- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál¢2+1
=
flfl
flfl
flfl
x+p=2p
q¡p2=4 =t
dxp
q¡p2=4 =dt
flfl
flfl
flfl
= 1pq¡p2=4
Z dt
t2+1
pron >1podobn płevedemenav poŁet
Z dt
(t2+1)n =
Z 1
(t2+1)n¡1 dt¡
Z t2
(t2+1)n dt
Druh integrÆluprav meperpartes
I00=
flfl
flfl
fl
u=t v0= 2t2(t2+1)n
u0=1 v= 12(1¡n)(t2+1)n¡1
flfl
flfl
fl
= t2(1¡n)(t2+1)n¡1 ¡
Z dt
2(1¡n)(t2+1)n¡1
... postupn sni ujmemocninu.
PoznÆmka.Dostanemerekurentn vzorec
In=2n¡32n¡2In¡1 ¡ y2(n¡1)(y2+1)n¡1 ; n >1
I1=arctgt+c
Integracedal„ chtypøfunkc
1)R R(eax)dx(a 6=0):
Z
R(eax)dx=
flfl
flfl
flfl
eax=t
x= 1alnt
dx= 1atdt
flfl
flfl
flfl=
Z
R(t)1atdt
x 2 R; t 2(0;+1)
2)R R(sinx;cosx)dx:
sinx=2sinx2cosx2 = 2sin
x
2cos
x
2
cos2 x2+sin2 x2 =
2tgx2
1+tg2 x2
cosx=cos2 x2 ¡sin2 x2 =cos
2 x
2 ¡sin
2 x
2
cos2 x2+sin2 x2 =
1¡tg2 x2
1+tg2 x2
Z
R(sinx;cosx)dx=
flfl
flfl
flfl
tgx2 =t
x=2arctgt
dx= 21+t2dt
flfl
flfl
flfl=
=
Z
R
2t
1+t2;
1¡t2
1+t2
¶ 2
1+t2 dt
x 2(¡…;…); t 2 R
2a) sudØmocniny :R R(sin2x;cos2x;sinxcosx)dx
(R(¡sinx;¡cosx)=R(sinx;cosx))
sin2x= sin
2x
cos2x+sin2x =
tg2x
1+tg2x
cos2x= cos
2x
cos2x+sin2x =
1
1+tg2x
sinxcosx= sinxcosxcos2x+sin2x = tgx1+tg2x
Z
R(sin2x;cos2x;sinxcosx)dx=
flfl
flfl
flfl
tgx=y
x=arctgt
dx= 11+t2dt
flfl
flfl
flfl
x 2(¡…2; …2); t 2 R
lichÆ vsinnebovcos:
Z
R(sin2x;cosx)sinxdx=
flfl
flfl
flfl
cosx=t
¡sinxdx=dt
sin2x=1¡t2
flfl
flfl
flfl2b)
Z
R(sinx;cos2x)cosxdx=
flfl
flfl
flfl
sinx=t
cosxdx=dt
cos2x=1¡t2
flfl
flfl
flfl2c)
2d)Rsinn x¢cosm xdx:prolichØmŁinviz2b),2c);
prosudÆm;npłechodkdvojnÆsobnØmuargumentu
sin2x= 12(1¡cos2x); cos2x= 12(1+cos2x)
3)R R
‡
x; n
q
ax+b
cx+d
·
,ad¡bc 6=0:
Z
R
x; n
rax+b
cx+d
¶
=
flfl
flfl
flfl
fl
n
q
ax+b
cx+d =t
x=R1(t)
dx=R01(t)dt
flfl
flfl
flfl
fl
=
=
Z
R¡R1(t);t¢R01(t)dt
4)R R(x;pax2+bx+c),a 6=0:
† tzv.Eulerovysubstituce
† substitucepomoc hyperbolick chfunkc
† substitucepomoc goniometrick chfunkc :
vytknemea;
dopln menaŁtverec;
substituc płevedemenan kter ztypø(a >0):
a) R R(x;px2+a2)dx
b) R R(x;pa2 ¡x2)dx
c) R R(x;px2 ¡a2)dx
d) R R(x;p¡x2 ¡a2)dx
Z
R¡x;
p
x2+a2¢dx=
flfl
flfl
flfl
x=atgt
dx= acos2tdtp
x2+a2= acost
flfl
flfl
flfl4a)
x 2 R; t 2(¡…2; …2)
Z
R¡x;
p
a2 ¡x2¢dx=
flfl
flfl
flfl
x=asint
dx=acostdtp
a2 ¡x2=acost
flfl
flfl
flfl4b)
x 2(¡a;a); t 2(¡…2; …2)
Z
R¡x;
p
x2 ¡a2¢dx=
flfl
flfl
flfl
fl
x= asint
dx=¡a costsin2tdtp
x2 ¡a2=a costjsintj
flfl
flfl
flfl
fl
4c)
x 2(a;+1); t 2(0; …2)
x 2(¡1;¡a); t 2(¡…2;0)Z
R¡x;
p
¡x2 ¡a2¢dx4d)
UrŁit integrÆl
De nice. D len intervalu ha;bi jekoneŁnÆmo ina D ‰
‰ha;biobsahuj c a;b.
