- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálReÆlnÆŁ sla
N ... płirozenÆŁ sla:f1;2;3;:::g
Z ... celÆŁ sla:f0;§1;§2;§3;:::g
Q ... racionÆln Ł sla:'ab: a 2 Z; b 2 N“
R ... reÆlnÆŁ sla
C ... komplexn Ł sla:fx+jy: x;y 2 Rg
RnQ ... iracionÆln Ł sla(p2,…,e,...)
De nice.ReÆlnØŁ sloxsenaz vÆ:
kladnØ,pokudx >0;
zÆpornØ,pokudx 0;
¡1; a an+1 proka dØn 2 N,
neklesaj c ,pokudan • an+1 proka dØn 2 N,
nerostouc ,pokudan ‚ an+1 proka dØn 2 N.
Posloupnostiv„echt chtotypøsenaz vaj monotonn ,ros-
touc aklesaj c posloupnostisenaz vaj ryzemonotonn .
Pł klady.
1)(2n)1n=1=(2;4;8;:::)jerostouc
2)(¡n)1n=1=(¡1;¡2;¡3;:::)jeklesaj c
3)Fibonacciho(1;1;2;3;5;8;:::)jeneklesaj c
4)¡(¡1)n¢1n=1=(¡1;1;¡1;1;:::)nen monotonn
De nice. Posloupnostsenaz vÆomezenÆ(resp.zdolaŁi
shoraomezenÆ),pokudjeomezenÆ(resp.zdolaŁishoraome-
zenÆ)mno inajej chŁlenø.
Pł klady.
1)(2n)1n=1 jezdolaomezenÆ,nen shoraomezenÆ
2)(¡n)1n=1 jeshoraomezenÆ,nen zdolaomezenÆ
3)¡(¡1)n¢1n=1 jeomezenÆ(zdolaishora)
4)¡(¡2)n¢1n=1 nen omezenÆzdolaanishora
De nice. VybranÆ posloupnost (podposloupnost) z po-
sloupnosti(an)1n=1 jeposloupnost(akn)1n=1,kde(kn)1n=1 je
rostouc posloupnostpłirozen chŁ sel.
De nice. Posloupnost(an)1n=1 mÆlimitu a 2 R (p „eme
limn!1 an=a,an n!1¡¡¡¡! a),pokudproka dØokol Ubodu
aexistujen0 2 N tak, eprov„echnan > n0 jean 2 U.
Posloupnostsvlastn limitousenaz vÆkonvergentn .
an 2 U pro skorov„echna n 2 N (a nakoneŁn mnoho)
Pł klady.
1)limn!1 1n =0:prookol U(0;"), " > 0,hledÆme an 2
2 U(0;"),tj.jan ¡aj < ";łe„en mjen > 1" :=n0
2)limn!12n =+1:prookol U(+1;r), r 2 R,hledÆme
an 2 U(+1;r),tj. an > r;łe„en mje n 2 N pro r • 0,
n >log2rpror >0
3)limm!1(¡1)nneexistuje:nen to§1,proa 2 RjedØlka
U(a; 12)rovna1,neobsahujetedyzÆrove §1,neobsahuje
nekoneŁn mnohoŁlenøposloupnosti,anen limita
Tvrzen .
1) limn!1a=a
2) limn!1na=
8>
<
>:
0; a 0
3) limn!1an
8
>>><
>>>:
neexistuje; a •¡1
=0; a 2(¡1;1)
=1; a=1
=+1; a >1
V ta(ojednoznaŁnosti). Ka dÆposloupnostmÆnejv „e
jednulimitu.
Døkaz:PokudmÆlimitua,tak ÆdnØjinØŁ slob 2 R nen
limitou:existuj disjunktn okol Ua boduaaUb bodub,v
prvn mle a nakoneŁn mnohov„echna an,vedruhØm
tedyjenkoneŁn mnohoan.
V ta.Konvergentn posloupnostjeomezenÆ.
