- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál++++= xxxxxxxxB
V
.
Pro pprostor W najdeme bázi týmž způsobem – zjistíme zda jsou polynomy množiny
generátoru pprostoru W nezávislé, pak je tato množina generátoru též bází W.
V případě, že jsou polynomy závislé, vyřadíme postupně všechny závislé, až
získáme množinu lineárně nezávislých polynomů:
( ) ( ) ( ) ( )
()3dimhod
;1102;1103;0;1
0000
1000
3110
2101
5000
7000
3110
2101
2110
1220
3110
2101
0211
1321
1011
2101
02
032
0
02
0223121
233223
==
−=−−=−−=−=−−=−−==⇒=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=++
=+++
=++−
=++
=++⋅+++⋅+++⋅+++−⋅
WsoustavymaticeA
zvolím
xxxxxxxxxx
γδαγδβδγ
γβα
δγβα
δβα
δγα
δγβα
Dimense pprostoru W je dim W = 3.
Báze pprostoru W je { }xxxxxxxxB
W
++++++−=
23223
2,12,1 .
Součet pprostorů V + W je definován jako lineární obal , což je též lineární
obal polynomů, které generují oba pprostory V i W:
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
WV
++++++++−
+−+−+−++++
=+
233223
2323233
2,23,12,1
,1,2,12,1
Opět přepíšeme nulovou lineární kombinaci těchto polynomů do matice a upravíme ji
Gaussovou eliminací:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
≈
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
171360000
02311000
10111110
21011121
11433000
02311000
10111110
21011121
21100330
12202110
10111110
21011121
02111211
13211011
10111110
21011121
hod A = dim (W + V) = 4
add.
2. V, W jsou podprostory vektorového prostoru všech polynomů nejvýše 3. stupně.
Najděte bázi průniku těchto podprostorů, jestliže:
V = {ax
3
+ bx
2
+ cx + d, a + 2b + c - d = 0}
W = {ax
3
+ bx
2
+ cx + d, 2a + 2b - c - 2d = 0}
Vektorové pprostory V, W jsou množiny polynomů nejvýše 3. stupně. Pro koeficienty
polynomů množiny V platí: a + 2b + c – d = 0. Pro koeficienty polynomů množiny W
platí: 2a + 2b - c - 2d = 0. Pro koeficienty polynomů, které náleží průniku V∩W musí
být tedy splněny obě podmínky ⇒ řešení soustavy 2 rovnic o 4 neznámých:
;10012;0
2
0
2
3
;1;0
;46202;3
2
6
2
3
;0;2
0320
1121
2122
1121
0222
02
=−−=−−==−=−=⇒==
=+−=−−=−=−=−=⇒==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
≈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=−−+
=−++
bcda
c
bdcvolím
bcda
c
bdcvolím
dcba
dcba
Řešení soustavy rovnic má dimensi 2 (2 stupně volnosti) ⇒ dim (V∩W) = 2.
Báze průniku V∩W obsahuje tedy 2 polynomy, které získáme dosazením koeficientů
a, b, c, d do tvaru ax
3
+ bx
2
+ cx + d: { }1,234
323
++−=
∩
xxxxB
WV
.
3. Najděte souřadnice polynomu P(x) = 2x
3
+ x
2
- 3x + 6 vzhledem k uspořádané bázi
(x
3
+ x
2
+ x + 1, x
3
+ x
2
+ x, x
3
+ x + 1, x
2
+ x + 1):
Polynom P(x) má v uspořádané bázi souřadnice (α, β, γ, δ), polynom P(x) nyní
napíšeme jako lineární kombinaci bázických polynomů a vypočteme jejich
koeficienty:
( ) ( ) ( ) ( )
;159422;9;4511;5
5
1
9
2
1000
1100
0010
0111
4
5
1
2
1010
1000
1100
0111
6
3
1
2
1101
1111
1011
0111
6
3
1
2
63x-x2x111
23232323
=++=−−=−=−=−=+=−=⇒
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=++
−=+++
=++
=++
++=++⋅+++⋅+++⋅++++⋅
βγαβδγδ
δγα
δγβα
δβα
γβα
δγβα xxxxxxxxxx
Souřadnice polynomu P(x) v zadané uspořádané bázi jsou (15, -9, -4, -5).