ZnaŁ meD=fx0;:::;xng,a=x0 < x1 < ¢¢¢ < xn=b.
De nice. Proomezenoufunkci f naha;biad len D in-
tervaluha;bizavÆd medoln ahorn integrÆln souŁet:
S(f;D)=
nX
i=1
inffhxi¡1;xii¢(xi ¡xi¡1)
S(f;D)=
nX
i=1
supfhxi¡1;xii¢(xi ¡xi¡1)
De nice. D0 jezjemn n D,jestli eD0 D.
D0=D[fx0g,S(f;D0)‚ S(f;D),S(f;D0)• S(f;D)
Tvrzen .Jsou-liD1;D2 d len intervaluha;bi,f omezenÆ
funkcenaha;bi,pak
(b¡a)inff • S(f;D1)• S(f;D2)•(b¡a)supf :
Døkaz:D0=fa;bg
(b ¡ a)inff = S(f;D0) • S(f;D1) • S(f;D1 [ D2) •
• S(f;D1 [D2)• S(f;D2)• S(f;D0)•(b¡a)supf
De nice.Je-lisupremumdoln chsouŁtørovnoin muhor-
n chsouŁtønaha;bi,naz vÆmetutohodnotuurŁit m(Ri-
emannov m)integrÆlemfunkcef naha;bi.
OznaŁen :Rba f,Rba f(x)dx,(R){Rba f(x)dx
a... doln mez,b... horn mez,f ... integrand
Pł klad.Rba cdx=c(b¡a)
S(c;Dn)=S(c;Dn)=cPni=1(xi ¡xi¡1)=c(b¡a)
Pł klad.R10 xdx= 12:
Dn=f0; 1n; 2n;:::;1g
S(f;Dn)=Pni=1 i¡1n ¢ 1n = n2¡n2n2 ! 12
S(f;Dn)=Pni=1 in ¢ 1n = n2+n2n2 ! 12
Pł klad.R10 signxdx=1:
Dn=f0; 1n;1g
S(f;Dn)= n¡1n !1,S(f;Dn)=1
Pł klad.R10 d(x)dxneex.(d(x)=1prox 2 Q,jinak0):
S(f;D)=0,S(f;D)=1
PoznÆmka. Hodnota Riemannova integrÆlu nezÆle
nahodnotÆchfunkcevkoneŁn mnohabodech.Hodnota
obecn j„ ho Lebesgueova integrÆlu (d len v oboru hod-
not) nezÆle na hodnotÆch ve spoŁetn mnoha bodech:
(L){R10 d(x)dx=0.
V ta.Rba f existuje,pokudplat n kterÆzpodm nek:
1)f jespojitÆfunkcenaha;bi.
2)f jemonotonn funkcenaha;bi.
Døkaz:2)proneklesaj c :Dn=fa;a+ b¡an ;:::;bg
S(f;Dn)=Pni=1f(xi¡1)¢ b¡an
S(f;Dn)=Pni=1f(xi)¢ b¡an
S(f;Dn)¡S(f;Dn)= b¡an ¢¡f(b)¡f(a)¢!0
V ta.Nech»Rba f,Rba g existuj ,c 2 R.Pak:
1)Rba(f+g)=Rba f+Rba g,
2)Rba cf =cRba f,
3)je-lif • g naha;bi,pakRba f •Rba g,
4)flflRba fflfl•Rba jfj.
