- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiála g(x) vlastn a nenulovÆ, pak neexistuj
limx!a¡f(x)¢g(x)¢alimx!a¡f(x)=g(x)¢.
Pł klad.limx!+1 sinx1¡2¡x =flflneex.1 flflneexistuje.
PoznÆmka.V tylzeformulovatiprojednostrannØlimity.
V ta(limitaslo enØfunkce). Nech»proa 2 R plat :
(1)limx!a f(x)=b 2 R,
(2)limy!b g(y)=c 2 R.
(3)g(b)=cnebof(x)6=bnaprstencovØmokol a.
Paklimx!a(g–f)(x)=c.
Døkaz:Uc
(2):existujePb:Pb g¡! Uc
(1):existujePa:Pa f¡! Pb [fbg
(3):prog(b)=cjePb [fbg g¡! Uc,Pa g–f¡¡! Uc,
jinakexistujeP0a:P0a f¡! Pb,P0a g–f¡¡! Uc
Pł klad. f(x)= 1x,g(y)=ey
limx!+1 f(x)=0,f(x)6=0
limy!0g(y)=1
limx!+1e1=x=0
PoznÆmka. Podm nka g(b)= c vev t olimit slo enØ
funkceznamenÆspojitostfunkceg vbod b.
De nice. Funkce f jespojitÆvbod a 2 D(f),pokudke
ka dØmuokol U bodu f(a)existujeokol V bodu a tak,
e f¡V \ D(f)¢ ‰ U.FunkcejespojitÆ,pokudjespojitÆ
vka dØmbod svØhode niŁn hooboru.Funkcef jespojitÆ
namno in A ‰ D(f),pokudjespojitÆfunkceg(x)=f(x),
D(g)=A.
Pł klady.1)FunkcesignxjespojitÆvbodechRnf0g,nen
spojitÆvbod 0.
2)Dirichletovafunkce
d(x)=
(
1; x 2 Q;
0; x =2 Q:
nen spojitÆv ÆdnØmbod .
PoznÆmka.Podobn jednostrannØspojitosti.
V ta.Funkcef de novanÆvokol boduajevtomtobod
spojitÆprÆv tehdy,kdy limx!a f(x)=f(a).
V ta.Jsou-lifunkcef;g spojitØvbod a,pakplat :
1)Funkcef§g,f¢g,jfjjsouspojitØva;je-lig(a)6=0,pak
ifunkcef=g jespojitÆvbod a.
2)Existujeokol bodua,nakterØmjefunkcef omezenÆ.
3)Je-lif(a)>0,pakf >0nan kterØmokol bodua.
4)Je-lifunkcef spojitÆvbod aafunkcegspojitÆvbod
f(a),pakfunkceg–f jespojitÆvbod a.
V ta. Mocniny,exponenciÆln ,goniometrickØahyperbo-
lickØfunkceafunkcekniminverzn jsouspojitØ.
V ta. SpojitÆfunkcenauzavłenØmintervalunab vÆnej-
v t„ anejmen„ hodnoty.
V ta(omezihodnot ). Je-lifunkcef spojitÆnaintervalu
I anab vÆ-livn mhodnotmaM,m < M,pakvtomto
intervalunab vÆv„echhodnotzintervaluhm;Mi.
Døsledky.
1)Prospojitounekonstantn funkcijeobrazemintervalu
interval(uzavłenØhouzavłen ).
2)SpojitÆfunkcenaintervalujeprostÆ(mÆinverzn funkci)
prÆv tehdy,kdy jeryzemonotonn .Inverzn funkcepakje
spojitÆ.
Derivacefunkce
Okam itÆ zm nafunkcejakolimitaprøm rn chzm n.
De nice.Derivacefunkcef vbod aje
df
dx(a)=f
0(a)=lim
h!0
f(a+h)¡f(a)
h :
PoznÆmky.
1)
f0(a)=limx!a f(x)¡f(a)x¡a :
2)Derivacefunkcevbod mø eb tvlastn nebonevlastn .
3)Podobn jednostrannØderivace.
