- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiáld je line-
a´rnı´, proste´ a „na“ L2.
Linea´rnı´ prostor L1 nazy´va´me izomorfnı´ s L2, pokud existuje izomor-
fismus A : L1 → L2. Protozˇe k proste´mu linea´rnı´mu zobrazenı´, ktere´ je
„na“ L2, existuje inverznı´ zobrazenı´ A−1 : L2 → L1, ktere´ je podle veˇty 7.36
rovneˇzˇ izomorfismem, platı´: je-li L1 izomorfnı´ s L2, je te´zˇ L2 izomorfnı´ s L1.
Cˇ asto proto rˇı´ka´me, zˇe L1 a L2 jsou (vza´jemneˇ) izomorfnı´.
122 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.39 Veˇta. Kazˇdy´ linea´rnı´ prostor L, pro ktery´ je dim L = n, je izomorfnı´
s linea´rnı´m prostorem Rn.
123 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.41 Veˇta. Necht’ A : L1 → L2 a B : L2 → L3 jsou izomorfismy. Pak je izomor-
fismem i slozˇene´ zobrazenı´ A – B : L1 → L3.
124 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.42 Veˇta. Dva linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze jsou izomorfnı´ pra´veˇ tehdy,
kdyzˇ se rovnajı´ jejich dimenze.
125 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.43 Definice. Necht’ L1 a L2 jsou linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze, A :
L1 → L2 je linea´rnı´. Necht’ (B) = (b1, b2, . . . , bn) je usporˇa´dana´ ba´ze L1 a
(C) = (c1, c2, . . . , cm) je usporˇa´dana´ ba´ze L2. Matici A typu (m, n), ktera´
splnˇuje maticovou rovnost
(A(b1),A(b2), . . . ,A(bn)) = (c1, c2, . . . , cm) ⋅ A
nazy´va´me maticı´ zobrazenı´ A vzhledem k usporˇa´dany´m ba´zı´m (B) a (C).
Na definicˇnı´ rovnost se dı´va´me jako na soucˇin jednorˇa´dkove´ matice vek-
toru˚ (c1, c2, . . . , cm) s maticı´ A rea´lny´ch cˇı´sel typu (m, n), ktery´ se ma´
rovnat jednorˇa´dkove´ matici vektoru˚ (A(b1),A(b2), . . . ,A(bm))
126 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.44 Veˇta. Necht’ platı´ prˇedpoklady z definice 7.43. Pak matice A zobrazenı´ A
vzhledem k ba´zı´m (B) a (C) existuje a je urcˇena jednoznacˇneˇ.
127 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.45 Veˇta. Necht’ L1, L2 jsou linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze, (B) =
(b1, b2, . . . , bn) je usporˇa´dana´ ba´ze L1 a (C) = (c1, c2, . . . , cm) je usporˇa´-
dana´ ba´ze L2. Pak ke kazˇde´ matici A typu (m, n) existuje pra´veˇ jedno
linea´rnı´ zobrazenı´ A : L1 → L2 takove´, zˇe A je maticı´ zobrazenı´ A
vzhledem k ba´zı´m (B) a (C).
128 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.48 Veˇta. Necht’ (B) je ba´ze v L1, (C) je ba´ze v L2, A : L1 → L2 je linea´rnı´ a A
je maticı´ zobrazenı´ A vzhledem k ba´zı´m (B) a (C). Pak hod A = hodA.
129 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.49 Veˇta. Necht’(B) = (b1, b2, . . . , bn) je ba´ze v L1, (C) = (c1, c2, . . . , cm) je ba´ze
v L2, A : L1 → L2 je linea´rnı´ a A je maticı´ zobrazenı´ A vzhledem k ba´zı´m
(B) a (C). Pak pro kazˇdy´ vektor x ∈ L1, x = (x1, x2, . . . , xn)(B), platı´ pro
sourˇadnice vektoru A(x) = (y1, y2, . . . , ym)(C) na´sledujı´cı´ vzorec:
A ⋅
0
B@
x1
x2.
..
xn
1
CA =
0
B@
y1
y2.
..
ym
1
CA
130 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.53 Veˇta. Necht’ L1, L2 jsou linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze, A : L1 → L2
je linea´rnı´. Pak
def A + hodA = dim L1.