Døkaz:1)infff(x)+g(x): x 2 Ig‚inff(I)+infg(I)
S(f+g;D)‚ S(f;D)+S(g;D)
supS(f+g;D)‚Rba f+Rba g
podobn infS(f+g;D)•Rba f+Rba g
2)c ‚0:S(cf;D)=cS(f;D),S(cf;d)=cS(f;D)
supS(¡f;D)=sup¡S(f;D)=¡infS(f;d)=¡Rba f
infS(¡f;D)=inf¡S(f;D)=¡supS(f;d)=¡Rba f
3)S(f;D)• S(g;D)... supfS(f;D)g•supfS(g;D)g
4)¡jfj• f •jfj... ¡Rba jfj•Rba f •Rba jfj(bezex.)
PoznÆmka. UrŁit integrÆljelineÆrn zobrazen namno-
in integrovateln chfunkc ,Rba : R(a;b)! R.
V ta.Nech»a < b < c.PakRca f existujeprÆv tehdy,kdy
existuj Rba f aRcb f.VtakovØmpł pad plat
Rc
a f =
Rb
a f+
Rc
b f :
Døkaz(nÆznak): D1 d len ha;bi,D2 d len hb;ci
D=D1 [D2 jed len ha;ciobsahuj c b
S(f;D1)+S(f;D2)=S(f;D)
S(f;D1)+S(f;D2)=S(f;D)
PoznÆmka. Raa f =0, Rab f =¡Rba f,v „euvedenÆv ta
prov„echnaa;b;c.
PoznÆmka. Lzeintegrovatifunkce poŁÆstechspojitØ ,
tj.kterØmaj jenkoneŁn mnohobodønespojitostiavnich
koneŁnØjednostrannØlimity.(Podobn pro poŁÆstechmo-
notonn funkce.)
PoznÆmka. D⁄=D[ft1;t2;:::;tng,ti 2(xi¡1;xi)
S(f;D⁄)=Pni=1f(ti)¢(xi ¡xi¡1)
(D⁄)=maxfxi ¡xi¡1: i=1;:::;ngR
b
a f(x)dx=lim (D⁄)!0S(f;D
⁄)
V ta (ostłedn hodnot ). Je-li f spojitÆna ha;bi,pak
existujec 2(a;b)tak, e
f(c)= 1b¡a
Z b
a
f(x)dx
(stłedn hodnotafunkcef naha;bi).
Døkaz:
(b¡a)minfha;bi• Rba f(x)dx •(b¡a)maxfha;bi
minfha;bi• 1b¡a Rba f(x)dx •maxfha;bi
f nab vÆv„echhodnotmeziminfha;biamaxfha;bi
V ta.Nech»Rba f(t)dtexistuje.Pakfunkce
F(x)=
Z x
a
f(t)dt; x 2ha;bi
mÆnÆsleduj c vlastnosti:
1)jespojitÆ.
2)F0(x)=f(x)proka d bodspojitostifunkcef.
Døkaz:F jede novÆna(aditivitanade niŁn moboru)
1)jfj• M naha;bi
jF(x+h)¡F(x)j=flflRx+ha f(t)dt¡Rxa f(t)dtflfl=
=flflRx+hx f(t)dtflfl•signhRx+hx jf(t)jdt •
•signhRx+hx M dt=M ¢jhj!0proh !0(§)
limh!0(§)F(x+h)=F(x)
2)flfl1h¡F(x+h)¡F(x)¢¡f(x)flfl=
=flfl1h Rx+hx f(t)dt¡ 1h Rx+hx f(x)dtflfl=
=flfl1h Rx+hx ¡f(t)¡f(x)¢dtflfl• 1h Rx+hx jf(t)¡f(x)jdt •
(f spoj.vx:pro" >0jejf(t)¡f(x)j < "naokol x)
• 1h Rx+hx "dt= 1h ¢h"="
F0(x)=limh!0(§) 1h¡F(x+h)¡F(x)¢=f(x)
Døsledek.FunkcespojitÆnaintervalumÆnatomtointer-
valuprimitivn funkci.