Pł klad.Profunkcif(x)= 3pxje
f0(0)=lim
h!0
3ph¡ 3p0
h =limh!0
1
3ph2 =
flfl
flfl 1
0+
flfl
flfl=+1:
De nice.Funkcef mÆderivacinaintervaluI,pokudmÆ
derivacivka dØmvnitłn mbod I apł slu„nØjednostrannØ
vpł padn chkrajn chbodech I.Derivacejeop tfunkce,
znaŁ mejif0.
Tvrzen .
(c)0=0 x 2 R (c 2 R jekonstanta).1)
(xa)0=axa¡1 x 2 R (proa 2 N),2)
x 6=0(proa 2 Z),
x >0(proa 2 R).
(ex)0=ex x 2 R:3)
(sinx)0=cosx x 2 R:4)
(cosx)0=¡sinx x 2 R:5)
Døkaz:
1)(c)0=limh!0 c¡ch =limh!0 0h =limh!00=0.
2)proa 2 N:
(xn)0=limh!0 1h[(x+h)n ¡xn]=
=limh!0 1h(xn+nxn¡1h+¢¢¢+hn ¡xn)=
=limh!0(nxn¡1+¢¢¢+hn¡1)=nxn¡1
3)(ex)0=limh!0 1h(ex+h ¡ex)=
=limh!0ex eh¡1h =ex ¢1=ex
4)(sinx)0=limh!0 sin(x+h)¡sinxh =
=limh!0 2cos(x+h=2)sinh=2h =
=limh!0cos(x+h=2)sinh=2h=2 ==cosx¢1=cosx.
Pł klady.
1)(x3)0=3x3¡1=3x2,x 2 R.
2)(3px)0=(x1=3)0= 13 x1=3¡1=1=¡33px2¢,x 6=0.
V ta. FunkcejespojitÆvka dØmbod ,vekterØmmÆ
vlastn derivaci.
Døkaz:f(x)=f(a)+f(x)¡f(a)x¡a ¢(x¡a) x!a¡¡¡! f(a)+f0(a)¢0=
=f(a).
Pł klady.
1)signxjenespojitÆv0,
sign0(0)=limh!0 signh¡sign0h =limh!0 1jhj =
flfl
fl 10+
flfl
fl=+1.
2) f(x) = jxj je spojitÆ v 0, f0(0) neexistuje: f0§(0) =
=limh!0§ jhj¡j0jh =limh!0§§1=§1.
3)f(x)= 3pxjespojitÆv0,f0(0)=+1.
V ta. Jsou-li f;g funkce,kterØmaj vlastn derivacev a,
pak:
1)(f §g)0(a)=f0(a)§g0(a);
2)(f ¢g)0(a)=f0(a)g(a)+f(a)g0(a);
3)je-lig(a)6=0,pak
‡
f
g
·0
(a)= f
0(a)g(a)¡f(a)g0(a)
g(a)2 :
Døkaz:
(f §g)(x)¡(f §g)(a)
x¡a =
f(x)¡f(a)
x¡a §
g(x)¡g(a)
x¡a
x!a¡¡¡! f0(a)§g0(a);
(f ¢g)(x)¡(f ¢g)(a)
x¡a =
= f(x)¡f(a)x¡a ¢g(x)+f(a)¢ g(x)¡g(a)x¡a
x!a¡¡¡! f0(a)g(a)+f(a)g0(a);
¡f
g
¢(x)¡¡f
g
¢(a)
x¡a =
= 1g(a)g(x)
•f(x)¡f(a)
x¡a ¢g(a)¡f(a)¢
g(x)¡g(a)
x¡a
‚
x!a¡¡¡! 1
g(a)2
£f0(a)g(a)¡f(a)g0(a)⁄:
PoznÆmky.
1)Podobn proderivaci(funkci).
2)Proc 2 Rje(cf)0=(c)0f+cf0=cf0 ( derivacenÆsobku
jenÆsobekderivace ).
3)Zobrazen 0: f ! f0 jelineÆrn .
4)(f1+f2+¢¢¢+fn)0=f01+f02+¢¢¢+f0n,
(f1f2¢¢¢fn)0=f01f2¢¢¢fn+f1f02¢¢¢fn+¢¢¢+f1f2¢¢¢f0n.
Pł klady.
1)(3x2+2x)0=6x+2.
