- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálp
p
b
pp
pp
p
b
pp
p
pp
b
pp
p
pp
b
pp
pp
pp
b
+−=
+
⋅−=
−=
+
⋅−=
+−=
+
+
⋅−=
=
+
+
⋅−=
+=
+
⋅−=
−−−=
++
+
⋅−=
−=
+
⋅−=
+−−=
+
+
⋅−=
−+=
++
+
⋅−=
26
33
5
32
24
31
5
23
4
22
2
3
21
24
13
2
3
12
2
2
11
2
11
1
2
2
21
1
2
22
21
1
0
11
11
1
1
31
21
1
12
31
21
1
11
2
1
22
31
2
1
23
31
22
1
Nyní dosadíme do vztahu pro výpočet inverzní matice pomocí determinantů:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−
−++−−
+−−−−−+
⋅
+−
=⋅=
−
pppp
pppp
pppppp
pp
B
A
A
T
22
2
222
3
1
0
2122
21223
1
det
1
Inversní matice k matici A pro p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
+−
−
+−
−
+−
+
+−
+−−
+−
+−
+−
−−−
+−
−+
=
−
pp
pp
pp
pp
pp
p
pp
p
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
A
3
2
3
2
333
2
3
2
3
2
3
2
1
0
2122
21223
4. Pro jaké hodnoty parametru p ∈ R je matice A regulární?
A =
1 p 1
2 1 p
2 1 0
Matice A je regulární ⇔ det A ≠ 0, vypočtěme determinant matice pomocí Sárrusova
pravidla:
()
2
1
00det
122222
012
12
11
22
=∧=⇔=
−=−=−−+=
ppA
ppppppp
p
Matice A je regulární ()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞∪
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∪∞−∈∀ ,
2
1
2
1
,00,p
5. Pro jaké hodnoty parametru p ∈ R je matice A singulární?
A =
p -1 3
1 -2 p
-5 1 -7
Matice A je singulární ⇔ det A = 0, vypočteme pro která p je hodnota determinantu
matice A nulová:
;17;2
2
3441919
034190det
34197303514
715
21
31
det
21
2
2,1
2
22
==⇒
−
⋅−±−
=
=−+−⇔=
−+−=−−−++=
−−
−
−
=
ppp
ppA
pppppp
p
A
Matice A je singulární {}17;2∈∀p
Týden 7. – 13. listopadu
1. Spočtěte determinant matice A a determinant matice A
-1
, kde p ∈ R:
A =
Matici upravíme řádkovými (nebo sloupcovými) úpravami tak, abychom získali co
nejvíc nul a pak vypočteme determinant rozvojem podle řádku (sloupce) s největším
počtem nul:
1 p 1 -1
2 0 1 p
1 1 1 -1
1 1 2 1
()()
()( )()() 4341142121
121
111
12
1.1
1211
1111
102
0010
1211
1111
102
111
2
+−−=+⋅−=−+−+−⋅−−
=−⋅−−==
−
−
=
−
−
ppppppp
p
přádkupodlerozvoj
p
p
p
p
det A = 43
2
+−− pp
det A
-1
=
43
1
det
1
2
+−−
=
ppA
2. Najděte řešení maticové rovnice AXB = C, kde:
0 -1 1 1 1 0 3 2 1
A = 1 0 1 B = 1 1 -1 C = 2 1 3
1 -1 1 1 2 -1 1 3 2
Nejprve upravíme maticovou rovnici:
11
1
1
1
−−
−
−
−
⋅⋅=
⋅⋅=⋅
=⋅⋅⋅
BCAX
BCABX
CBXAA
Matici C vynásobíme zleva maticí A
-1
: Gauss-Jordanovou eliminací: řádkovými
úpravami matice A získáme matici A
-1
A = E. Aplikujeme-li na matici C stejné řádkové
úpravy získáme matici A
-1
C:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
204
121
112
100
010
001
112
121
123
001
010
110
231
121
123
111
010
110
231
312
123
111
101
110
A C A
-1
A A
-1
C
Matici A
-1
C vynásobíme zprava maticí B
-1
: Gauss-Jordanovou eliminací: sloupcovými
úpravami matice B získáme matici BB
-1
= E. Aplikujeme-li na matici A
-1
C stejné
sloupcové úpravy získáme matici A
-1
CB
-1
= X:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