Døkaz:a 2 I,F(x)=Rxa f(t)dt
F(x)=F(a)+Rxa f(t)dt
PoznÆmka. ProfunkcepoŁÆstechspojitØjsou(vbodech
nespojitosti)jednostrannØderivaceF rovnypł slu„n mjed-
nostrann mlimitÆmf.
Pł klad. f(x)=signx
F(x)=
Z x
0
f(t)dt=
‰ Rx
0 1dt=x; x ‚0Rx
0 ¡1dt=¡x; x •0
=jxj
F0¡(0)=¡1=limx!0¡ f(x)=f(0¡)
F0+(0)=1=limx!0+f(x)=f(0+)
V ta(Newtonova{Leibnizovaformule). Jestli eRba f exis-
tujeaF jeprimitivn funkcekf naha;bi,pak
Z b
a
f(x)dx=F(b)¡F(a):
Døkaz:D=fx0;x1;:::;xng
F(b)¡F(a)=F(xn)¡F(x0)=Pni=1¡F(xi)¡F(xi¡1)¢=
(F spoj.,vlastn der.,Lagrange... ex.ci 2(xi¡1;xi))
=Pni=1F0(ci)(xi ¡xi¡1)=Pni=1f(ci)(xi ¡xi¡1)
S(f;D)• F(b)¡F(a)• S(f;D)
supS(f;D)• F(b)¡F(a)•infS(f;D)
P „emeRba f(x)dx=[F(x)]ba.
PoznÆmka.NewtonøvintegrÆl:
(N){Rba f(x)dx=F(b¡)¡F(a+).
Existuje-liRiemannøviNewtonøvintegrÆl,pakjsoustejnØ.
Pł klad. f(x)=signx
(R){R1¡1f(x)dx=0,
(N){R1¡1f(x)dxneex.
Pł klad. f(x)=e¡x2
(R){R10 f(x)dxex.,
(N){R10 f(x)dxex.,aleF nelzevyjÆdłitpomoc elementÆr-
n chfunkc .
Pł klad. f(x)= 1px
(R){R10 f(x)dxneex.,
(N){R10 f(x)dx=[2px]10=2.
Pł klad. f(x)=x¡2
(R){R11 f(x)dxneex.,
(N){R11 f(x)dx=[¡x¡1]11 =1.
Nevlastn integrÆl
De nice. Nech»pro f: (a;b) ! R, a;b 2 R [f§1g,jeR
d
c f 2 R proka d intervalhc;di‰(a;b).PakpoklÆdÆme
Z b
a
f(x)dx= limc!a+
lim
d!b¡
Z d
c
f(x)dx
¶
:
Tvrzen .Poład limitnen podstatnØ.
Døkaz:e 2(a;b):R
b
a f(x)dx=limc!a+
Re
c f(x)dx+limd!b¡
Rd
e f(x)dx.
Pł klady.
1)R1¡1 dx1+x2 =[arctgx]1¡1= …2 ¡(¡…2)=…,konverguje.
2)R11 dxx =[lnx]11 =1¡0=1,existuje.
3)R1¡1 xdx1+x2 = 12£ln(1+x2)⁄1¡1=1¡1,neexistuje.
V ta.1)Jestli ejfj• gna(a;b),f jepoŁÆstechspojitÆaR
b
a g konverguje,pakkonvergujei
Rb
a f.
2)Jestli ef • g na(a;b)aRba f =+1,pakRba g=+1.
Pł klady.
Z 1
0
xa dx=
8>
<
>:
[lnx]10=0¡(¡1)=1; a=¡1
h
xa+1
a+1
i1
0
=
(
1
a+1 ¡
1
a+1 =1; a < ¡1
1
a+1 ¡0=
1
a+1 ; a > ¡1
Z 1
1
xa dx=
8>
<
>:
[lnx]11 =1¡0=1; a=¡1
h
xa+1
a+1
i1
1
=
(
1¡ 1a+1 =1; a > ¡1
0¡ 1a+1 = ¡1a+1 ; a < ¡1
Tvrzen . Nech» P;Q jsoupolynomy, Q nemÆv ha;+1)
kołeny.Pak Z 1
a
P(x)
Q(x)dx
kovergujeprÆv tehdy,kdy stQ ‚stP+2.