131 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.55 Veˇta. Necht’ L1, L2, L3 jsou linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze, A : L1 →
L2, B : L2 → L3 jsou linea´rnı´ zobrazenı´. Necht’ da´le (B) je usporˇa´dana´
ba´ze L1, (C) je usporˇa´dana´ ba´ze L2 a (D) je usporˇa´dana´ ba´ze L3. Prˇedpo-
kla´dejme jesˇteˇ, zˇe A je matice zobrazenı´ A vzhledem k ba´zı´m (B) a (C) a
konecˇneˇ B je matice zobrazenı´ B vzhledem k ba´zı´m (C) a (D). Pak B ⋅ A
je matice slozˇene´ho zobrazenı´ A – B vzhledem k ba´zı´m (B) a (D).
132 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.56 Veˇta. Necht’ (B) a (C) jsou dveˇ ba´ze linea´rnı´ho prostoru L. Pak matice
identicke´ho zobrazenı´ I : L → L vzhledem k ba´zı´m (B) a (C) je rovna
matici prˇechodu A(C,B) od ba´ze (C) k ba´zi (B).
133 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.2 Definice. Necht’ L je linea´rnı´ prostor. Operaci ⋅ : L × L → R nazveme
skala´rnı´m soucˇinem, pokud splnˇuje ∀x ∈ L, ∀y ∈ L, ∀z ∈ L, ∀α ∈ R
na´sledujı´cı´ vlastnosti
(1) x ⋅ y = y ⋅ x
(2) (x + y) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z
(3) (α ⋅ x) ⋅ y = α ⋅ (x ⋅ y)
(4) x ⋅ x ≥ 0, x ⋅ x = 0 jen tehdy, kdyzˇ x = o
Ve vlastnosti (4) znacˇı´ symbol o nulovy´ vektor linea´rnı´ho prostoru L.
134 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.6 Veˇta. Necht’L je linea´rnı´ prostor se skala´rnı´m soucˇinem, o je jeho nulovy´
vektor. Pak pro vsˇechna x ∈ L, y ∈ L a z ∈ L platı´: (1) x ⋅ o = o ⋅ x = 0, (2)
z ⋅ (x + y) = zx + zy.
135 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.11 Definice. Cˇ tvercova´ matice A typu (n, n) je symetricka´, pokud platı´ AT =
A.
136 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.12 Definice. Necht’A je cˇtvercova´ matice typu (n, n). Oznacˇme Ai cˇtvercovou
matici typu (n − i, n − i), ktera´ vznika´ z matice A vynecha´nı´m poslednı´ch
i rˇa´dku˚ a poslednı´ch i sloupcu˚. Matice A se nazy´va´ pozitivneˇ definitnı´,
pokud vsˇechny determinanty det Ai, i ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} jsou kladne´.
137 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.14 Veˇta. Necht’ A je cˇtevrcova´ matice typu (n, n). Definujme soucˇin na Rn
takto. Pro x ∈ Rn, y ∈ Rn je
x ⋅ y = x ⋅ A ⋅ yT,
kde na prave´ straneˇ rovnosti je maticovy´ soucˇin jednorˇa´dkove´ matice x,
ktera´ obsahuje slozˇky vektoru x, s maticı´ A a s maticı´ yT, cozˇ je sloupec
slozˇek vektoru y.
Pak x ⋅ y je skala´rnı´m soucˇinem pra´veˇ tehdy, kdyzˇ A je symetricka´ a
pozitivneˇ definitnı´ matice.
138 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.17 Definice. Necht’ L je linea´rnı´ prostor se skala´rnı´m soucˇinem. Pro x ∈ L
definujeme velikost vektoru x hodnotou px ⋅ x. Velikost vektoru x znacˇı´me
|x|, takzˇe je
|x| = px ⋅ x, tj. |x|2 = x ⋅ x
139 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.19 Veˇta. Necht’ x je prvkem linea´rnı´ho prostoru se skala´rnı´m soucˇinem,
α ∈ R. Pak
|α x| = |α| ⋅ |x|.
Za´pis |α| zde znacˇı´ absolutnı´ hodnotu rea´lne´ho cˇı´sla, ostatnı´ symboly „| |“
znamenajı´ velikosti vektoru˚.