Døkaz: an n!1¡¡¡¡! a, U(a;1)obsahujev„echna an a nako-
neŁn mnoho
V ta.Je-lilimn!1 an=aalimn!1 bn=b,pak
limn!1(an §bn)= limn!1an § limn!1bn ;
limn!1(an ¢bn)=
‡
limn!1an
·
¢
‡
limn!1bn
·
;
limn!1 anb
n
=limn!1 anlim
n!1 bn
;
pokudjev raznapravØstran de novÆn.
Døkaz(prosouŁetvlastn chlimit): prookol U(a+b;"),
" > 0uva ujmeokol U(a; "2)a U(b; "2).Vprvn mle a
nakoneŁn mnohov„echna an,vedruhØma nakoneŁn
mnohov„echna bn,a nakoneŁn mnohopł padøzÆrove ,
tedyan+bn 2 U(a+b;").
Pł klady.
limn!1 1n = 11=01)
limn!1(7n2 ¡pn)= limn!1n2¡7¡n¡3=2¢=1¢7=+12)
limn!1 n
2+2n+1
2n2+3n+4= limn!1
1+ 2n + 1n2
2+ 3n + 4n2 =
1
23)
limn!13
n ¡4n
2n+3n = limn!1
4
3
¶n
¢
¡3
4
¢n ¡1
¡2
3
¢n+1=¡14)
limn!1¡pn+1¡pn¢¢
pn+1+pn
pn+1+pn =5)
= limn!1 1pn+1+pn = 1+1=0
V ta. Je-li an • bn proka dØ n 2 N alimn!1 an = a,
limn!1 bn=b,paka • b.
Døkaz:sporem:je-li a > b,existuj disjunktn okol Ua;Ub
bodø a;b, an 2 Ua a nakoneŁn mnoho n, bn 2 Ub a na
koneŁn mnohon,tedybn < an a nakoneŁn mnohon
PoznÆmka. V ta neplat proostrØnerovnosti: 0 < 1n,
limn!10=0=limn!1 1n.
V ta(osevłen ). Je-li an • cn • bn proka dØ n 2 N a
limn!1 an=limn!1 bn=a,paklimn!1 cn=a.
Døkaz:proka dØokol Uboduajean;bn 2 Ua nakoneŁn
mnohon,tedycn 2 U a nakoneŁn mnohon.
Pł klady.
1)n¡1• n+(¡1)n • n+1,limn!1 n¡1=limn!1 n+1=
=+1,tedyilimn!1 n+(¡1)n=+1.
2)¡1n • 1nsinn • 1n,limn!1¡1n =limn!1 1n =0,tedyi
limn!1 1nsinn=0.
PoznÆmka.
j+1+zdolaomezenÆposloupnostj=+1
j¡1+shoraomezenÆposloupnostj=¡1
j0¢omezenÆposloupnostj=0
V ta. Ka dÆ neklesaj c posloupnost mÆ limitu rovnu
supremumno inyjej chŁlenø.Ka dÆnerostouc posloup-
nostmÆlimiturovnouin mumno inyjej chŁlenø.
Pł klad. Posloupnost(an)1n=1 pro an =(1+1=n)n+1 je
klesaj c :
an
an+1 =
(1+1=n)n+1¡
1+1=(n+1)¢n+2
= (n+1)
2n+3
nn+1(n+2)n+2
=
(n+1)2
n(n+2)
¶n+2
¢ nn+1
=
1+ 1n(n+2)
¶n+2
¢ nn+1
>
1+1n
¶
¢ nn+1=1
(vyu ilijsme(1+x)k > 1+kx pro x > 0a k 2 N nf1g
|umocn n m(1+x)k z skÆmekrom 1+kxje„t kladnØ
sŁ tancesvy„„ mimocninamiux).Proto ean >0proka dØ
n 2 N,jeposloupnost(an)1n=1klesaj c azdolaomezenÆ,mÆ
tedyvlastn limitu,kterouoznaŁmee.Vyu it mv tyolimit
pod ludostÆvÆmeznÆm j„ limitu
limn!1
1+1n
¶n
= limn!1(1+1=n)
n+1
1+ 1n =
e
1=e:
¨ sloesenaz vÆEulerovoŁ slo,plat e=2;718281:::
De nice. ¨ slo a 2 R je hromadn bod posloupnosti
(an)1n=1,pokudvka dØmokol ale nekoneŁn mnohoŁlenø
posloupnosti(an)1n=1.