−
⎟
⎟
⎜
⎜
−−
⎟
⎟
⎜
⎜
− 3221121
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
426
341
100
001
244
13
132
111
001
204
112
121
1
011
⎟⎜⎟⎜⎟⎜
− 01010111
B B
-1
A
-1
C A
-1
CB
-1
Neznámá matice:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
=
426
322
341
X
3. Najděte řešení maticové rovnice AX – X = C, kde:
2 1 0 1 1 1
A = 1 2 -1 C = 1 1 1
1 2 0 1 3 2
Úprava maticové rovnice:
()()
()CEAX
CXEAEA
CXAX
⋅−=
=⋅−⋅−
=−
−
−
1
1
Matici C vynásobíme zleva maticí (A-E)
-1
: Gauss-Jordanovou eliminací: řádkovými
úpravami matice (A-E) získáme matici (A-E)
-1
(A-E) = E. Aplikujeme-li na matici C
stejné řádkové úpravy získáme matici (A-E)
-1
C = X:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
000
120
011
100
010
001
120
111
000
010
111
100
231
111
111
121
111
011
A-E C (A-E)
-1
(A-E) (A-E)
-1
C
Neznámá matice:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
000
120
011
X
4. Ukažte, že množina všech reálných posloupností s obvyklým sčítáním a
násobením tvoří lineární prostor.
Množina všech reálných posloupností je lineárním prostorem ⇔ je uzavřená na
součet i na násobení skalárem:
množina W je lineárním prostorem ⇔ pro všechny prvky a, b ∈ W a skalár λ ∈ R:
1) (a + b) ∈ W ⇒ uzavřenost W na součet
2) λ⋅a ∈ W ⇒ uzavřenost W na násobení skalárem
množina (){ }RaaW
nnn
∈=
∞
=
;
1
1)
() ()
() () { }{ }{ }( )
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+=+++=+=+
∈
133221132132111
11
;;;;;;;;;
;
nnnnnnn
nnnn
bababababbbaaaba
Wba
KKK
⇒ množina W je uzavřená na součet
2)
()
() { }{ }( )
∞
=
∞
=
∞
=
⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅
∈∈
13213211
1
;;;;;;
;
nnnn
nn
aaaaaaaa
RWa
λλλλλλ
λ
KK
⇒ množina W je uzavřená na násobení skalárem
Z 1) a 2) ⇒ množina W je lineárním prostorem.
Týden 14. – 20. listopadu
1. Ukažte, že množina všech geometrických posloupností s kvocientem q ∈ R s
obvyklým sčítáním a násobením tvoří lineární podprostor lineárního prostoru všech
posloupností.
Množina W všech geometrických posloupností s kvocientem q je lineárním
pprostorem lin. prostoru všech posloupností ⇔ je uzavřená na součet i na násobení
skalárem:
) ()()
()(){ }{ }{ }
()(){}()
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
+=+++
=+++=+=+
∈
1
1
11
2
111111
2
1
2
11111
2
111
2
1111
1
11
1
1
1
1
11
1
1
;;;
;;;;;;;;;
;1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
qbaqbaqbaba
qbqaqbqabaqbqbbqaqaaqbqa
Wqbqa
K
KKK
⇒ W je uzavřená na součet
) ()
() { }{ }()
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅
∈∈
1
1
1
2
111
2
1111
1
1
1
1
1
;;;;;;
2
n
n
n
n
n
n
qaqaqaaqaqaaqa
RWqa
λλλλλλ
λ
KK
⇒ W je uzavřená na násobení skalárem
Z 1) a 2) ⇒ množina W je lineárním pprostorem lin. prostoru všech posloupností.
2. Ukažte, že množina všech geometrických posloupností (s různými kvocienty) s
obvyklým sčítáním a násobením netvoří lineární podprostor lineárního prostoru všech
posloupností.
