnice
vektoru x v bÆzi v1, v2, v3 jsou (¡3;14;¡6).
Matice
Ve v„ech tłech pł kladech jsme pracovali płi œpravÆch rovnic pouze s koe cienty, tj. se
souładnicemi vektorø. Proto si je zap „eme do schematu, kterØ se naz vÆ matice. Pro
prvn dva pł klady je oznaŁ me A a B. ZÆrove zap „eme i koe cienty soustav rovnic
po proveden ch elementÆrn ch œpravÆch.
A =
0
@
3; 3; 5
3; 5; 9
3; 9; 17
1
A ; A0 =
0
@
3; 3; 5
0; 2; 4
0; 6; 12
1
A ; A00 =
0
@
3; 3; 5
0; 1; 2
0; 0; 0
1
A ; A000 =
3; 3; 5
0; 1; 2
¶
;
B =
0
@
3; 3; 5
3; 5; 9
5; 9; 17
1
A ; B0 =
0
@
3; 3; 5
0; 2; 4
2; 4; 8
1
A ; B00 =
0
@
3; 3; 5
0; 1; 2
0; 3; 7
1
A ; B000 =
0
@
3; 3; 5
0; 1; 2
0; 0; 1
1
A :
17
V„echny uvedenØ œvahy o matici A a matici B naformulujeme obecn pro libovolnou
matici.
Matice A o m łÆdc ch a n sloupc ch je schema
A =
0
BB
BB
@
a11; a12; a13; :::; a1n
a21; a22; a23; :::; a2n
a31; a32; a33; :::; a3n
:::::::::::::::::::::::::::::
am1; am2; am3; :::; amn
1
CC
CC
A
;
kde aij 2 R, i = 1;:::;m, j = 1;:::;n. Płitom i je Ł slo łÆdku poŁ tanØ od 1 do m
a j je Ł slo sloupce poŁ tanØ od 1 do n, ve kter ch se prvek nachÆz .
Ka d łÆdek ri matice A je uspołÆdanÆ n-tice reÆln ch Ł sel
ri = (ai1;ai2;ai3;:::;ain); i = 1;2;:::;m; (1)
je to tedy n-Łlenn aritmetick vektor z Rn. Je-li n = 2, resp. n = 3, je ri vektor
z R2, resp R3.
Analogicky pro sloupce sj matice A, m-tice
sj = (a1j;a2j;a3j;:::;amj); j = 1;2;:::;n; (2)
je m-Łlenn aritmetick vektor z Rm.
O matici A ł kÆme, e je typu (m;n), nebo m krÆt n. Napł.
C =
1; 2; 3; 4
4; 3; 2; 1
¶
; G = ¡1; 2; 3; 4¢ ; H =
0
@
1
2
3
1
A ;
matice C je typu (2,4), matice G je typu (1,4), matice H je typu (3,1).
18
¨tvercovÆ matice
kÆme, e matice typu (m;n) je ŁtvercovÆ matice, je-li m = n. ¨ slo n je pak łÆd
matice. Napł.
1; 2
4; 3
¶
;
0
@
1; 2; 3
4; 5; 6
7; 8; 9
1
A :
DiagonÆln a jednotkovÆ matice
Matice, pro jej prvky plat aii 6= 0, aij = 0 pro i 6= j, i;j = 1;:::;n, se naz vÆ dia-
gonÆln matice, je-li nav c aii = 1, naz vÆme matici jednotkovÆ matice a znaŁ me
ji E (nebo I). Prvky a11;a22;a33;:::;ann naz vÆme diagonÆln prvky. Napł.