140 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.20 Definice. Necht’ L je linea´rnı´ prostor se skala´rnı´m soucˇinem a x ∈ L,
y ∈ L, x 6= o, y 6= o. Pak u´hel mezi vektory x a y je takove´ cˇı´slo φ, pro ktere´
platı´
cos φ = x ⋅ y|x| ⋅ |y|
141 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.22 Veˇta. (Schwartzova nerovnost). Necht’ L je linea´rnı´ prostor se skala´rnı´m
soucˇinem a x ∈ L, y ∈ L. Pak platı´:
|x ⋅ y| ≤ |x| ⋅ |y|.
Symbol „| |“ na leve´ straneˇ nerovnice znamena´ absolutnı´ hodnotu rea´lne´ho
cˇı´sla, zatı´mco stejne´ symboly na prave´ straneˇ nerovnice oznacˇujı´ velikost
vektoru.
142 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.23 Definice. Necht’L je linea´rnı´ prostor se skala´rnı´m soucˇinem. Vzda´lenost
vektoru x od vektoru y definujeme jako |y − x|. Podle veˇty 8.19 je |y − x| =
|x−y|, takzˇe cˇasto mluvı´me o vzda´lenosti dvou vektoru˚ x a y (bez za´vislosti
na jejich porˇadı´).
143 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.24 Veˇta. (Troju´helnı´kova´ nerovnost). Pro velikosti vektoru˚ platı´
|x + y| ≤ |x| + |y|.
144 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.29 Definice. Necht’ L je linea´rnı´ prostor se skala´rnı´m soucˇinem. Dva nenu-
love´ vektory x ∈ L a y ∈ L jsou na sebe kolme´, (znacˇı´me x ⊥ y), pokud je
x ⋅ y = 0.
145 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.31 Definice. Necht’ B = {b1, b2, . . . , bn} je ba´ze linea´rnı´ho prostoru se ska-
la´rnı´m soucˇinem. Ba´zi B nazy´va´me ortogona´lnı´, pokud bi ⊥ bj ∀i ∈
{1, 2, . . . , n}, ∀j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j.
Ba´zi B nazy´va´me ortonorma´lnı´, pokud je ortogona´lnı´, a navı´c |bi| = 1,
∀i ∈ {1, 2, . . . , n}.
146 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.32 Veˇta. Ba´ze B = {b1, b2, . . . , bn} je ortonorma´lnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ
bi ⋅ bj =
‰0 pro i 6= j,
1 pro i = j.
147 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.33 Veˇta. Necht’(B) je ortonorma´lnı´ usporˇa´dana´ ba´ze linea´rnı´ho prostoru L se
skala´rnı´m soucˇinem. Pak pro vsˇechna x ∈ L, y ∈ L, x = (x1, x2, . . . , xn)(B),
y = (y1, y2, . . . , yn)(B) lze skala´rnı´ soucˇin pocˇı´tat ze sourˇadnic vektoru˚
takto:
x ⋅ y = x1y1 + x2y2 + ¢¢¢ + xnyn.
148 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.35 Veˇta. Necht’ x1, x2, . . . , xn jsou nenulove´ vektory linea´rnı´ho prostoru se
skala´rnı´m soucˇinem, ktere´ jsou na sebe navza´jem kolme´, tj. xi ⋅ xj = 0 pro
i ≠ j a xi ⋅ xi > 0. Pak jsou tyto vektory linea´rneˇ neza´visle´.
149 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.36 Veˇta. Necht’(B) = (b1, b2, . . . , bn) je ortonorma´lnı´ ba´ze linea´rnı´ho prostoru
se skala´rnı´m soucˇinem. Pak pro sourˇadnice libovolne´ho vektoru x platı´
x = (x⋅b1, x⋅b2, . . . , x⋅bn)(B).
150 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.38 Veˇta. Necht’(B) = (b1, b2, . . . , bn) je ortonorma´lnı´ ba´ze linea´rnı´ho prostoru
se skala´rnı´m soucˇinem a x = (x1, x2, . . . , xn)(B) je jeho libovolny´ vektor. Pak
u´hlel φi mezi vektorem x a vektorem bi lze pocˇı´tat podle vzorce
cos φi = xi|x| .