2)(x2exsinx)0=2xexsinx+x2exsinx+x2excosx.
3)(tgx)0=¡sinxcosx¢0= (sinx)0cosx¡sinx(cosx)0cos2x =
= cos2x+sin2xcos2x = 1cos2x.
V ta(oderivacislo enØfunkce). MÆ-lif vlastn derivaci
v a, g vlastn derivaciv f(a)= b,pak h = g – f mÆv a
derivaci
h0(a)=g0(b)¢f0(a):
Døkaz:OznaŁmef(x)=y.Funkce
t(y)=
(g(y)¡g(b)
y¡b ; y 6=b;
g0(b); y=b
jespojitÆvb,vokol bjeg(y)¡g(b)=t(y)(y¡b),plat
h(x)¡h(a)
x¡a =
g(y)¡g(b)
x¡a =
t(y)(y¡b)
x¡a =
=t(y)f(x)¡f(a)x¡a x!a¡¡¡! g0(b)f0(a):
PoznÆmky.
1)Schematickyprof(x)=y,g(y)=z: dzdx = dzdy ¢ dydx.
2)(fn –¢¢¢–f2 –f1)0=f0n ¢¢¢¢¢f02 ¢f01.
Pł klady.
1)(sinx2)0=cosx2 ¢2x.
2)(coshx)0=¡12(ex+e¡x)¢0= 12(ex ¡e¡x)=sinhx.
3)(ecos3x)0=ecos3x ¢(¡sin3x)¢3.
Derivac (f¡1 –f)(x)=xdostanemef0¡1¡f(x)¢¢f0(x)=1.
V ta.Je-lifunkcef spojitÆaryzemonotonn naotevłenØm
intervaluI aexistuje-linenulovÆderivacefunkcef va 2 I,
pak
f0¡1¡f(a)¢= 1f0(a):
Døkaz:OznaŁmey=f(x),b=f(a).f(I)jeotevłen inter-
val,existujespojitÆf¡1 naf(I).
f¡1(y)¡f¡1(b)
y¡b =
1
f(x)¡f(a)
x¡a
y!b¡¡¡! 1
f0(a):
PoznÆmka. ObvyklevychÆz mezfunkce,jej derivaci
chcemespoŁ tat,tak epodm nkymonotonieanenulovosti
derivaceov łujemeproinverzn funkci.
Pł klad.Prof(x)= 3pxjef¡1(y)=y3 spojitÆarostouc
naR,f0¡1(y)=3y2jenenulovÆproy 6=0.Prox 6=f¡1(0)=
=0jef0(x)=1=(3y2)=1=¡33px2¢.
Tvrzen .
(lnx)0=1x ; x >0
(arctgx)0= 1x2+1; (arccotgx)0= ¡1x2+1; x 2 R
(arcsinx)0= 1p1¡x2; (arccosx)0= ¡1p1¡x2; x 2(¡1;1)
Pł klad. (xa)0 =¡ealnx¢0 =ealnx ¢ ax =axa¡1 pro a 2 R
na(0;+1).
De nice. DerivaciłÆdu n (n-touderivaci)funkce f zna-
Ł mef(n) nebo dnfdx ade nujemerekurentn
f(0)=f ; f(n)=¡f(n¡1)¢0 pron 2 N:
Pł klad.Prof(x)=1=x=x¡1 dostÆvÆme
f0(x)=(¡1)x¡2;
f00(x)=¡(¡1)x¡2¢0=(¡1)(¡2)x¡3;
f000(x)=¡(¡1)(¡2)x¡3¢0=(¡1)(¡2)(¡3)x¡4;
...
f(n)(x)=(¡1)n n!xn+1 :
PoznÆmky.
1)DerivacełÆdunjelineÆrn zobrazen ,tak e
(f1+f2+¢¢¢+fk)(n)=f(n)1 +f(n)2 +¢¢¢+f(n)k :
2)DerivacesouŁinudvoufunkc sepoŁ taj nÆsledovn :
(fg)0=f0g+fg0 ;
(fg)00=(f0g+fg0)0=f00g+2f0g0+g00 ;
(fg)000=f000g+3f00g0+3f0g00+g000 ;
...