Pł klad.Posloupnost¡(¡1)n¢1n=1 mÆhromadnØbody§1.
Tvrzen . Limitaposloupnostijehromadn mbodempo-
sloupnosti.Hromadn bodposloupnostijelimitoun kterØ
vybranØposloupnosti.
V ta.Ka dÆposloupnostmÆv R alespo jedenhromadn
bod(omezenÆposloupnostvlastn ).
Tvrzen . Supremum a in mum mno iny hromadn ch
bodøposloupnostijsouhromadnØbodytØtoposloupnosti,
znaŁ mejelimsupn!1 an (limessuperior)aliminfn!1 an
(limesinferior).
V ta. Posloupnost(an)1n=1 mÆlimituprÆv tehdy,kdy
plat kterÆkolivzpodm nek:
1)(an)1n=1 mÆjedin hromadn bod.
2)Ka dÆvybranÆposloupnostmÆstejnoulimitu.
3)liminfn!1 an=limsupn!1 an.
Funkce
De nice.Zobrazen mno inyAdomno inyBjeneprÆzdnÆ
podmno inaf kartØzskØhosouŁinuA£Bspl uj c nÆsledu-
j c vlastnost:proka dØ x 2 A (vzor)existujeprÆv jedno
y 2 B (obraz x)takovØ, e(x;y) 2 f (znaŁ meobvykle
y=f(x)).Pou vÆmeoznaŁen f: A ! B,A f¡! B.
Mno ina A senaz vÆde niŁn obor zobrazen f,znaŁ me
D(f).Mno inaf(A)=ff(x): x 2 Agsenaz vÆoborhod-
notzobrazen f,znaŁ meR(f).
De nice.Zobrazen f: A ! B senaz vÆ
prostØ,pokudrøzn mvzorømodpov daj røznØobrazy;
na B,pokudjehooborhodnotjeB;
vzÆjemn jednoznaŁnØ,pokudjetoprostØzobrazen naB.
Pł klady.
1)f(x)=x2 nen prostØ(f(1)=f(¡1))anina R (f ‚0).
2)f(x)=ex jeprostØ,nen na R (f >0).
3)f(x)=x3 ¡x2 nen prostØ(f(0)=f(1)),jena R.
4)f(x)=x3 jevzÆjemn jednoznaŁnØ.
De nice.M jmezobrazen f: A ! B,g: B ! C.Zobra-
zen g–f: A ! Cde novanØpłedpisem(g–f)(x)=g¡f(x)¢
naz vÆme slo en m zobrazen m, zobrazen f se naz vÆ
vnitłn zobrazen ,zobrazen g senaz vÆvn j„ zobrazen .
Pł klad. f(x)=2x,g(x)=x2:
(g–f)(x)=g¡f(x)¢=¡f(x)¢2=(2x)2=4x2,
(f –g)(x)=f¡g(x)¢=2g(x)=2x2.
De nice. Zobrazen g: R(f) ! A naz vÆme inverzn
kzobrazen f: A ! B,pokud(g – f)(x)= x proka dØ
x 2 A.ZnaŁ meg=f¡1.