D =
0
BB
@
a11; 0; 0; 0
0; a22; 0; 0
0; 0; a33; 0
0; 0; 0; a44
1
CC
A ; E =
0
BB
@
1; 0; 0; 0
0; 1; 0; 0
0; 0; 1; 0
0; 0; 0; 1
1
CC
A :
Pł klad 1. Kolika zpøsoby mø eme płerovnat sloupce jednotkovØ matice 3. łÆdu
abychom dostali røznØ matice? Matice vyp „eme
E1 =
0
@
1; 0; 0
0; 1; 0
0; 0; 1
1
A ; E2 =
0
@
1; 0; 0
0; 0; 1
0; 1; 0
1
A ; E3 =
0
@
0; 1; 0
1; 0; 0
0; 0; 1
1
A ;
E4 =
0
@
0; 0; 1
1; 0; 0
0; 1; 0
1
A ; E5 =
0
@
0; 1; 0
0; 0; 1
1; 0; 0
1
A ; E6 =
0
@
0; 0; 1
0; 1; 0
1; 0; 0
1
A :
Matice E1;:::;E6 se naz vaj permutaŁn matice.
TransponovanÆ matice
Matice AT takovÆ, e pro jej prvky plat aTij = aji se naz vÆ transponovanÆ matice
k matici A. Ædky matice AT jsou sloupce matice A a obrÆcen . Je-li matice A typu
(m;n), je matice AT typu (n;m). Plat (AT)T = A. Napł.
A =
0
@
1; 2; 3; 4
5; 6; 7; 8
9; 0; 1; 2
1
A ; AT =
0
BB
@
1; 5; 9
2; 6; 0
3; 7; 1
4; 8; 2
1
CC
A :
19
SymetrickÆ a antisymetrickÆ matice
¨tvercovÆ matice As je symetrickÆ matice, je-li aij = aji, i;j = 1;:::;n, a ŁtvercovÆ
matice Aa je antisymetrickÆ, je-li aij = ¡aji (potom złejm aii = 0). Plat As = ATs .
As =
0
BB
BB
@
a11; a12; a13; :::; a1n
a12; a22; a23; :::; a2n
a13; a23; a33; :::; a3n
:::::::::::::::::::::::::::
a1n; a2n; a3n; :::; ann
1
CC
CC
A
; Aa =
0
BB
BB
@
0; a12; a13; :::; a1n
¡a12; 0; a23; :::; a2n
¡a13; ¡a23; 0; :::; a3n
::::::::::::::::::::::::::::::::
¡a1n; ¡a2n; ¡a3n; :::; 0
1
CC
CC
A
:
Hodnost matice
M jme dÆnu matici A typu (m;n). Ædky matice jsou vektory z prostoru Rn a v„echny
jejich lineÆrn kombinace tvoł podprostor V’ prostoru Rn. Jeho dimenze (poŁet prvkø
jeho bÆze) se naz vÆ hodnost matice A.
Trochu mØn płesn mø eme ł ci, e hodnost matice je maximÆln poŁet lineÆrn nezÆ-
visl ch łÆdkø matice.
Jak ji bylo konstatovÆno, vektorov prostor V’, a tud i hodnost matice A se nem n ,
provedeme-li na v„echny łÆdky matice n kterou z ekvivalentn ch œprav 1,2,3.
Av„ak sloupce matice jsou takØ vektory a mø eme na n tØ provÆd t ekvivalentn
œpravy. Płesv dŁme se, e hodnost matice se nem n ani płi t chto œpravÆch. Jsou-li
n kterØ łÆdky lineÆrn zÆvislØ a vynÆsob me-li k-t sloupec Ł slem c, zøstanou łÆdky
lineÆrn zÆvislØ. TotØ plat , płiŁteme-li k n jakØmu sloupci jin sloupec.
TakØ płi ekvivalentn ch sloupcov ch œpravÆch se zachovÆvÆ hodnost matice. Podobn
płi ekvivalentn ch œpravÆch na łÆdky se nem n maximÆln poŁet lineÆrn nezÆvisl ch
sloupcø.
Tedy hodnost matice A je dimenze podprostoru prostoru Rn, resp. Rm, generovanØho
łÆdkov mi vektory r1;:::;rm, resp. sloupcov mi vektory s1;:::;sn matice A.
RegulÆrn matice
¨tvercovÆ matice n-tØho łÆdu, kterÆ mÆ hodnost n, se naz vÆ regulÆrn matice.