4. Polynom P(x) má vzhledem k uspořádané bázi B = (x
2
+ x + 1, x
2
+ 1, x + 1)
souřadnice (2, 3,-1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi A = (x
2
+
2x + 1, x
2
+ x - 1, x
2
+ 2x + 2):
Vypočteme polynom P(x) jako lineární kombinaci polynomů báze B:
() ( ) ( ) ( ) ( ) 451113121,3,2
222
++=+⋅−+⋅+++⋅=−= xxxxxxxP
B
Nyní polynom P(x) napíšeme jako lineární kombinaci polynomů báze A s koeficienty
α, β a γ:
() ( ) ( ) ( ) ( )
17
9
21
17
9
21
100
010
001
17
9
4
100
010
101
1
9
5
120
010
111
4
1
5
211
212
111
42
122
5
4522112,,
2222
=
=
−=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
≈
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⇒
=+−
=++
=++
++=++⋅+−+⋅+++⋅==
γ
β
α
γβα
γβα
γβα
γβαγβα xxxxxxxxxP
A
Polynom P(x) má vzhledem k uspořádané bázi A souřadnice (-21, 9, 17).
5. Najděte uspořádanou bázi prostoru polynomů nejvýše 2. stupně, vzhledem k níž
má polynom P
1
(x) = x
2
+ 1 souřadnice (1, 1, -1), P
2
(x) = x
2
+ 2x – 1
souřadnice (1, 0, 1) a P
3
(x) = x
2
+ x + 3 souradnice (0, 1, -1):
Lineární prostor polynomů nejvýše 2. stupně má dimensi 3 ⇒ uspořádaná báze B
bude obsahovat 3 nezávislé polynomy stupně nejvýše 2: ( )
321
,, ZZZB=
Pak můžeme polynomy P
1
, P
2
, P
3
napsat jako lineární kombinaci polynomů Z
1
, Z
2
, Z
3
dle jejich souřadnic k bázi B:
()
()
()
32
2
3
31
2
2
321
2
1
1,1,03
1,0,112
1,1,11
ZZxxP
ZZxxP
ZZZxP
B
B
B
−=−=++=
+==−+=
−+=−=+=
Řešením soustavy rovnic dostaneme:
442133
13212
231
222
332
22
123
22
311
++=+++++=+=
++=++−+=−=
−−=−−−+=−=
xxxxxxZPZ
xxxxxZPZ
xxxxPPZ
Hledaná báze prostoru polynomů nejvýše 2. stupně je
( )442,13,2
22
++++−−= xxxxxB .
6. Najděte uspořádanou bázi prostoru polynomů nejvýše 1. stupně, vzhledem k níž
má polynom P(x) souřadnice (1, 1) a polynom Q(x) souřadnice (2, 1), jestliže víte, že
v uspořádané bázi (x + 1, x + 2) mají tyto polynomy
souřadnice postupně (2, 1) a (1, 2):
Nejprve si vyjádříme polynomy P a Q jako lineární kombinaci polynomů v bázi
C = (x + 1, x + 2):
() ( ) ( ) ( )
() ( ) ( ) ( ) 5322112,1
4321121,2
+=+⋅++⋅==
+=+⋅++⋅==
xxxxQ
xxxxP
C
C
Nyní zapíšeme tytéž polynomy P a Q jako lineární kombinaci bázických polynomů
báze B = (Z
1
, Z
2
):
() ( )
() ( )
21
21
21,253
1,143
ZZxxQ
ZZxxP
B
B
+⋅==+=
+==+=
Řešením soustavy rovnic dostaneme:
33143
14353
12
1
+=−+=−=
=−−+=−=
xxZPZ
xxPQZ
Hledaná báze prostoru polynomů nejvýše 1. stupně je ( )33,1 += xB .