Døkaz:n=stP ¡stQ
limx!1 P(x)Q(x)xn =A 2 Rnf0g,B NOA >0
existujeb > a;0tak, e P(x)Q(x)xn 2¡12A; 32A¢prox > b
1
2Ax
n < P(x)
Q(x) <
3
2Ax
n
R1
b
3
2Ax
n konv.pron < ¡1,R1
b
1
2Ax
n=1pron ‚¡1
R1
b
P(x)
Q(x) a
R1
a
P(x)
Q(x) konv.prÆv pron < ¡1,tj.n •¡2
Pł klad.R10 x2+4x+5x4+1 dxkonv.,R10 x2+4x+5x3+1 dx=+1.
Pł klad(funkcegama).
(x)=
Z 1
0
tx¡1e¡t dt:
1)IntegrÆlkonvergujeprox >0:
jtx¡1e¡tj• tx¡1R
1
0 t
x¡1 dtkonvergujeprox¡1> ¡1,tj.x >0
zvolmen ‚ x¡1,jtx¡1e¡tj• tne¡tR
1
1 t
ne¡t dt=(perpartes)=[Pn(t)e¡t]11 =
=0¡Pn(1)e¡1 ... konverguje
2) (1)=1:
(1)=R10 e¡t dt=[¡e¡t]10 =0¡(¡1)=1
3) (x+1)=x (x):
(x+1)=R10 txe¡t dt=
flfl
flfl u=tx v0=e¡tu0=xtx¡1 v=¡e¡t
flfl
flfl=
=£¡txe¡t⁄10 +R10 xtx¡1e¡t dt=x (x)
4) (n)=(n¡1)!:
(n)=(n¡1) (n¡2)=¢¢¢=(n¡1)! (1)=(n¡1)!
5) (12)=p…:
(12)=R10 1pt e¡t dt=
flfl
flfl
fl
pt=y
dt
2pt =dy
flfl
flfl
fl=2
R1
0 e
¡y2 =p…
Pł klad (Laplaceova transformace). Nech» funkce f:
(0;+1) ! R je po ŁÆstech spojitÆ a mÆ omezen ex-
ponenciÆln røst, tj. existuj konstanty K;a 2 R tak, e
jf(t)j • Keat.Laplaceov m obrazem funkce f jefunkce
F danÆpłedpisem
F(p)=
Z 1
0
f(t)e¡pt dt:
De novÆnaprop > a(Rep > a):
jf(t)e¡ptj• Ke(a¡p)t
R1
0 Ke
(a¡p)t dt=£ K
a¡pe
(a¡p)t⁄1
0 =0¡
K
a¡p =
K
p¡a
AplikaceurŁitØhointegrÆlu
ha;bi,Rba f existuje:
existuj posloupnosti(D0k)1k=1,(D00k)1k=1 d len ha;bi:
limk!1 S(f;D0k)=limk!1 S(f;D00k)=Rba f
proDk =D0k [D00k:
limk!1 S(f;Dk)=limk!1 S(f;Dk)=Rba f
V ta.Nech»f • gjsouspojitØfunkcede novanØnaha;bi.
ObsahplochyvymezenÆpł mkamiorovnic chx=a,x=b
agrafyfunkc f;g je
Z b
a
¡g(x)¡f(x)¢dx:
Døkaz:existuj posloupnostid len (Df;k)1k=1,(Dg;k)1k=1:
limk!1 S(f;Df;k)=limk!1 S(f;Df;k)=Rba f
limk!1 S(g;Dg;k)=limk!1 S(g;Dg;k)=Rba g
prod len Dk =Df;k [Dg;k:
S(g;Dk)¡S(f;Dk)• P • S(g;Dk)¡S(f;Dk)R
b
a(g¡f)• P •
Rb
a(g¡f)
PoznÆmka. M stospojitostistaŁ ,abyob funkcem ly
vlastn integrÆl.