Horn a doln trojœheln kovÆ matice
Horn trojœheln kovÆ matice U a doln trojœheln kovÆ matice L jsou matice tvaru
U =
0
BB
BB
@
u11; u12; u13; :::; u1n
0; u22; u23; :::; u2n
0; 0; u33; :::; u3n
:::::::::::::::::::::::::::
0; 0; 0; :::; unn
1
CC
CC
A
; L =
0
BB
BB
@
l11; 0; 0; :::; 0
l21; l22; 0; :::; 0
l31; l32; l33; :::; 0
:::::::::::::::::::::::::
ln1; ln2; ln3; :::; lnn
1
CC
CC
A
:
Ka dou matici mø eme ekvivalentn mi œpravami łÆdkø, nebo sloupcø płevØst na matici
trojœheln kovou. NenulovØ łÆdky, resp. sloupce trojœheln kovØ matice jsou lineÆrn nezÆ-
vislØ vektory. PoŁet lineÆrn nezÆvisl ch łÆdkø trojœheln kovØ matice (hodnost matice)
20
je roven poŁtu lineÆrn nezÆvisl ch sloupcø matice (jak trojœheln kovØ, tak tØ pøvodn
płed œpravou).
Pł klad 2. Zjist me hodnost matice
0
BB
BB
@
1; 2; 3; 4
2; 1; ¡1; 0
3; ¡1; 0; 3
0; 2; 1; 1
¡1; ¡1; 1; 1
1
CC
CC
A
;
0
BB
BB
@
¡1; ¡1; 1; 1
0; 2; 1; 1
0; 1; 4; 5
0; ¡1; 1; 2
0; ¡4; 3; 6
1
CC
CC
A
;
0
BB
BB
@
1; 1; ¡1; ¡1
0; 1; ¡1; ¡2
0; 0; 3; 5
0; 0; 3; 7
0; 0; ¡1; ¡2
1
CC
CC
A
;
0
BB
BB
@
1; 1; ¡1; ¡1
0; 1; ¡1; ¡2
0; 0; 1; 2
0; 0; 0; ¡1
0; 0; 0; 1
1
CC
CC
A
:
Hodnost danØ matice mus b t men„ nebo rovna Łtyłem, nebo» matice mÆ Łtyłi sloupce
a p t łÆdkø. Ekvivalentn mi œpravami na łÆdky jsme ji postupn płevedli na matici,
kterÆ mÆ dva posledn łÆdky lineÆrn zÆvislØ, jeden z nich mø eme vynechat. Hodnost
danØ matice je tud Łtyłi.
Ædky a sloupce matice jsou vektory (1), resp. (2). Vektory um me sŁ tat a nÆsobit
reÆln m Ł slem. Roz„ ł me-li skalÆrn souŁin pro vektory v Rn,
x ¢ y = x1y1 + ¢¢¢ + xnyn ;
mø eme pro matice de novat analogickØ operace.
NÆsobek matice reÆln m Ł slem je matice stejnØho typu
fi
0
BB
BB
@
a11; a12; a13; :::; a1n
a21; a22; a23; :::; a2n
a31; a32; a33; :::; a3n
:::::::::::::::::::::::::::::
am1; am2; am3; :::; amn
1
CC
CC
A
=
0
BB
BB
@
fia11; fia12; fia13; :::; fia1n
fia21; fia22; fia23; :::; fia2n
fia31; fia32; fia33; :::; fia3n
::::::::::::::::::::::::::::::::::
fiam1; fiam2; fiam3; :::; fiamn
1
CC
CC
A
:
SŁ tÆme pouze matice stejnØho typu
0
@
a11; a12; a13
a21; a22; a23
a31; a32; a33
1
A+
0
@
b11; b12; b13
b21; b22; b23
b31; b32; b33
1
A =
0
@
a11 + b11; a12 + b12; a13 + b13
a21 + b21; a22 + b22; a23 + b23
a31 + b31; a32 + b32; a33 + b33
1
A :
Pro souŁet matic plat
A+B = B+A; (A+B) +C = A+ (B+C)
21
Je złejmØ, e ke ka dØ matici A lze urŁit symetrickou a antisymetrickou matici As a Aa
tak, e A = As +Aa. Tyto matice jsou matic A urŁeny jednoznaŁn ,
As = 12(A+AT); Aa = 12(A¡AT):
Napł. k matici A =
0
@
2; 3; ¡2
¡6; ¡4; 7
¡4; 9; 3
1
A je symetrickÆ matice
As = 12
0
@
2; 3; ¡2
¡6; ¡4; 7
¡4; 9; 3
1
A+ 12
0
@
2; ¡6; ¡4
3; ¡4; 9
¡2; 7; 3
1
A =
0
@
2; 32; ¡3
¡32; ¡4; 8
¡3; 8; 3
1
A
a antisymetrickÆ
Aa = 12
0
@
2; 3; ¡2
¡6; ¡4; 7
¡4; 9; 3
1
A¡ 12
0
@
2; ¡6; ¡4
3; ¡4; 9
¡2; 7; 3
1
A =
0
@
0; 92; 1
¡92; 0; ¡1
¡1; 1; 0
1
A:
Pł klad 3. Pro ka dØ a;b 2R plat
a; b
¡b; a
¶
=
a; 0
0; a
¶
+
0; b
¡b; 0
¶
= a
1; 0
0; 1
¶
+ b
0; 1
¡1; 0
¶
:
kÆme, e matice
a; b
¡b; a
¶
je lineÆrn kombinac matic
1; 0
0; 1
¶
a
0; 1
¡1; 0
¶
.