7. Najděte bázi a spočtěte dimensi lin. podprostoru polynomů nejvýše 2. stupně,
které mají stejné souřadnice vzhledem k bázi B = (x
2
+ x + 1, x
2
+ 2x, x
2
) jako k bázi
standardní S = (x
2
, x, 1):
Daný pprostor polynomů nejvýše 2. stupně označíme jako množinu W obsahující
polynomy které mají stejné souřadnice vzhledem k bázi B i bázi S:
() () ( ) ( ){}
() ()() γβαγβα
γβαγβα
+⋅+⋅=⋅++⋅+++⋅=
===
xxxxxxxxP
xPxPW
SB
2222
21
,,,,;
Porovnáme polynomy na levé i pravé straně a vypočteme koeficienty α, β, γ:
() () ( ) ( )
() ()()
()1,1,1:
;1;1;1:
000
110
011
110
110
011
101
011
110
0
02
0
21
,,,,;
2222
−
=−=−=−=⇒=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=−=
=+=+
=+=++
+⋅+⋅=⋅++⋅+++⋅=
===
řešení
zvolím
xxxxxxxxP
xPxPW
SB
βαγβγ
γαγα
βαββα
γβαγβα
γβαγβα
γβαγβα
Řešením soustavy rovnic jsme získali množinu všech polynomů s koeficienty α, β, γ.
Báze obsahuje 1 polynom: () 11,1,1
2
,
+−=−= xxZ
BS
Báze pprostoru W je tedy ( )1
2
+−= xxC .
dim W = počet prvků báze = 1
Týden 5. – 11. prosince
1. Najděte bázi a spočtěte dimensi lineárního podprostoru všech čtvercových matic
řádu 2, které komutují s maticí A:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=⋅=⋅=
11
11
;; ABAABBW
Úprava:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
==
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
−=⇒−=+
=⇒−=−
=⇒+=+
−=⇒+=−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
++
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ab
ba
BBW
bcbddc
addcac
addbba
bccaba
bdac
dbca
dc
ba
BA
dcdc
baba
dc
ba
AB
dc
ba
B
;
11
11
11
11
Výpočet báze:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=⇒==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⇒==
01
10
,
10
01
01
10
;1;0
10
01
;0;1
21
β
ββ baba
Dimense prostoru W:
=Wdim počet prvků báze 2=
2. Řešte soustavu:
;1;1;2
0
26
13
7
000
1300
610
221
0
0
13
7
000
120
610
221
0
0
13
7
360
360
610
221
0
13
13
7
360
370
610
221
14
7
8
1
722
221
313
232
14722
722
833
1232
===
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−−
−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=+−
=++
=+−
=−+
xyz
zyx
zyx
zyx
zyx
3. Řešte soustavu:
2
~
;2
0
0
2
3
0000
0000
3270
2221
2
2
2
3
3270
3270
3270
2221
5
14
3
8
1051
5614
2221
1232
55
14564
3222
8232
==
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
−−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=−+
=++−
=++−
=+++
AhodAhod
uyx
uzyx
uzyx
uzyx
⇒ dle Frobeniova pravidla má soustava řešení, protože hod A < n, bude jich mít
nekonečně mnoho,
neznámé u a z jsou tzv. volné, mohu je volit:
Řešení nehomogenní soustavy:
7
15
2223;
7
4
7
232
;1;0
7
17
2223;
7
5
7
232
;0;1
=+−−==
++
=⇒==
=+−−==
++
=⇒==
yzux
zu
yzu
yzux
zu
yzu
Stačí však 1 řešení např.:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
1,0,
7
5
,
7
17
Řešení přidružené homogenní soustavy:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
0
0
0
0
0000
0000
3270
2221
7
10
222;
7
2
7
23
;1;0
7
8
222;
7
3
7
23
;0;1
−=+−−==
+
=⇒==
−=+−−==
+
=⇒==
yzux
zu
yzu
yzux
zu
yzu
Množinou všech řešení je lineární obal
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− 0,1,
7
2
,
7
10
,1,0,
7
3
,
7
8
.
Množinou všech řešení soustavy je
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0,1,
7
2
,
7
10
,1,0,
7
3
,
7
8
1,0,
7
5
,
7
17
.