Opět zjišťujeme zda je množina všech geometrických posloupností s různými
kvocienty uzavřená na součet i na násobení reálným číslem (skalárem):
) ()()
()(){ }{ }
{}()
∞
=
−−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
+=+++=
=+=+
∈
1
1
1
1
1
2
1
2
11111
2
111
2
1111
1
11
1
1
1
1
11
1
1
;;;
;;;;;;
;1
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
rbqarbqarbqaba
rbrbbqaqaarbqa
Wrbqa
K
KK
⇒ Sečtením dvou geometrický posloupností z množiny W získáme posloupnost,
která geometrická není
Z 1) ⇒ množina W není lineárním pprostorem lin. prostoru všech posloupností
3. V je podmnožina množiny všech polynomů nejvýše 3. stupně. Rozhodněte, zda V
je lineárním podprostorem prostoru všech polynomů nejvýše 3. stupně s obvyklými
operacemi, jestliže:
(a) V = {ax
3
+ bx
2
+ cx + d, a + b - 2c + d = 0}
Důkaz uzavřenosti množiny V na součet a na násobení skalárem:
(){}
) ()( ) ()( )
() () ( ) ( ) ( )
()()()(
)()( )
() ( )
dcxbxxdbc
dcxbxxdbcxP
RVPdcxbxxdbcxP
gdxfcxebxgdebfc
gdxfcxebxgefdbcxQxP
VQPgfxexxgefxQdcxbxxdbcxP
RdcbdcxbxxdbcV
λλλλλλ
λλλλλ
λ
+++−−
=⋅+⋅+⋅+−−⋅=⋅
∈∈+++−−=
+++++++−+−+
=++++++−−+−−=+
∈+++−−=+++−−=
∈+++−−=
23
23
23
23
23
2323
23
2
2
;;22
2
22
,;2;21
,,;2
⇒ množina V je pprostorem lin. prostoru všech polynomů nejvýše 3. stupně
(b) V = {ax
3
+ bx
2
+ cx + d, a + b2 + d = 0}.
Opět se pokusíme dokázat zda je množina V uzavřená na součet i násobení
skalárem:
( ){ }
)()() () ()
() () ()()
()()()( )
()( ) ()()( )gdxfcxebbegdeb
gdxfcxebxgdbeebeb
gdxfcxebxgedbxQxP
VQPgfxexxgexQdcxbxxdbxP
RdcbdcxbxxdbV
++++++++−+−
=+++++++−+++−
=++++++−−−−=+
∈+++−−=+++−−=
∈+++−−=
2
2
2322
2322
232232
232
2
22
,;;1
,,;
⇒ součet P(x) a Q(x) nenáleží množině V a proto V není pprostorem lin. prostoru
všech polynomů nejvýše 3. stupně
(c) V = {ax
3
+ bx
2
+ cx + d, 2a + b - c + 2d = 4}
Opět se pokusíme dokázat zda je množina V uzavřená na součet i násobení
skalárem:
(){}
)() ( ) () ( )
() () ( ) ( ) ( )
()() ()()() hdxhdfbeaxfbxea
hdxhfedbaxfbxeaxQxP
VQPhxhfefxexxQdxdbabxaxxP
RdbadxdbabxaxV
++−+++++++++
=++−+++−++++++=+
∈+−++++=+−++++=
∈+−++++=
822
422422
,;422;4221
,,;422
23
23
2323
23
⇒ množina V není uzavřená na součet a tím pádem není lineárním pprostorem lin.
prostoru všech polynomů stupně nejvýše 3
4. Rozhodněte, zda jsou polynomy P
1
(x) = x
3
+ 2x
2
– 2x + 1, P
2
(x) = x
3
+ x
2
+ x – 1,
P
3
(x) = 2x
3
+ x
2
– x, P4(x) = x
2
+ 2x + 2 lineárně závislé nebo lineárně nezávislé.
