- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Příklady na Lagrangeovy rovnice 2. druhu
X02FY1 - Fyzika 1
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálPříklad
PomocíLagrangeovýchrovnicpopištepohybmatematickéhorovinnéhokyvadla.Konstantnídélkazá-
věsunechťje l,přičemžjehohmotnostzanedbáváme.Hmotnostzávaží(hmotnéhobodu)jem.Situace
jezachycenanaobrázku1.
Řešení
xx
ϕ
y
y
l
O
Obrázek1:Pohybrovinnéhomatematickéhokyvadla.
Stupeňvolnostirovinnéhomatematickéhokyvadla s=1(konstantnídélkazávěsuaomezenísena
pohybrovinnýzavádídvěholonomnískleronomnívazby),takžekjehopopisuvystačímepouzesjednou
zobecněnousouřadnicí.Toutozobecněnousouřadnicíbudestředovýúhel ϕ,vizobr.1.Transformační
vztahymezizobecněnousouřadnicíasouřadnicemikartézskýmjenásledující
x=lsinϕ, (1)
y=l −lcosϕ. (2)
Zderivujemevztahy(1)a(2),čímždostanemesložkyrychlostihmotnéhobodu
1
v
x
=˙x=l˙ϕcosϕ, (3)
v
y
=˙y=l˙ϕsinϕ, (4)
AbychomurčiliLagrangeovufunkci L = T − U,musímenejdříveurčitkinetickou T apotenciální U
energii.Prokinetickouenergiimůžemepsát,že
T =
1
2
mv
2
=
1
2
m(v
2
x
+v
2
y
)=
1
2
m(˙x
2
+˙y
2
). (5)
Zasložkyrychlostivrovnosti(5)dosadímevýrazy(3)a(4),čímždostáváme
T =
1
2
m(l
2
˙ϕ
2
cos
2
ϕ+l
2
˙ϕ
2
sin
2
ϕ)=
1
2
ml
2
˙ϕ
2
(sin
2
ϕ+cos
2
ϕ)
bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
=1
=
1
2
ml
2
˙ϕ
2
. (6)
1
Přiderivováníjetřebasiuvědomit,žezobecněnásouřadnicejefunkcíčasuϕ=ϕ(t)ažedélkazávěsujekonstantní
l=konst..
1
ProPotenciálníenergiimůžemepsát,že
U =mgy . (7)
Zay vevztahu(7)dosadímevýraz(2)
U =mg(l −lcosϕ)=mgl −mglcosϕ. (8)
Pomocírovností(6)a(8)můžejižvyjádřitLagrangeovufunkci
L=T −U =
1
2
ml
2
˙ϕ
2
−mgl+mglcosϕ. (9)
Lagrangeovurovnicimůžemenapsatjako
d
dt
parenleftbigg
∂L
∂˙q
1
parenrightbigg
−
∂L
∂q
1
=0. (10)
Protoževnašempřípaděq
1
≡ ϕ,přepíšemerovnici(10)
d
dt
parenleftbigg
∂L
∂˙ϕ
parenrightbigg
−
∂L
∂ϕ
=0. (11)
DerivacíLagrangeovyfunkce(9)dostáváme
∂L
∂˙ϕ
=
1
2
ml
2
2˙ϕ=ml
2
˙ϕ. (12)
Ještězderivujemevýraz(12)podlečasu
d
dt
parenleftbigg
∂L
∂˙ϕ
parenrightbigg
=
dml
2
˙ϕ
dt
=ml
2
¨ϕ. (13)
Dále
∂L
∂ϕ
=−mglsinϕ. (14)
Dosazenímvýrazů(13)a(14)doLagrangeovyrovnice(11)dostaneme
ml
2
¨ϕ+mglsinϕ=0. (15)
Rovnici(15)podělímevýrazemml
2
¨ϕ+
g
l
sinϕ=0. (16)
Rovnice(16)popisujerovinnématematickékyvadlo(pohybovárovnice).
Příklad
Dvablokyostejnéhmotnostimkloužoubeztřenímezilištami,vizobrázek2.Blokyjsouspojenytyčí
délky l,ukterézanedbávámehmotnost.PomocíLagrangeovýchrovnicpopištepohybtěchtobloků.
2
x
ϕ
y
l
Obrázek2:Pohybblokůvymezenýlištami.