Řešením soustavy je vektor
() Ruzyx ∈∀
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= βαβα ,0,1,
7
2
,
7
10
1,0,
7
3
,
7
8
1,0,
7
5
,
7
17
,,,
4. Řešte soustavu:
4
~
;3
4
3
4
0
000
8100
590
231
3
0
4
0
8100
590
590
231
3
0
4
0
213
334
132
231
323
0334
432
023
==
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=−+
=+−
=−+
=+−
AhodAhod
zyx
zyx
zyx
zyx
⇒ dle Frobeniova pravidla nemá soustava žádné řešení
5. V závislosti na parametru p ∈ R řešte soustavu:
x + y - pz = 1
x - 2y + 3z = 2
x + py - z = 1
Přepíšeme soustavu maticově:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
==⋅
1
2
1
11
321
11
b
p
p
AbxA
Pokud je matice A regulární, lze vyřešit soustavu podle Cramerova pravidla. Zjistíme,
pro která p vyjde determinant matice A nulový (kdy je A singulární):
()()
610det
166513232
11
321
11
det
22
−=∨=⇔=
−⋅+=+−−=+−−−+=
−
−
−
=
ppA
ppppppp
p
p
A
1) p ≠ 1, p ≠ -6:
Podle Cramerova pravidla lze napsat každou neznámou jako podíl determinantu
matice A
X
, která vznikne z matice A zaměníme-li sloupec příslušný dané neznámé x
maticí b, a determinantu A:
65
1
65
11
221
111
det
det
65
1
65
111
321
11
det
det
65
752
65
11
322
11
det
det
22
22
2
2
2
+−−
+−
=
+−−
−
==
+−−
−
=
+−−
−
−
==
+−−
+−−
=
+−−
−
−
−
==
pp
p
pp
p
A
A
z
pp
p
pp
p
A
A
y
pp
pp
pp
p
p
A
A
x
Z
Y
X
Řešení pro p ≠ 1, p ≠ -6:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎝
⎛
+−−
+−
+−−
−
+−−
+−−
65
1
,
65
1
,
65
752
222
2
pp
p
pp
p
pp
pp
⎜
⎜
2) p = 1:
Dosadíme za p = 1 do matice A a vyřešíme soustavu Gaussovou eliminační rovinou:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
0
1
1
000
430
111
1
2
1
111
321
111
Dle Frobeniova pravidla má soustava řešení:
Řešení nehomogenní soustavy:
;11111;1
3
41
3
41
;1 =−+=−+==
−
−
=
−
−
=⇒= yzx
z
yzvolím
Řešení přidružené homogenní soustavy:
;143;4
3
12
3
4
;3 −=−=−==
−
−
=
−
−
=⇒= yzx
z
yzvolím
Řešení pro p = 1: ()( )3,4,11,1,1 −+
3) p = -6:
Dosadíme za p = -6 do matice A a vyřešíme soustavu Gaussovou eliminací:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
0
1
1
330
330
611
0
1
1
770
330
611
1
2
1
161
321
611
Dle Frobeniova pravidla soustava nemá řešení.
Řešení pro p = -6: NEEXISTUJE
6. Řešte v závislosti na parametru a ∈ R:
(a + 1)x + y + 3z = 1
x + ay + 2z = 0
x + 2z = 0
Napíšeme soustavu maticově:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ +
==⋅
0
0
1
201
21
311
ba
a
AbxA
Řešení soustavy rovnic s parametrem rozdělíme na dvě varianty řešení:
je-li det A ≠ 0 lze soustavu vyřešit pomocí Cramerova pravidla,
je-li det A = 0 dosadíme za parametr a (pro který je det A = 0) a vyřešíme Gaussovou
eliminací. Vypočteme, pro která a platí det A = 0:
() ( )
2
1
00det
12223212det
2
=∨=⇔=
−⋅=−=−−++⋅=
aaA
aaaaaaaA
1) a ≠ 0, a ≠ ½:
Řešíme Cramerovým pravidlem:
()()
() ()
() () aaa
a
aa
a
a
A
A
z
aaaa
a
A
A
y
aaa
a
aa
a
A
A
x
Z
Y
X
21
1
1212
001
01
111
det
det
0
12
0
12
201
201
311
det
det
12
2
12
2
12
200
20
311
det
det
−
=
−⋅
−
=
−⋅
+
==
=
−⋅
=
−⋅
+
==
−
=
−⋅
=
−⋅
==
Řešení pro a ≠ 0, a ≠ ½:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−− aa 21
1
,0,
12
2
2) a = 0:
Řešíme Gaussovou eliminační rovinou při dosazení 0 za a:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
1
0
000
110
201
0
0
1
201
201
311
hod A = 2 = hod à ⇒ dle Frobeniova pravidla má soustava řešení. Pro a = 0 má
soustava nekonečně mnoho řešení:
Řešení homogenní soustavy:
;2;0;1 −==⇒= xyzvolím
Řešení přidružené homogenní soustavy:
;2;1;1 −=−=⇒= xyzvolím
Řešení pro a = 0: ()( )1,1,21,0,2 −−+−
3) a = ½:
Řešíme Gaussovou eliminační rovinou při dosazení ½ za a:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
2
0
0
000
010
201
0
2
0
010
020
201
0
0
2
201
412
623
0
0
1
201
21
31
2
1
2
3
hod A = 2 ≠ hod à = 3 ⇒ dle Frobeniova pravidla soustava nemá řešení.