(fg)(n)=
nX
k=0
n
k
¶
f(n¡k)g(k):
Aplikacederivac
GeometrickØaplikace
f(x)¡f(a)
x¡a ...sm rniceseŁnybody[a;f(a)],[x;f(x)]
f0(a)...sm rniceteŁnyv[a;f(a)]
teŁna:
y¡f(a)=f0(a)(x¡a)
y=f(a)+f0(a)(x¡a)=T1(x)
rovniceteŁny:y¡f0(a)x=f(a)¡f0(a)a
normÆlov vektorteŁny:¡¡f0(a);1¢
sm rov vektorteŁny:¡1;f0(a)¢
normÆlov vektornormÆly:¡1;f0(a)¢
rovnicenormÆly:x+f0(a)y=a+f0(a)f(a)
Pł klad.UrŁeteteŁnuanormÆlugrafufunkcef(x)=ex v
bod [1,?].
f(1)=e,f0(x)=ex,f0(1)=e
teŁna:y=f(1)+f0(1)(x¡1)=e+e(x¡1)=ex
normÆla:x+f0(1)y=konst:
x+ey=1+e2
V ta(Rolleova). Nech»profunkcif de novanounainter-
valuha;biplat
(1)f jespojitÆnaintervaluha;bi,
(2)f mÆderivacivka dØmbod intervalu(a;b),
(3)f(a)=f(b).
Pakf0(c)=0pron kter bodc 2(a;b).
Døkaz:prokonstantn jef0=0na(a;b);
nekonstantn nab vÆminimanebomaximauvnitłha;bi;
napł kladpromaximumvbod c 2(a;b):
f0(c)=f0¡(c)=limh!0¡ f(x)¡f(c)x¡c ‚0,
f0(c)=f0+(c)=limh!0+ f(x)¡f(c)x¡c •0.
Pł klady.
1)Funkcef(x)=xnah0;1),f(1)=0nespl uje(1).
2)Funkcef(x)=jxjnah¡1;1inespl uje(2).
3)Funkcef(x)=xnah0;1inespl uje(3).
V ta (Lagrangeova). Nech» f jespojitÆna ha;bi amÆ
derivacina(a;b).Pakexistujec 2(a;b)tak, e
f(b)¡f(a)=f0(c)¢(b¡a):
Døkaz:funkceg(x)=f(x)¡f(a)¡ f(b)¡f(a)b¡a (x¡a)spl uje
podm nkyRolleovyv ty,existujec 2(a;b):
0=g0(c)=f0(c)¡ f(b)¡f(a)b¡a .
Tvrzen .Je-lifunkcef spojitÆvbod azpravaaexistuje-li
f0(a+),pak
f0+(a)=f0(a+):
Døkaz:podleLagrangeovyv typrox > atakovÆ, e(a;x)‰
‰ D(f),existujecx 2(a;x);prox ! a+jecx ! a+a:
f0+(a)=limx!a+ f(x)¡f(a)x¡a =limx!a+f0(cx)=f0(a+)
PoznÆmka.Podobn proderivacizleva,oboustrannou.
Pł klady.
1)Prof(x)=jxjje
f0¡(0)=limx!0¡ f0(x)=limx!0¡¡1=¡1,
f0+(0)=limx!0+f0(x)=limx!0+1=1.
2)Prof(x)= 3pxjef0(0)=limx!0 13 3px2 =
flfl
fl 10+
flfl
fl=+1.
3)Prof(x)=arcsinxje
f0+(¡1)=limx!¡1+ 1p1¡x2 =
flfl
fl 10+
flfl
fl=+1,
f0¡(1)=limx!1¡ 1p1¡x2 =
flfl
fl 10+
flfl
fl=+1.
V ta(Cauchyova). Nech»funkcef;gjsouspojitØnainter-
valuha;bi,maj vlastn derivacina(a;b)ag0 6=0na(a;b).