Pł klad 4. Ka dou matici 2. łÆdu lze vyjÆdłit jako lineÆrn kombinaci Łtył matic
a
1; 0
0; 1
¶
+ b
0; 1
1; 0
¶
+ c
0; 1
¡1; 0
¶
+ d
1; 0
0; ¡1
¶
:
Pro matici
1; 2
¡4; 5
¶
urŁeme a;b;c;d 2R.
Pro danou matici plat
1; 2
¡4; 5
¶
=
a + d; b + c
b¡c; a¡d
¶
:
Potom a + d = 1, b + c = 2, b ¡ c = ¡4 a a ¡ d = 5. Odtud a = 3, b = ¡1, c = 3
a d = ¡2. Tedy
1; 2
¡4; 5
¶
= 3
1; 0
0; 1
¶
¡
0; 1
1; 0
¶
+ 3
0; 1
¡1; 0
¶
¡ 2
1; 0
0; ¡1
¶
:
22
SouŁin matic de nujeme pomoc skalÆrn ho souŁinu vektorø łÆdkø 1. matice se sloupci
2. matice. Napł.
0
@
a11; a12; a13
a21; a22; a23
a31; a32; a33
1
A
0
@
b11; b12
b21; b22
b31; b32
1
A =
=
0
@
a11b11 + a12b21 + a13b31; a11b12 + a12b22 + a13b32
a21b11 + a22b21 + a23b31; a21b12 + a22b22 + a23b32
a31b11 + a32b21 + a33b31; a31b12 + a32b22 + a33b32
1
A :
V slednÆ matice mus m t stejn łÆdkø jako 1. matice a stejn sloupcø jako 2. matice.
Pro typy matic plat symbolickÆ rovnice (m;n)¢(n;p) = (m;p). Potom souŁin łÆdkovØho
a sloupcovØho vektoru je reÆlnØ Ł slo
(a1;a2;a3) ¢
0
@
b1
b2
b3
1
A = a1b1 + a2b2 + a3b3;
kde to souŁin sloupcovØho a łÆdkovØho vektoru je matice
0
@
b1
b2
b3
1
A¢ (a1;a2;a3) =
0
@
b1a1; b1a2; b1a3
b2a1; b2a2; b2a3
b3a1; b3a2; b3a3
1
A:
Pro souŁin matic plat (płi zachovÆn podm nky pro typy matic)
A¢E = E¢A = A; (A¢B) ¢C = A¢ (B¢C); (A¢B)T = BT ¢AT
kde E jsme oznaŁili jednotkovou matici.