V ta. Nech» f: ha;bi ! R mÆspojitouderivaci.DØlka
grafufunkcef je
Z b
a
p
1+[f0(x)]2 dx:
Døkaz:supremum(limita)lineÆrn chlomen chaproximac
l(D)=Pni=1p(xi ¡xi¡1)2+[f(xi)¡f(xi¡1)]2=
=Pni=1p(xi ¡xi¡1)2+[f0(x⁄i)(xi ¡xi¡1)]2=
=Pni=1p1+[f0(x⁄i)]2(xi ¡xi¡1),x⁄i 2(xi¡1;xi)
S(p1+(f0)2;D)• l(D) • S(p1+(f0)2;D)R
b
a
p1+(f0)2 •supl(D)•Rb
a
p1+(f0)2
Pł klad. f(x)=coshx,x 2h0;1i
dØlka:R10
p
1+sinh2xdx=R10
p
cosh2xdx=
=R10 coshxdx=[sinhx]10=sinh1¡sinh0= 12(e¡e¡1)
V ta.Nech»f jekladnÆspojitÆfunkcede novanÆnaha;bi.
Objemt lesaurŁenØhorotac plochyvymezenØpł mkami
x=a,x=b,y=0agrafemf kolemosyxje
…
Z b
a
f2(x)dx:
Døkaz:
S(…f2;D)• V • S(…f2;D)
…Rba f2 • V • …Rba f2
Pł klad.ku el:f(x)= rv x
objem:…Rv0 r2v2 x2 dx= 13…r2v
V ta.Nech»f jekladnÆspojitÆfunkcede novanÆnaha;bi.
ObsahplochyurŁenØrotac grafuf kolemosyxje
2…
Z b
a
f(x)
p
1+[f0(x)]2 dx:
Døkaz(nÆznak):supremumaproximac komol miku eli
plÆ„»ku ele:…s2 ¢ 2…r=s2… =…rs= …sinfi r2
komol ku el: …sinfi(r21 ¡r22)=2… r1+r22 s
S(D)=
=Pni=12…f(x⁄i)p(xi ¡xi¡1)2+[f(xi)¡f(xi¡1)]2=
=Pni=12…f(x⁄i)p1+[f0(x⁄⁄i )]2(xi ¡xi¡1)!
!2…Rba fp1+(f0)2
Pł klad.sfØra:f(x)=pr2 ¡x2
obsah:2…Rr¡rpr2 ¡x2 ¢
q
1+¡ ¡xpr2¡x2¢2 dx=
=2…Rr¡r rdx=4…r2
FyzikÆln aplikace
Souładnicet i„t vrovin :
xT = Mym yT = Mxm :
V ta.Momentyplo„n chœtvarø(f ‚0):
Mx= 12
Z b
a
f2(x)dx;
My =
Z b
a
xf(x)dx:
V ta.MomentylineÆrn chœtvarø:
Mx=
Z b
a
f(x)
p
1+[f0(x)]2dx;
My =
Z b
a
x
p
1+[f0(x)]2dx:
Vloženo: 23.04.2009
Velikost: 213,39 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01MA1 - Matematika 1
Reference vyučujících předmětu X01MA1 - Matematika 1
Podobné materiály
- 01M4 - Matematika 4 - Přednášky Prucha ReseniII
- 01M4 - Matematika 4 - Přednášky Prucha ReseniIII
- X01ALG - Úvod do algebry - Přednášky Horcik
- X16EKO - Ekonomika - Přednášky ekonomika
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Přednášky EO1
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Přednášky (2)
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Přednášky
- X34ELE - Elektronika - Přednášky
- X36ALG - Algoritmizace - Přednášky algoritmizace
- Y36PJV - Programování v jazyku Java - Přednášky
- X02FY1 - Fyzika 1 - Přednášky
- X17TEP - Teorie elektromagnetického pole - prednasky
- 34EL - Elektronika - prednasky
- X36PJV - Programování v jazyku Java - prednasky
- 12TD - Technická dokumentace - prednasky
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - prednasky od slova do slova
- Y36OMO - Objektové modelování - přednášky
- X01MA2 - Matematika 2 - Tahák Tkadlec
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady k procvičení Tkadlec
- X01MA1 - Matematika 1 - Zadání zkoušky 2.2.07 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky 20.6.06 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky 8.6.06 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky 9.6.05 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky Tkadlec 1
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky Tkadlec 2
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkušky 6.6.07 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zápisky z přednášek Tkadlec
- X01MA1 - Matematika 1 - - Zkoušky ze semestru - Havrda,Tkadlec,Sedlackova
- X01MA1 - Matematika 1 - -Zkoušky 2002-2003 -Tkadlec
Copyright 2024 unium.cz