Pakexistujebodc 2(a;b)takov , e
f(b)¡f(a)
g(b)¡g(a)=
f0(c)
g0(c):
Døkaz:funkceh(x)=¡f(b)¡f(a)¢g(x)¡¡g(b)¡g(a)¢f(x)
spl ujepodm nkyRolleovyv ty,existujec 2(a;b):
0=h0(c)=¡f(b)¡f(a)¢g0(c)¡¡g(b)¡g(a)¢f0(c),
proto e g0 6= 0 na intervalu (a;b), je g0(c) 6= 0 a takØ
g(b)6=g(a)
V ta(l’Hospitalovopravidlo). Nech»profunkcef;gplat :
(1)limx!a+f(x)=limx!a+g(x)=0nebo
limx!a+jg(x)j=+1,
(2)existujelimx!a+ f0(x)g0(x) 2 R.
Pak
limx!a+ f(x)g(x)= limx!a+ f
0(x)
g0(x):
Døkaz:prolimx!a+f(x)=limx!a+g(x)=0:
uva ujme x > a takovØ,aby f0;g0 existovalyna(a;x)a
g0 6=0,polo mef(a)=g(a)=0;podleCauchyovyv typro
intervalha;xiexistuj cx 2(a;x),tj.prx ! a+jecx ! a+:
f(x)
g(x) =
f(x)¡f(a)
g(x)¡g(a) =
f0(cx)
g0(cx)
x!a+¡¡¡¡!lim
x!a+
f0(x)
g0(x)
PoznÆmky.
1)Podobn prolimituzlevaŁioboustrannou.
2)L’Hospitalovopravidlolzepou topakovan .
Pł klady.
1)limx!0 ln(1+x)x =flfl00flfl l0H=limx!0
1
1+x
1 =1.
2)limx!+1 exx =
flfl
fl+1+1
flfl
fl l
0H=lim
x!+1 e
x
1 =+1.
3)limx!+1 exx2 =
flfl
fl+1+1
flfl
fl l
0H=lim
x!+1 e
x
2x =
=
flfl
fl+1+1
flfl
fl l
0H=lim
x!+1 e
x
2 =+1.
4)limx!0+xlnx=j0¢(¡1)j=limx!0+ lnx1=x =
=
flfl
fl¡1+1
flfl
fl l
0H=lim
x!0+
1=x
¡1=x2 =limx!0+(¡x)=0.
5)limx!+1(1+1=x)x=exp[limx!+1 xln(1+1=x)]=
=exp£limx!+1 ln(1+1=x)1=x ⁄=
l0H=exp£lim
x!+1
1=(1+1=x)¢(¡1)=x2
¡1=x2
⁄
=exp[limx!+1 11+1=x]=exp1=e.
PoznÆmka.Pokudlimitapod luderivac neexistuje,nelze
l’Hospitalovopravidlopou t,aleneznamenÆto, elimita
pod lufunkc neexistuje:limx!+1 sinxx =
flfl
flomez:+1
flfl
fl =0,ale
limitapod luderivac limx!+1 cosx1 neexistuje.
PoznÆmka. L’Hospitalovopravidlolzepou tiprov po-
Łetlimitposloupnost ,pokudnajdemevhodnoufukci.Na-
pł kladlimn!1en=n=limx!+1ex=x=0.
Taylorøvpolynom
V ta(Taylorova). Nech»funkcef mÆspojitØderivacea
dołÆdun ‚0vha;xi,f(n+1)existujev(a;x).Pakexistuje
c 2(a;x)tak, e
f(x) = f(a)+f
0(a)
1! (x¡a)+
f00(a)
2! (x¡a)
2+¢¢¢+
+f
(n)(a)
n! (x¡a)
n+f(n+1)(c)
(n+1)!(x¡a)
n+1:
Taylorøvpolynomfunkcef vbod astupn n... Tn(x),
zbytekvLagrangeov tvaru.
PoznÆmky.
1)Podobn prohx;ai.
2)n=0:f(x)=f(a)+f0(c)(x¡a)(Lagrange).
3)x=a+h:f(a+h)=f(a)+ f0(a)1! h+¢¢¢
Døkaz:
Tn(a) = f(a)
T0n(a) = f0(a)
...
T(n)n (a) = f(n)(a)
f(x)=Tn(x)+M(x¡a)n+1
g(t)=f(t)¡Tn(t)¡M(t¡a)n+1; t 2ha;xi
Rolle(n+1)-krÆt:
g(x)=0 g(a)=0
9c1 2(a;x): g0(c1)=0 g0(a)=0
9c2 2(a;c1): g00(c2)=0 g00(a)=0
...