A¢ (B+C) = A¢B+A¢C; (B+C) ¢A = B¢A+C¢A
(A+B)2 = A2 +A¢B+B¢A+B2
Płi nÆsoben matic mus me dÆvat pozor na poład matic
A¢B6= B¢A
Płi nÆsoben v ce matic je v hodnØ poŁ tat d lŁ souŁiny:
2
4
0
@
2
¡1
4
1
A(5;2;¡3)
3
5
2
4
0
@
1
0
2
1
A(¡1;2)
3
5 =
0
@
10; 4; ¡6
¡5; ¡2; 3
20; 8; ¡12
1
A
0
@
¡1; 2
0; 0
¡2; 4
1
A =
0
@
2; ¡4
¡1; 2
4; ¡8
1
A
0
@
2
¡1
4
1
A
2
4(5;2;¡3)
0
@
1
0
2
1
A
3
5(¡1;2) =
0
@
2
¡1
4
1
A(¡1)(¡1;2) =
0
@
2; ¡4
¡1; 2
4; ¡8
1
A :
23
n-tÆ mocnina ŁtvercovØ matice
n-tou mocninou ŁtvercovØ matice A rozum me matici An = A¢A¢:::¢A| {z }
n krÆt
.
Pł klad 5. UrŁeme tłet mocninu matice A.
A =
0
@
0; 0; c
a; 0; 0
0; b; 0
1
A ; A2 =
0
@
0; bc; c
0; 0; ac
ab; 0; 0
1
A ; A3 =
0
@
abc; 0; 0
0; abc; 0
0; 0; abc
1
A :
Pł klad 6. UrŁ me v„echny matice 2. łÆdu, jejich 2. mocnina je rovna jednotkovØ
matici.
Z rovnosti
a; b
c; d
¶ a; b
c; d
¶
=
1; 0
0; 1
¶
dostÆvÆme Łtyłi rovnice pro Łtyłi neznÆmØ
a2 + bc = 1; b(a + d) = 0; c(a + d) = 0; bc + d2 = 1:
Plat
b = 0; a + d 6= 0; a2 = d2 = 1; c = 0
b = 0; a + d = 0; a2 = d2 = 1; c 6= 0
b 6= 0; a + d = 0; a2 = d2 = 1; c = 0
V„echny hledanØ matice jsou
1; 0
0; 1
¶
;
¡1; 0
0; ¡1
¶
;
1; b
0; ¡1
¶
;
¡1; b
0; 1
¶
;
1; 0
c; ¡1
¶
;
¡1; 0
c; 1
¶
:
Pł klad 7. PermutaŁn matice 2. łÆdu jsou dv
1; 0
0; 1
¶
a
0; 1
1; 0
¶
. VynÆsob me-li
vektor x = (x;y) druhou permutaŁn matic zleva, dostaneme vektor x0 = (y;x). MÆ-li
vektor x um st n X¡O a um st n vektoru x0 je X0¡O (v rovin ve zvolenØ kartØzskØ
soustav souładnic s poŁÆtkem O), potom body X = [x;y], X0 = [y;x] si odpov daj
v osovØ soum rnosti s osou y = x. Maticov tuto soum rnost mø eme zapsat
0; 1
1; 0
¶ x
y
¶
=
x0
y0
¶
;
kde jsme oznaŁili X0 = [x0;y0].
y
x
x´
X´
Xx
O
24
PermutaŁn matice E2, resp. E3, resp. E6 łÆdu 3 z pł kladu 1 urŁuj v prostoru soum r-
nost podle roviny z = y, resp. y = x, resp. z = x, ov łte.
Pł klad 8. Je złejmØ, e souŁin matice A s matic k n transponovanØ je matice syme-
trickÆ. (Sloupce matice transponovanØ jsou łÆdky matice A.) Płi oznaŁen łÆdkø ri je
v R3
A¢AT =
0
@
r1
r2
r3
1
A(r1 ;r2 ;r3) =
0
@
r1r1; r1r2; r1r3
r2r1; r2r2; r2r3
r3r1; r3r2; r3r3
1
A :
Napł. 0
@
1; 2
3; 4
5; 6
1
A
1; 3; 5
2; 4; 6
¶
=
0
@
5; 11; 17
11; 25; 39
17; 39; 61
1
A :
Jsou-li łÆdky maticeAnavzÆjem ortogonÆln vektory, je souŁinA¢AT diagonÆln matice.
SkalÆrn souŁiny łÆdkø jsou riri 6= 0 a rirk = 0 pro i 6= k.