Polynomy P
1
, P
2
, P
3
a P
4
jsou lineárně nezávislé ⇔ existuje pouze triviální nulová
lineární kombinace těchto polynomů:
() () () ()
()()()
;00202;000;0;0
0200
5000
1110
0211
1310
2330
1110
0211
2220
2330
1310
0211
2011
2112
1112
0211
02
022
02
02
02221122
0
2232323
4321
=⋅−−=−−==−=−===⇒
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
=+−
=+−+−
=+++
=++
=++⋅+−+⋅+−++⋅++−+⋅
=⋅+⋅+⋅+⋅
γβαγδβγδ
δβα
δγβα
δγβα
γβα
δγβα
δγβα
xxxxxxxxxxx
xPxPxPxP
⇒ existuje pouze triviální nulová LK, polynomy jsou lineárně nezávislé
Týden 21. – 27. listopadu
1. Rozhodněte, zda jsou polynomy P
1
, P
2
, P
3
, P
4
lineárně závislé. Pokud ano,
vyjádřete každý z nich jako lin. kombinaci ostatních (je-li to možné):
(a) P
1
(x) = x
3
+ x
2
+ 2x + 1, P
2
(x) = x
3
+ 2x
2
+ x + 1, P
3
(x) = 2x
3
+ x2 + x,
P
4
(x) = x
2
+ 2x + 1
Polynomy P
1
, P
2
, P
3
, P
4
jsou lineárně nezávislé ⇔ existuje pouze triviální nulová
lineární kombinace těchto polynomů. Položíme lineární kombinaci polynomů P
1
, P
2
,
P
3
a P
4
rovnu nule a zjistíme zda existuje pouze triviální řešení (všechny koeficienty
jsou nulové):
()()()()
0
0
0
0
1000
1200
1110
0211
1200
3400
1110
0211
1200
2310
1110
0211
1011
2112
1121
0211
01221212
0
2232323
4321
=
=
=
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=++⋅+++⋅++++⋅++++⋅
=⋅+⋅+⋅+⋅
δ
γ
β
α
δγβα
δγβα
xxxxxxxxxxx
PPPP
Existuje pouze triviální řešení ⇒ polynomy P
1
, P
2
, P
3
, P
4
jsou lineárně nezávislé.
(b) P
1
(x) = x
3
+ 2x
2
+ x + 2, P
2
(x) = 2x
3
+ x
2
+ 2x + 1, P
3
(x) = x
3
- x
2
+ x - 1,
P
4
(x) = 3x
3
+ 2x
2
+ 2x + 1
Stejná úvaha jako v předchozím: Zjistíme zda existuje pouze triviální řešení nulové
lineární kombinace polynomů P
1
, P
2
, P
3
a P
4
:
()( )()( )
;122;1
3
32
;1;0
0000
1000
2330
2121
3330
1000
2330
2121
1112
2121
2112
3121
01223112222
0
23232323
4321
=−−−=−=
−
+
=⇒==⇒
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=+++⋅+−+−⋅++++⋅++++⋅
=⋅+⋅+⋅+⋅
βγδα
γδ
βγδ
δγβα
δγβα
volím
xxxxxxxxxxxx
PPPP
Daná nulová lineární kombinace má nekonečně mnoho řešení ⇒ Polynomy P
1
, P
2
,
P
3
a P
4
jsou lineárně závislé.
Z vypočtených koeficientů získáme tvar:
0
00111
321
4321
=+−
=⋅+⋅+⋅−⋅
PPP
PPPP
Z tohoto vztahu vyjádříme polynomy P
1
, P
2
, P
3
jako lineární kombinaci ostatních:
123
312
321
PPP
PPP
PPP
−=
+=
−=
Polynom P
4
nelze vyjádřit lineární kombinací ostatních.
2. Pro jaké hodnoty parametru p jsou vektory (1, 1,-p), (1,-2, 3), (1, p,-1) lineárně
nezávislé?
Vektory jsou lineárně nezávislé ⇔ existuje pouze triviální nulová lineární kombinace
těchto vektorů:
()()()
()()()(
03
02
0
0,0,01,,13,2,1,1,1
:
;1,,1;3,2,1;,1,1
=−+−
=+−
=++
=−⋅+−⋅+−
=⋅+⋅+⋅
)
−=−=−=
γβα
γβα
γβα
γβα
γβα
p
p
pp
owvu
LKnulová
pwvpu
rrrr
rrr
U homogenní soustavy jsou jen dvě možnosti:
1) matice soustavy A je regulární: soustava má jen 1 řešení a sice nulové
2) matice soustavy A je singulární: soustava má nekonečně mnoho řešení
Pouze nulové řešení tedy vyjde ⇔ matice soustavy A je regulární ⇔ det A ≠ 0:
;1;6
2
64255
0650det
6531232
13
21
111
13
21
111
det
2
22
=−=⇒
−
⋅+±
=
=+−−⇔=
+−−=−+−+−=
−−
−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
ppp
ppA
ppppp
p
p
p
p
Vektory jsou LN: ()()( )∞∪−∪−∞−∈∀ ,11,66,p
3. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte, zda jsou lineárně nezávislé
také vektory:
(a) u + 2v - w, 2u - 2v + 3w, u + 3v - 2w.