9cn 2(a;cn¡1): g(n)(cn)=0 g(n)(a)=0
9c 2(a;cn): g(n+1)(c)=0
f(n+1)(c)¡0¡M ¢(n+1)!=0
M = f
(n+1)(c)
(n+1)!
Pł klad.SpoŁt teŁ sloespłesnost 10¡3,v te-li, ee0...rostouc va...nen lokÆln extrØm
f0(a)0,pakf mÆvaostrØlokÆln minimum.
2)Je-lif00(a)0...f0 rostouc va...f0(x)< f0(a)=
=0< f0(y)pro x < a < y vn kterØmokol ... f klesaj c
vlevo,rostouc vpravo...vaostrØlok.minimum
2)podobn nebopłechodemk¡f
Pł klad. f(x)=x3 ¡3x+1(vizdł ve)
f0(x)=3x2 ¡3,x1;2=§1,f00(x)=6x
f00(¡1)=¡60...ostrØlokÆln minimum
Pł klad. f(x)=x3
f0(x)=3x2,x1;2=0,f00(x)=6x
f00(0)=0...kritØriumnerozhodne,l.e.nen
Pł klad. f(x)=x4
f0(x)=4x3,x1;2;3=0,f(0)=0ostrØlok.minimum
f00(x)=12x2,f00(0)=0...kritØriumnerozhodne
f(3)(x)=24x,f(3)(0)=0
f(4)(x)=24,f(4)(0)=24>0
PoznÆmky.Prof0(a)=¢¢¢=f(2n¡1)(a)=0:
1)f(2n)(a)>0...ostrØlokÆln minimum,
2)f(2n)(a)0nebox a
2)kvadratick Łlenvejmenovateli:
Z Ax+B
(x2+px+q)n dx=
Z A
2(2x+p)+
¡B ¡ Ap
2
¢
(x2+px+q)n dx
2.a)vŁitateliderivacekvadratickØhoŁlenu:
Z 2x+p
(x2+px+q)n dx=
flfl
flflx2+px+q=t(2x+p)dx=dt
flfl
flfl=
Z dt
tn
=
(
ln(x2+px+q)+c; n=1
1
(1¡n)(x2+px+q)n¡1 +c; n >1
2.b)vŁitatelikonstanta:
Z dx
x2+px+q =
Z dx
(x+p=2)2+(q¡p2=4)
= 1q¡p2=4
Z dx
¡ x+p=2
p(q¡p2=4)
Vloženo: 23.04.2009
Velikost: 213,39 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01MA1 - Matematika 1
Reference vyučujících předmětu X01MA1 - Matematika 1
Podobné materiály
- 01M4 - Matematika 4 - Přednášky Prucha ReseniII
- 01M4 - Matematika 4 - Přednášky Prucha ReseniIII
- X01ALG - Úvod do algebry - Přednášky Horcik
- X16EKO - Ekonomika - Přednášky ekonomika
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Přednášky EO1
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Přednášky (2)
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Přednášky
- X34ELE - Elektronika - Přednášky
- X36ALG - Algoritmizace - Přednášky algoritmizace
- Y36PJV - Programování v jazyku Java - Přednášky
- X02FY1 - Fyzika 1 - Přednášky
- X17TEP - Teorie elektromagnetického pole - prednasky
- 34EL - Elektronika - prednasky
- X36PJV - Programování v jazyku Java - prednasky
- 12TD - Technická dokumentace - prednasky
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - prednasky od slova do slova
- Y36OMO - Objektové modelování - přednášky
- X01MA2 - Matematika 2 - Tahák Tkadlec
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady k procvičení Tkadlec
- X01MA1 - Matematika 1 - Zadání zkoušky 2.2.07 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky 20.6.06 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky 8.6.06 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky 9.6.05 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky Tkadlec 1
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky Tkadlec 2
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkušky 6.6.07 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zápisky z přednášek Tkadlec
- X01MA1 - Matematika 1 - - Zkoušky ze semestru - Havrda,Tkadlec,Sedlackova
- X01MA1 - Matematika 1 - -Zkoušky 2002-2003 -Tkadlec
Copyright 2024 unium.cz