Řešení pro a = ½: NEEXISTUJE
7. Řešte v závislosti na parametru a ∈ R:
ax - y - z = -1
3x - 2y + 3z = 2
x - ay - z = -1
Přepíšeme soustavu pomocí matic:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−−
==⋅
1
2
1
11
323
11
b
a
a
AbxA
Opět vypočteme determinant soustavy (det A) a zjistíme pro která a je roven nule:
3
8
1
6
96255
0det
853332332det
22
−=∨=⇒
+±−
=⇔=
−+=−+−+−=
aaaA
aaaaaA
1) a ≠ 1, a ≠ -8/3:
Řešíme soustavu pomocí Cramerova pravidla:
853
752
853
11
223
11
det
det
853
1
853
111
323
11
det
det
853
1
853
11
322
111
det
det
2
2
2
22
22
−+
−+
=
−+
−−
−
−−
==
−+
−
=
−+
−−
−−
==
−+
−
=
−+
−−−
−
−−−
==
aa
aa
aa
a
a
A
A
z
aa
a
aa
a
A
A
y
aa
a
aa
a
A
A
x
Z
Y
X
Řešení pro a ≠ 1, a ≠ -8/3:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−+
−+
−
−+
−
853
752
,
853
1
,
853
1
2
2
22
aa
aa
aa
a
aa
a
2) a = 1:
Dosadíme do matic za a = 1 a vyřešíme soustavu pomocí Gaussovy eliminace:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
−
−−
0
5
1
000
610
111
1
2
1
111
323
111
hod A = 2 = hod à ⇒ podle Frobeniova pravidla má soustava řešení, protože hod A <
(počet neznámých) má soustava nekonečně mnoho řešení. Neznámou z volíme a y,
x dopočítáme:
Řešení nehomogenní soustavy:
;1;1;1 −=−=⇒= xyzvolím
Řešení přidružené homogenní soustavy:
;5;6;1 −=−=⇒= xyzvolím
Řešení pro a = 1: ()()1,6,51,1,1 −−+−−
3) a = -8/3:
Dosadíme do matic za a = -8/3 a vyřešíme soustavu pomocí Gaussovy eliminace:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−−−
1
3
3
000
350
383
3
5
3
350
6100
383
5
1
0
6100
11
1
2
1
11
323
11
9
33
9
33
9
55
3
8
3
8
3
8
hod A = 2 ≠ hod à = 3 ⇒ dle Frobeniova pravidla nemá soustava řešení.
Řešení pro a = -8/3: NEEXISTUJE
Týden 12. prosince
1. Jsou dány vektory a, b, c, u, v, w vektorového prostoru R
4
. Nechť V je lin. obal
vektorů a, b, c, W je lin. obal vektorů u, v, w. Spočtěte dimensi prostorů V, W, V + W,
V ∩ W:
(a) a = (1, 1, 0, 1), b = (1, 1, 2, 2), c = (1, 2, 1, 2), u = (2, 1, 2, 1), v = (1, 0, 1, 1),
w = (1, 1, 1, 0)
add.