Dané vektory jsou lineárně nezávislé ⇔ existuje pouze jejich triviální nulová lineární
kombinace:
Obecně platí pro triviální nulovou LK: 0;
1
=∀=⋅
∑
=
i
n
i
ii
ou αα
rr
Nulovou lineární kombinaci zadaných vektorů upravíme na LK vektorů u, v, w:
()( )( )
()( )( )owvu
owvuwvuwvu
owvuwvuwvu
rrrr
rrrrrrrrrr
rrrrrrrrrr
=⋅−+−+⋅+−+⋅++
=⋅−⋅+⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅
=−+⋅++−⋅+−+⋅
γβαγβαγβα
γγγβββααα
γβα
233222
233222
233222
Vektory u, v a w jsou lineárně nezávislé ⇒ jejich koeficienty musí být nulové:
0
0
0
100
010
121
150
010
121
150
160
121
231
322
121
023
0322
02
=
=
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=−+−
=+−
=++
γ
β
α
γβα
γβα
γβα
Koeficienty u zadaných vektorů vyšly také nulové ⇒ tyto vektory jsou LN.
(b) u + 2v - 2w, 2u + v + 3w, u - v + 5w.
Opět napíšeme nulovou LK těchto vektorů a ověříme zda má pouze triviální řešení:
()()( )
()()( )owvu
owvuwvuwvu
owvuwvuwvu
rrrr
rrrrrrrrrr
rrrrrrrrrr
=⋅++−+⋅−++⋅++
=⋅+⋅−⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−⋅+⋅
=+−⋅+++⋅+−+⋅
γβαγβαγβα
γγγβββααα
γβα
53222
53222
53222
Vektory u, v, w jsou určitě LN ⇒ existuje pouze triviální nulová LK vektorů u, v a w
(jejich koeficienty jsou nulové):
()1,1,1:
1:
1
1
000
110
121
770
330
121
532
112
121
0532
02
02
−
=
−=
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=++−
=−+
=++
řešení
volím γ
β
α
γβα
γβα
γβα
Nulová LK zadaných vektorů má kromě triviálního řešení ještě ∞ dalších ⇒ zadané
vektory jsou LZ.
4. Najděte bázi podprostoru vekt. prostoru všech polynomů stupně nejvýše 3, který je
generován polynomy:
x
3
+ 2x - 1, x
2
- 3x + 2, x
3
+ 2, 2x
3
+ x
2
- x + 3, x
2
- x - 1.
Zadané polynomy označíme P
1
, P
2
, P
3
, P
4
, P
5
a množinu {P
1
, P
2
, P
3
, P
4
, P
5
}
označíme M, vektorový pprostor generovaný těmito polynomy je , pak:
množina M je báze pprostoru ⇔ P
1
, P
2
, P
3
, P
4
, P
5
jsou LN
nebo
množina B ⊂ M je báze pprostoru
⇒ zjistíme zda jsou polynomy množiny M lineárně nezávislé (tedy jestli existuje
pouze jedna jejich nulová lineární kombinace a sice triviální):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()( )0,1,1,1,1,1,0,1,1,1:
;11212
;101;101;1;0
;10212
;110;110;0;1
00000
11100
11010
02101
33300
22200
11010
02101
15320
15230
11010
02101
13221
11032
11010
02101
0322
032
0
02
013222312
223323
−−−−−
−=⋅−=−−=
−=−−=−−=−=+−=+−=⇒==
−=⋅−−=−−=
−=−−=−−==+−=+−=⇒==
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−−
=−+++−
=−−−
=++
=++
=−−⋅++−+⋅++⋅++−⋅+−+⋅
řešení
zvolím
zvolím
xxxxxxxxxx
δγα
εδβεδγδε
δγα
εδβεδγδε
εδγβα
εδβα
εδβ
δγα
εδγβα
Soustava má nekonečně mnoho řešení ⇒ Polynomy jsou LZ
⇒ vypustíme-li dva z polynomů P
3
, P
4
, P
5
, budou zbylé už LN:
B = { x
3
+ 2x - 1, x
2
- 3x + 2, x
3
+ 2 } je báze vektorového pprostoru vektorového
prostoru všech polynomů stupně nejvýše 3
Týden 28. listopadu – 4. prosince
1. V je podprostor vekt. prostoru všech polynomů stupně nejvýše 3, který je
generován polynomy x
3
+ x + 1, 2x
3
+ x
2
+ x - 1, x
3
+ x
2
- 2, x
3
+ x
2
– x + 1,
W je podprostor vekt. prostoru všech polynomů stupně nejvýše 3, který je
generován polynomy x
3
- x
2
+ x + 1, x
2
+ 2x + 1, x
3
+ 3x + 2, 2x
3
+ x
2
+ x. Najděte
bázi a spočtěte dimensi podprostorů V, W, V + W, V ∩ W:
Množina generátoru vektorového pprostoru V obsahuje 4 polynomy, které ovšem
nemusí být lineárně nezávislé. Proto zjistíme zda jsou či nejsou lineárně závislé:
( ) ( ) ( ) ( )
;12102;101;0;1
0000
1000
1110
1121
3000
1000
1110
1121
0330
2110
1110
1121
1211
1011
1110
1121
02
0
0
02
012121
2323233
=+−−=−−−=−=−−=−−==⇒=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−−
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=+−−
=−+
=++
=+++
=+−+⋅+−+⋅+−++⋅+++⋅
βγδαδγβδγ
δγβα
δβα
δγβ
δγβα
δγβα
zvolím
xxxxxxxxxx
Gaussovou eliminací jsme zjistili, že hodnost matice je 3 ⇒ dim V = 3.