Pł klad 9. Ka dou Łtvercovou matici A lze rozlo it na souŁin doln L a horn U troj-
œheln kovØ matice, A = L¢U. V tom pł pad lze volit u jednØ z matic za diagonÆln
prvky jedniŁky. Napł.
0
@
1; 0; 0
l21; 1; 0
l31; l32; 1
1
A
0
@
u11; u12; u13
0; u22; u23
0; 0; u33
1
A =
0
@
2; 3; ¡2
¡6; ¡4; 7
¡4; 9; 3
1
A
0
@
u11; u12; u13
l21u11; l21u12 + u22; l21u13 + u23
l31u11; l31u12 + l32u22; l31u13 + l32u23 + u33
1
A =
0
@
2; 3; ¡2
¡6; ¡4; 7
¡4; 9; 3
1
A
2l21 = ¡6; 2l31 = ¡4 =) l21 = ¡3; l31 = ¡2
¡3 ¢ 3 + u22 = ¡4; ¡3(¡2) + u23 = 7 =) u22 = 5; u23 = 1
¡2 ¢ 3 + 5l32 = 9; ¡2(¡2) + l32 ¢ 1 + u33 = 3 =) l32 = 3; u33 = ¡4
Trojœheln kovØ matice jsou
L =
0
@
1; 0; 0
¡3; 1; 0
¡2; 3; 1
1
A ; U =
0
@
2; 3; ¡2
0; 5; 1
0; 0; ¡4
1
A :
Determinant
Orientace v prostoru
V„echny bÆze zam łen EuklidovskØ roviny, resp. EuklidovskØho prostoru rozd l me do
dvou tł d tak, e dv bÆze patł do stejnØ tł dy prÆv tehdy, mø eme-li jednu z nich
25
płevØst do druhØ spojit m pohybem. (Podobn se zavedla pł mÆ a nepł mÆ shodnost
trojœheln kø.) Orientace roviny, nebo prostoru, nyn znamenÆ, e jednu z t chto tł d
prohlÆs me za kladnou a druhou za zÆpornou. Pojem "spojit pohyb" by m l b t pre-
cizovÆn, ale to by vy adovalo znalosti, kterØ dosud nemÆme.
Pokud nen k dispozici pł slu„n matematick aparÆt, provÆd se orientace v t„inou
tak, e se bÆze spoj s n jak m płedm tem, v prostoru to obvykle je pravÆ ruka. Pro
kontrolu na obrÆzku:
Jestli e bÆze u1;u2 je kladnÆ (polo me-li pravou ruku hranou na pap r, prsty ukazuj
sm r otÆŁen od u1 k u2), na obrÆzku jsou kladnØ napł. i bÆze w;v a v;u1, bÆze v;w
a u1;v jsou zÆpornØ.
A
A´
B
B´
C
C´
D
D´
u1
v
A B
w
u2u2
u3
Jestli e v prostoru je bÆze u1, u2, u3 kladnÆ, (polo me-li pravou ruku hranou na pap r,
prsty ukazuj sm r otÆŁen od u1 k u2 a palec ukazuje sm r tłet ho vektoru), jsou na
obrÆzku napł. kladnØ i bÆze A ¡ B;B0 ¡ B;C ¡ B a D0 ¡ C;A0 ¡ C;C0 ¡ C, bÆze
B ¡D0;B0 ¡D0;C0 ¡D0 je zÆpornÆ. Snadno ov ł me.
PoznÆmka. Pokud budeme nadÆle pou vat souładnice, budeme płedpoklÆdat, e to
jsou souładnice v danØ kartØzskØ soustav souładnic, kterÆ je urŁenÆ pomoc kladnØ
ortonormÆln bÆze.
Złejm plat :
1. Zam n me-li v bÆzi dva vektory, zm n bÆze tł du, do kterØ patł (byla-li kladnÆ,
po zÆm n bude zÆpornÆ a obrÆcen ).
2. VynÆsob me-li vektor bÆze Ł slem k > 0, tł da bÆze se nezm n , vynÆsob me-li
vektor bÆze Ł slem k < 0, tł da bÆze se zm n .