(b) a = (1, 2, 1, 1), b = (1, 0, 1, 2), c = (1, 2, 2, 2), u = (2, 2, 2, 3), v = (1, 1, 1, 1),
w = (1, 2, 1, 0)
add.
2. Ukažte, že zobrazení A : P
2
→ P
2
, kde P
2
je lin. prostor všech polynomů nejvýše 2.
stupně, definované předpisem
A(ax
2
+ bx + c) = (a + b - 2c)x
2
+ (2a - b - 2c)x + (a - 2b - 3c) je lineární. Najděte
obraz polynomu P(x) = 2x
2
+ 3x - 4 v tomto zobrazení. Najděte matici tohoto lin.
zobrazení vzhledem k bázi E = (x
2
+ x + 2, x
2
-x, x
2
+ x + 1) a bázi standardní
S = (x
2
, x, 1) a rozhodněte, zda toto zobrazení je prosté:
Zobrazení A je lineární ⇔ platí následující vztahy:
() ()
()()(
() ()PAPA
QAPAQPA
RPxQxP
⋅=⋅
+=+
∈∈
λλ
)
λ
)2
)1
:,
2
Platnost těchto vztahů se pokusíme dokázat pro libovolné dva polynomy lin. prostoru
P
2
a skalár λ ∈ R:
() ( )
()()()()()
()()() ()(()()
)( )
()( )( )( )( )(
() ()
() ()()
()( )
()( )( )()PAcbaxcbaxcba
cbaxcbaxcba
cbxaxAcbxaxAPA
QAPA
fedxfedxfedcbaxcbaxcba
fedcbaxfedcbaxfedcba
fcebdaxfcebdaxfcebda
fcxebxdaAfexdxcbxaxAQPA
RPQPfexdxxQcbxa
Vloženo: 25.06.2009
Velikost: 494,89 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Reference vyučujících předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Podobné materiály
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - riesene priklady
- 01M2 - Matematika 2 - riesene priklady z laplacky
- X01ALG - Úvod do algebry - Řesene priklady
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení funkce a jejich derivace
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení algebra,mno·iny, posloupnosti
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení funkce, limity
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení integrály
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešenínevlastní integrály, aplikace, optimalizace, posloupnosti
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady k procvičení Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady a řešení Laplaceova transformace, řady
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady a řešení obyčejné diferenciální rovnice
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady Fourierovi řady
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady Sobotíková
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady
- X01MA2 - Matematika 2 - Řešené příklady ke zkoušce Sobotíková
- X02FY1 - Fyzika 1 - Další příklady Bednařík
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady a řešení
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady na Lagrangeovy rovnice 2. druhu
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - Příklady z materiálů
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - Příklady z přednášek
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Příklady ke zkoušce
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Příklady
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Příklady 1
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Příklady 2
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Vypracované příklady
- 01M4 - Matematika 4 - Řešené příklady z pravděpodobnosti
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady II
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady III
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady z přednášek
- X01MA2 - Matematika 2 - Řešené písemkové příklady Kalousova
- 01M2 - Matematika 2 - ukazkove priklady ku skuske
- 01UA - Úvod do algebry - pisomkove priklady s riesenim uloh
- 01M1 - Matematika 1 - vzorove priklady ku skuske
- 01M1 - Matematika 1 - vzorove priklady ku skuske
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - tahak na priklady
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - priklady aj s odpovedami
- X17TEP - Teorie elektromagnetického pole - priklady ku skuske odporucane a prepocitane
- X31EOS - Elektronické obvody pro sdělovací techniku - prepocitane priklady na skusku
- X31EOS - Elektronické obvody pro sdělovací techniku - prepocitane priklady na skusku ina varianta
- X34ESS - Elektronické součástky a struktury - priklady
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k prvej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k prvej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k druhej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k druhej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady s riesenim ku skuske
- 01M2 - Matematika 2 - priklady s riesenim ku skuske
- A0B01PSI - Pravděpodobnost, statistika a teorie informace - TI - příklady
Copyright 2024 unium.cz