V ta. Zobrazen f: A ! B mÆinverzn zobrazen prÆv
tehdy,kdy jeprostØ,tj.kdy jetovzÆjemn jednoznaŁnØ
zobrazen A na¡! R(f).VtakovØmpł pad existujejedinØ
inverzn zobrazen f¡1: R(f)! A,kterØjetakØvzÆjemn
jednoznaŁnØaplat (f –f¡1)(y)=y proka dØy 2 R(f).
De nice. (ReÆlnÆ)funkce(reÆlnØprom nnØ)jezobrazen
A ! R,kdeAjepodmno ina R.
De nice. Graffunkce f: A ! R jemno ina f[x;f(x)]:
x 2 Agbodøvrovin .
Tvrzen . Grafinverzn funkce(pokudexistuje)jesymet-
rick sgrafempøvodn funkcepodleosyprvn hoatłet ho
kvadrantu(pł mkyorovniciy=x).
De nice. Funkce f senaz vÆomezenÆ(resp.zdolaome-
zenÆ,shoraomezenÆ)namno in A ‰ D(f),pokudjeome-
zenÆ(resp.zdolaomezenÆ,shoraomezenÆ)mno inaf(A).
Pł klady.
1)Funkcex2jeomezenÆzdola(x ‚0),nen omezenÆshora.
2)FunkcesignxjeomezenÆ.
3)Funkcex3 nen omezenÆanizdola,anishora.
De nice. Funkce f se naz vÆ rostouc (resp. klesa-
j c ,neklesaj c ,nerostouc )namno in A ‰ D(f),pokud
f(x)< f(y)(resp.f(x)> f(y),f(x)• f(y),f(x)‚ f(y))
prov„echnax;y 2 AtakovÆ, ex < y.
Neklesaj c anerostouc funkcesenaz vaj monotonn ,ros-
touc aklesaj c funkcesenaz vaj ryzemonotonn .
Pł klad. x2 jeklesaj c na(¡1;0i,rostouc nah0;+1).
V ta. Rostouc (resp.klesaj c )funkcejeprostÆamÆin-
verzn funkci,kterÆjerovn rostouc (resp.klesaj c ).
De nice.Funkcef senaz vÆ
1)sudÆ,pokudf(¡x)=f(x)proka dØx 2 D(f);
2)lichÆ,pokudf(¡x)=¡f(x)proka dØx 2 D(f).
Pł klady.
1)Funkcef(x)=x2 jesudÆ:f(¡x)=(¡x)2=x2=f(x).
2)Funkce f(x)= x3 jelichÆ: f(¡x)=(¡x)3 = ¡x3 =
=¡f(x).
De nice.Funkcef senaz vÆperiodickÆsperiodou p >0,
pokudf(x+p)=f(x¡p)=f(x)proka dØx 2 D(f).
Pł klad.Funkcesin3xjeperiodickÆsperiodou 23 ….
ElementÆrn funkce
mocninyxa
de niŁn oborproracionÆln a = pq, p 2 Z, q 2 N, p;q
nesoud lnØ:
q lichØ q sudØ
p ‚0 R h0;+1)
p 0:ax
logaritmusozÆkladua >0:loga x
(logxprozÆklad10,lnxprozÆklade)
Proka dØx;y 2 R aka dØa >0plat
ax+y =ax ¢ay ; (ax)y =axy :
Proka dØa 2(0;1)[(1;+1)plat
loga(xy)=loga x+loga y; x;y >0;
loga xy =yloga x; x >0:
goniometrickØfunkce:sinx,cosx,tgx= sinxcosx,tgx= cosxsinx
inverzn funkce:arcsinx,arccosx,arctgx,arccotgx
sin2x+cos2x=1
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
cos(x+y)=cosxcosy¡sinxsiny
sin2x=1¡cos2x2
cos2x=1+cos2x2
hyperbolickØfunkce:
sinhx=e
x ¡e¡x
2 ; tghx=
sinhx
coshx ;
coshx=e
x+e¡x
2 ; cotghx=
coshx
sinhx :
inverzn funkceargsinhx,argcoshx,argtghx,argcotghx
cosh2x¡sinh2x=1
sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy
cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy
Limityaspojitostfunkc
De nice. Funkce f de novanÆvprstencovØmokol bodu
a 2 R mÆ v bod a limitu b 2 R (limx!a f(x) = b,
f(x) x!a¡¡¡! b),jestli eplat :Keka dØmuokol U bodu b
existujeprstencovØokol P boduatak, ef(P)‰ U.