Řešení
Jednáseosystémsjednímstupněmvolnosti,s=1(Každýzblokůsepohybujepopřímce,takžekaždý
blokmástupeňvolnostirovenjednéaobadohromadydajístupeňvolnostidva,avšakjsouspojeni
tyčí,kterápředstavujeskleronomníholonomnívazbusnižujícístupeňvolnostiojedna,tudížvýsledný
stupeňvolnostijerovenjedné).Jakozobecněnousouřadnicizvolímeúhel ϕ,kterýsvírátyčsosou x,
viz2.Polohablokupohybujícíhosevodorovnějedánasouřadnicí
x=lcosϕ (17)
apolohablokupohybujícíhosesvislejedánasouřadnicí
y=lsinϕ. (18)
Vztahy(17)a(18)představujítransformačnívztahymezikartézskými souřadnicemiazobecněnou
souřadnicí.Rychlostvodorovněpohybujícíhoseblokujedánajako
˙x=−l˙ϕsinϕ (19)
arychlostblokupohybujícíhosesvisleje
˙y=−l˙ϕcosϕ. (20)
Kinetickáenergievodorovněpohybujícíhoseblokuje
1
2
m˙x
2
(21)
akinetickáenergiesvislepohybujícíhoseblokuje
1
2
m˙y
2
. (22)
Takževýslednákinetickáenergieoboublokůjedánasoučtemjejichkinetickýchenergií(21)a(22)
T =
1
2
m˙x
2
+
1
2
m˙y
2
=
1
2
m(˙x
2
+˙y
2
). (23)
3
Dosadímezarychlosti ˙xa˙y výrazy(19)a(20),takže
T =
1
2
m(˙x
2
+˙y
2
)=
1
2
ml
2
˙ϕ
2
(sin
2
ϕ+cos
2
ϕ)
bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
=1
=
1
2
ml
2
˙ϕ
2
. (24)
Potenciálníenergievodorovněpohybujícíhoseblokujerovnanuleapotenciálníenergiesvislepohybu-
jícíhosebloku,atímiceléhosystému,je
U =mgy (25)
Dosadíme-lidovztahu(25)výraz(18),potomdostaneme
U =mg
Vloženo: 23.04.2009
Velikost: 85,32 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X02FY1 - Fyzika 1
Reference vyučujících předmětu X02FY1 - Fyzika 1
Podobné materiály
- X01ALG - Úvod do algebry - Řesene priklady
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení funkce a jejich derivace
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení algebra,mno·iny, posloupnosti
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení funkce, limity
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešení integrály
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady a řešenínevlastní integrály, aplikace, optimalizace, posloupnosti
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady k procvičení Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady a řešení Laplaceova transformace, řady
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady a řešení obyčejné diferenciální rovnice
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady Fourierovi řady
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady Sobotíková
- X01MA2 - Matematika 2 - Příklady
- X01MA2 - Matematika 2 - Řešené příklady ke zkoušce Sobotíková
- X02FY1 - Fyzika 1 - Další příklady Bednařík
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady a řešení
- X02FY1 - Fyzika 1 - Příklady
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - Příklady z materiálů
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - Příklady z přednášek
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Příklady ke zkoušce
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Příklady
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Příklady 1
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Příklady 2
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Vypracované příklady
- 01M4 - Matematika 4 - Řešené příklady z pravděpodobnosti
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady II
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady III
- X35ESY - Elektronické systémy - Řešené příklady z přednášek
- X01MA2 - Matematika 2 - Řešené písemkové příklady Kalousova
- 01M2 - Matematika 2 - ukazkove priklady ku skuske
- 01UA - Úvod do algebry - pisomkove priklady s riesenim uloh
- 01M1 - Matematika 1 - vzorove priklady ku skuske
- 01M1 - Matematika 1 - vzorove priklady ku skuske
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - tahak na priklady
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - riesene priklady
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - priklady aj s odpovedami
- X17TEP - Teorie elektromagnetického pole - priklady ku skuske odporucane a prepocitane
- X31EOS - Elektronické obvody pro sdělovací techniku - prepocitane priklady na skusku
- X31EOS - Elektronické obvody pro sdělovací techniku - prepocitane priklady na skusku ina varianta
- X34ESS - Elektronické součástky a struktury - priklady
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k prvej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k prvej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k druhej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady k druhej pisomke v semestri
- 01M2 - Matematika 2 - priklady s riesenim ku skuske
- 01M2 - Matematika 2 - priklady s riesenim ku skuske
- 01M2 - Matematika 2 - riesene priklady z laplacky
- X01ALG - Úvod do algebry - riesene priklady
- A0B01PSI - Pravděpodobnost, statistika a teorie informace - TI - příklady
- A3B02FY1 - Fyzika 1 pro KyR - Maxwellovy rovnice
Copyright 2024 unium.cz