Vn j„ souŁin vektorø
Je-li u1, u2 bÆze ve V2, sestroj me rovnob n k ABCD tak, e B¡A = u1 a D¡A = u2.
Obsah tohoto rovnob n ka oznaŁ me ”(u1;u2).
Analogicky pro bÆzi u1;u2;u3 prostoru V3 sestroj me rovnob nost n ABCDA0B0C0D0
tak, e B ¡A = u1, D¡A = u2, A0 ¡A = u3. Jeho objem oznaŁ me ”(u1;u2;u3).
26
Vn j„ souŁin vektorø u;v 2 V2 je Ł slo
[u;v] =
8>
<
>:
”(u;v); je-li u;v kladnÆ bÆze V2 ;
¡”(u;v); je-li u;v zÆpornÆ bÆze V2 ;
0; jsou-li u;v lineÆrn zÆvislØ:
Vn j„ souŁin vektorø u;v;w 2 V3 je Ł slo
[u;v;w] =
8>
<
>:
”(u;v;w); je-li u;v;w kladnÆ bÆze V3 ;
¡”(u;v;w); je-li u;v;w zÆpornÆ bÆze V3 ;
0; jsou-li u;v;w lineÆrn zÆvislØ:
Pro vn j„ souŁin plat :
V prostoru V2 V prostoru V3
Je-li u1;u2 Je-li u1;u2;u3
kladnÆ ortonormÆln bÆze, pak kladnÆ ortonormÆln bÆze, pak
[u1;u2] = 1 [u1;u2;u3] = 1 (1)
[u;v] = ¡[v;u] [u;v;w] = [v;w;u] = [w;u;v] =
= ¡[v;u;w] = ¡[w;v;u] = ¡[u;w;v] (2)
[u;v + v0] = [u;v] + [u;v0] [u;v;w + w0] = [u;v;w] + [u;v;w0] (3)
[u;kv] = k[u;v] [u;v;kw] = k[u;v;w] (4)
PoznÆmka. Prvn dv vlastnosti v obou sloupc ch jsou złejmØ.
B
FE
A
A
A´´
A´´ B´
B´´
B
C
C´´
C´
D´´
D´´C D
u
u
vv + v´
v´
Tłet vlastnost ł kÆ, e obsah rovnob n ka ABFE je roven souŁtu obsahø rovnob n kø
ABDC a CDFE. Co je złejmØ.
Analogicky pro objem rovnob nost nu ”(ABCDA00B00C00D00) = ”(ABCDA0B0C0D0)+
”(A0B0C0D0A00B00C00D00).
Posledn 4. vlastnost plyne z obrÆzku.
27
uD
Q
v
uP
R
Q
w
R
kv
kw
Je v = Q¡P; kv = R¡P. Je w = Q¡P; kw = R¡P.
Pomoc vlastnosti (2) ukÆ eme, e vlastnost (3) a (4) lze zobecnit.
Ve V2 je
[u + u0;v] = [u;v] + [u0;v];
[ku;v] = k[u;v]:
Ve V3 je
[u + u0;v;w] = [u;v;w] + [u0;v;w];
[u;v + v0;w] = [u;v;w] + [u;v0;w]:
Napł.
[u;v + v0;w] = ¡[u;w;v + v0] = ¡([u;w;v] + [u;w;v0]) = [u;v;w] + [u;v0;w]:
Determinant 2. a 3. łÆdu
Je-li A ŁtvercovÆ matice łÆdu 2, resp. 3, oznaŁ me a1;a2 2 V2, resp. a1;a2;a3 2 V3
vektory, jejich souładnicemi jsou łÆdky matice. Potom determinantem 2. resp. 3.
łÆdu matice A naz vÆme Ł slo [a1;a2], resp. [a1;a2;a3].
Je-li
A =
a
11; a12
a21; a22
¶
; resp. A =
0
@
a11; a12; a13
a21; a22; a23
a31; a32; a33
1
A ;
determinant z matice A znaŁ me
jAj =
flfl
flfla11; a12a
21; a22
flfl
flfl ; resp. jAj =
flfl
flfl
flfl
a11; a12; a13
a21; a22; a23
a31; a32; a33
flfl
flfl
flfl :
28
V poŁet determinantu 2. łÆdu
Pro łÆdky determinantu plat stejnÆ tvrzen jakÆ platila pro vektory ve vn j„ m souŁinu.