PoznÆmka.Obecn jisede nujelimitavhromadnØmbod
de niŁn hooboru.
Tvrzen .Proka dØa 2 R plat :
1)limx!a c=cproka dØc 2 R.
2)limx!a x=a.
Døkaz:1)f¡1(U)=R proka dØU,napł.P =P(a;1).
2)f¡1(U)=U proka dØU,napł.P =U nfag.
De nice.Funkcef de novanÆvpravØm(levØm)prstenco-
vØmokol a 2 RmÆvazprava(zleva)limitub 2 R,jestli e
plat :Keka dØmuokol U bodubexistujepravØ(levØ)prs-
tencovØokol P boduatak, ef(P)‰ U.
ZnaŁ melimx!a+f(x)= b = f(a+)(limx!a¡ f(x)= b =
=f(b¡)).
Pł klady.
1)limx!0¡signx=¡1,limx!0+signx=+1,
2)limx!0¡ 1x =¡1,limx!0+ 1x =+1.
V ta. Limitavbod a 2 R existujeprÆv tehdy,kdy
existuj ob jednostrannØlimityarovnaj se.
V ta. limx!a f(x)= b prÆv tehdy,kdy proka doupo-
sloupnost(an)1n=1 Ł selz D(f)nfag slimn!1 an = a je
limn!1 f(an)=b.
Pł klad.limx!0sin1x neexistuje:
limn!1 1…n =0,limn!1sin…n=0,
limn!1 1…=2+2…n =0,limn!1sin(…2 +2…n)=1.
V ta.Monotonn funkcenaintervalumÆvkrajn chbodech
tohotointervalupł slu„nØjednostrannØlimity(supremuma
in mumfunkŁn chhodnot).
V ta.FunkcemÆvka dØmbod nejv „ejednulimitu.
V ta. MÆ-lifunkcevdanØmbod vlastn limitu,pakje
omezenÆnan kterØmprstencovØmokol tohotobodu.
V ta.MÆ-lifunkcevdanØmbod kladnou(resp.zÆpornou)
limitu,pakjenan kterØmprstencovØmokol boduakladnÆ
(resp.zÆpornÆ).
V ta.limx!a=0prÆv tehdy,kdy limx!ajf(x)j=0.
V ta(omonotonii). Je-lilimx!a f(x)=b,limx!a g(x)=c
af • g naprstencovØmokol bodua,pakb • c.
V ta(osevłen ). Je-lilimx!a f(x)=limx!a g(x)= b a
f • h • gnaprstencovØmokol bodua,paklimx!a h(x)=
=b.
V ta. Je-lilimx!a f(x)=+1(resp.¡1)a f • g (resp.
f ‚ g),paklimx!a g(x)=+1(resp.¡1).
Pł klad.
limx!0sinxx =1
sudÆfunkce...staŁ limitazprava
1
2sinx <
x
2 <
1
2
sinx
cosx
1< xsinx < 1cosx
1> sinxx >cosx
v taosevłen
PoznÆmka.
limx!0e
x ¡1
x = 1
limx!0ln(1+x)x = 1
V ta(limitasouŁtu,rozd lu,souŁinuapod lufunkc ).
limx!a¡f(x)§g(x)¢ = limx!af(x)§limx!ag(x);
limx!a¡f(x)¢g(x)¢ = limx!af(x)¢limx!ag(x);
limx!a¡f(x)=g(x)¢ = ¡limx!af(x)¢=¡limx!ag(x)¢;
pokudjsouv razyvpravode novÆny.