Báze pprostoru V bude obsahovat tedy jen 3 polynomy. Z množiny generátoru
pprostoru V můžeme vypustit jeden z lineárně závislých polynomů (ten jehož
koeficient vyšel nenulový), 1., 2., nebo 3.:
Báze vektorového pprostoru V je { }1,12,1
23233
+−+−
Vloženo: 25.06.2009
Velikost: 494,89 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Reference vyučujících předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Podobné materiály
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - riesene priklady
- 01M2 - Matematika 2 - riesene priklady z laplacky
- X01ALG - Úvod do algebry - Řesene priklady
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení funkce a jejich derivace
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení algebra,mno·iny, posloupnosti
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení funkce, limity
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení integrály
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešenínevlastní integrály, aplikace, optimalizace, posloupnosti
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady k procvičení Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady a řešení Laplaceova transformace, řady
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady a řešení obyčejné diferenciální rovnice
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady Fourierovi řady
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady Sobotíková
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady
- X01MA2 - Matematika 2 - Řešené příklady ke zkoušce Sobotíková
- X02FY1 - Fyzika 1 - Další příklady Bednařík
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady a řešení
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady na Lagrangeovy rovnice 2. druhu
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - Příklady z materiálů
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - Příklady z přednášek
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Příklady ke zkoušce
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Příklady
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Příklady 1
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Příklady 2
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Vypracované příklady
- 01M4 - Matematika 4 - Řešené příklady z pravděpodobnosti
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady II
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady III
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady z přednášek
- X01MA2 - Matematika 2 - Řešené písemkové příklady Kalousova
- 01M2 - Matematika 2 - ukazkove priklady ku skuske
- 01UA - Úvod do algebry - pisomkove priklady s riesenim uloh
- 01M1 - Matematika 1 - vzorove priklady ku skuske
- 01M1 - Matematika 1 - vzorove priklady ku skuske
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - tahak na priklady
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - priklady aj s odpovedami
- X17TEP - Teorie elektromagnetického pole - priklady ku skuske odporucane a prepocitane
- X31EOS - Elektronické obvody pro sdělovací techniku - prepocitane priklady na skusku
- X31EOS - Elektronické obvody pro sdělovací techniku - prepocitane priklady na skusku ina varianta
- X34ESS - Elektronické součástky a struktury - priklady
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k prvej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k prvej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k druhej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k druhej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady s riesenim ku skuske
- 01M2 - Matematika 2 - priklady s riesenim ku skuske
- A0B01PSI - Pravděpodobnost, statistika a teorie informace - TI - příklady
Copyright 2024 unium.cz