Podle toho pro determinant matice A =
a
11; a12
a21; a22
¶
plat
jAj =
flfl
flfla11; 0a
21; a22
flfl
flfl+
flfl
flfl 0; a12a
21; a22
flfl
flfl =
flfl
flfla11; 00; a
22
flfl
flfl+
flfl
flfla11; 0a
21; 0
flfl
flfl+
flfl
flfl 0; a12a
21; 0
flfl
flfl+
flfl
flfl0; a120; a
22
flfl
flfl :
Proto e napł.
flfl
flfla11; 0a
21; 0
flfl
flfl = 0, dostÆvÆme
jAj = a11a22
flfl
flfl1; 00; 1
flfl
flfl+ a12a21
flfl
flfl0; 11; 0
flfl
flfl
jAj = a11a22 ¡a12a21 : (5)
Pł klad 1. VypoŁ tejme obsah trojœheln ka ABC, je-li A = [3;0], B = [¡1;2],
C = [2;3].
e„en .
u = B ¡A = (¡4;2)
v = C ¡A = (¡1;3)
y
O A
C
B
x
Obsah S trojœheln ka je absolutn hodnota z 12
flfl
flfl¡4; 2¡1; 3
flfl
flfl, tj. polovina z obsahu rovno-
b n ka urŁenØho vektory u, v. Tedy
S = 12j¡ 12 + 2j = 5:
Cramerovo pravidlo
K pojmu determinant mø eme doj t i jinak. e„me soustavu dvou lineÆrn ch rovnic pro
dv neznÆmØ eliminaŁn metodou
a11x + a12y = b1
a21x + a22y = b2 :
Nejdł ve z rovnic vylouŁ me y, a potom x
(a11a22 ¡a12a21)x = b1a22 ¡b2a12
(a11a22 ¡a12a21)y = b2a11 ¡b1a21 :
29
Jestli e a11a22 ¡a12a21 6= 0, je łe„en danØ soustavy
x = b1a22 ¡b2a12a
11a22 ¡a12a21
; y = b2a11 ¡b1a21a
11a22 ¡a12a21
:
V„echny v razy v obou zlomc ch jsou podobnØ a takØ nepłehlednØ. Zap „eme je do
schematu podobnØho schematu matice, kter naz vÆme determinantem.
jB1j =
flfl
flflb1; a12b
2; a22
flfl
flfl = b1a22 ¡b2a12 ; jB2j =
flfl
flfla11; b1a
21; b2
flfl
flfl = a11b2 ¡a21b1 ;
jAj =
flfl
flfla11; a12a
21; a22
flfl
flfl = a11a22 ¡a21a12 : (6)
Z de nice determinantu 2. a 3. łÆdu vypl vÆ, e vlastnosti 1, 2, 3, 4 vn j„ ho souŁinu
plat i pro łÆdky determinantu, tj.
1. Determinant matice s ortonormÆln mi vektory, kterØ tvoł kladnou bÆzi, je roven
jednØ, speciÆln determinant jednotkovØ matice je roven 1.
2. Zam n me-li v determinantu dva łÆdky, zm n determinant znamØnko.
3. Je-li jeden łÆdek determinantu souŁtem dvou vektorø, je determinant roven souŁtu
dvou determinantø, kterØ se li„ pouze t mto łÆdkem, napł.
flfl
flfl
flfl
a11; a12; a13
a21 + b21; a22 + b22; a23 + b23
a31; a32; a33
flfl
flfl
flfl =
flfl
flfl
flfl
a11; a12; a13
a21; a22; a23
a31; a32; a33
flfl
flfl
flfl+
flfl
flfl
flfl
a11; a12; a13
b21; b22; b23
a31; a32; a33
flfl
flfl
flfl :
4. VynÆsob me-li łÆdek determin
Vloženo: 25.06.2009
Velikost: 397,30 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Reference vyučujících předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Podobné materiály
Copyright 2024 unium.cz