Pł klady.
limx!+1(2x2 ¡3x+1)=j1¡1+1j=
1)
= limx!+1x2(2¡3x¡1+x¡2)=(+1)¢2=+1;
limx!¡12x¡1x2+1=
flfl
flfl¡1
+1
flfl
flfl= lim
x!¡1
2x¡1 ¡x¡2
1+x¡2 =
0¡0
1+0=0;
2)
limx!1 x¡1x2 ¡1=
flfl
flfl0
0
flfl
flfl=lim
x!1
x¡1
(x¡1)(x+1)=limx!1
1
x+1=
1
2:
3)
Tvrzen . Je-lilimx!a f(x)>0,limx!a g(x)=0a g >0
naprstencovØmokol bodua,paklimx!a f(x)=g(x)=+1.
Pł klady.
limx!1§ 2x¡1=
flfl
flfl 2
0§
flfl
flfl=§1:1)
limx!1 ¡2(x¡1)2 =
flfl
flfl¡2
0+
flfl
flfl=¡1:2)
Tvrzen . Je-lilimx!a f(x) = b 2 f§1g afunkce g je
omezenÆnaprstencovØmokol a,paklimx!a¡f(x)+g(x)¢=
=b.
Pł klad.limx!1(x+cosx)=j+1+omez.j=+1.
V ta. Je-lilimx!a f(x) = 0afunkce g jeomezenÆna
prstencovØmokol a,paklimx!a f(x)g(x)=0.
Pł klady.
1)limx!0xsin1x =j0¢omez.j=0.
2)limx!¡1 cosxx =
flfl
flomez.¡1
flfl
fl=0.
Tvrzen .Jestli elimx!a f(x)neexistuje,pakplat :
1)Je-lilimx!a g(x)vlastn ,paklimx!a¡f(x)§g(x)¢nee-
xistuje.
2) Je-li limx!
Vloženo: 23.04.2009
Velikost: 213,39 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01MA1 - Matematika 1
Reference vyučujících předmětu X01MA1 - Matematika 1
Podobné materiály
- 01M4 - Matematika 4 - Přednášky Prucha ReseniII
- 01M4 - Matematika 4 - Přednášky Prucha ReseniIII
- X01ALG - Úvod do algebry - Přednášky Horcik
- X16EKO - Ekonomika - Přednášky ekonomika
- X31EO1 - Elektrické obvody 1 - Přednášky EO1
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Přednášky (2)
- X31EO2 - Elektrické obvody 2 - Přednášky
- X34ELE - Elektronika - Přednášky
- X36ALG - Algoritmizace - Přednášky algoritmizace
- Y36PJV - Programování v jazyku Java - Přednášky
- X02FY1 - Fyzika 1 - Přednášky
- X17TEP - Teorie elektromagnetického pole - prednasky
- 34EL - Elektronika - prednasky
- X36PJV - Programování v jazyku Java - prednasky
- 12TD - Technická dokumentace - prednasky
- X12UEM - Úvod do elektrotechnických materiálů - prednasky od slova do slova
- Y36OMO - Objektové modelování - přednášky
- X01MA2 - Matematika 2 - Tahák Tkadlec
- X01MA1 - Matematika 1 - Příklady k procvičení Tkadlec
- X01MA1 - Matematika 1 - Zadání zkoušky 2.2.07 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky 20.6.06 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky 8.6.06 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky 9.6.05 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky Tkadlec 1
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkoušky Tkadlec 2
- X01MA2 - Matematika 2 - Zadání zkušky 6.6.07 Tkadlec
- X01MA2 - Matematika 2 - Zápisky z přednášek Tkadlec
- X01MA1 - Matematika 1 - - Zkoušky ze semestru - Havrda,Tkadlec,Sedlackova
- X01MA1 - Matematika 1 - -Zkoušky 2002-2003 -Tkadlec
Copyright 2024 unium.cz