151 Linea´rnı´ prostory se skala´rnı´m soucˇinem
8.41 Veˇta. (Schmidtu˚v ortogonalizacˇnı´ proces). Necht’ {b1, b2, . . . , bn} je ba´ze
linea´rnı´ho prostoru L se skala´rnı´m soucˇinem. Pak existuje ortonorma´lnı´
ba´ze {c1, c2, . . . , cn} takova´, zˇe
〈b1, b2, . . . , bk〉 = 〈c1, c2, . . . , ck〉, ∀k ∈ {1, 2, . . . , n}
152 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.6 Definice. Necht’ L je linea´rnı´ prostor se skala´rnı´m soucˇinem, u ∈ L, v ∈
L, v ≠ o. Pak cˇı´slo u ⋅ v
|v|
nazy´va´me kolmy´ pru˚meˇt vektoru u na vektor v.
153 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.10 Definice. Necht’ UO je linea´rnı´ prostor se skala´rnı´m soucˇinem podle
prˇı´kladu 9.3. Ortonorma´lnı´ usporˇa´danou ba´zi (B) = (i, j, k) nazy´va´me
kladneˇ orientovanou, pokud prˇi vhodne´m umı´steˇnı´ a natocˇenı´ pozoro-
vatele vzhledem k te´to ba´zi smeˇrˇuje u´secˇka i vpravo od pozorovatele, j
smeˇrem k pozorovateli a k nahoru.
Vsˇechny ba´ze (C) (ne nutneˇ ortonorma´lnı´), ktere´ majı´ matici prˇechodu od
(B) k (C) s kladny´m determinantem, nazy´va´me kladneˇ orientovane´ ba´ze.
Vsˇechny ba´ze (D), ktere´ majı´ matici prˇechodu od (B) k (D) se za´porny´m
determinantem, nazy´va´me za´porneˇ orientovane´ ba´ze.
154 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.13 Definice. Orientovat libovolny´ linea´rnı´ prostor s konecˇnou dimenzı´ zna-
mena´ prohla´sit jednu jeho usporˇa´danou ba´zi (B) za vy´chozı´ kladneˇ ori-
entovanou. Usporˇa´dana´ ba´ze (C) se nazy´va´ kladneˇ orientovana´, pokud
matice prˇechodu od vy´chozı´ ba´ze (B) k ba´zi (C) ma´ kladny´ determinant.
Usporˇa´dana´ ba´ze (D) se nazy´va´ za´porneˇ orientovana´, pokud matice prˇe-
chodu od vy´chozı´ ba´ze (B) k ba´zi (D) ma´ za´porny´ determinant.
155 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.17 Definice. Necht’ UO je linea´rnı´ prostor orientovany´ch u´secˇek. Vektorovy´
soucˇin je zobrazenı´ (oznacˇujeme jej krˇı´zˇkem) × : UO × UO → UO, ktere´
splnˇuje na´sledujı´cı´ vlastnosti.
(A) Jsou-li vektory {u, v} ⊂ UO linea´rneˇ za´visle´, definujeme u × v = o
(nulovy´ vektor).
(B) Jsou-li vektory {u, v} ⊂ UO linea´rneˇ neza´visle´, pak je vektor u × v
jednoznacˇneˇ urcˇen na´sledujı´cı´mi trˇemi vlastnostmi:
(1) (u × v) ⊥ u, (u × v) ⊥ v,
(2) |u × v| = |u| |v| sin φ, kde φ je u´hel mezi vektory u a v.
(3) Usporˇa´dana´ ba´ze (u, v, u × v) je kladneˇ orientovana´.
156 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.20 Veˇta. (Sourˇadnice vektorove´ho soucˇinu). Necht’ (B) = (i, j, k) je orto-
norma´lnı´ kladneˇ orientovana´ usporˇa´dana´ ba´ze linea´rnı´ho prostoru UO,
u = (u1, u2, u3)(B), v = (v1, v2, v3)(B). Pak platı´:
u × v =
flfl
flflu2 u3v
2 v3
flfl
flfl, −
flfl
flflu1 u3v
1 v3
flfl
flfl,
flfl
flflu1 u2v
1 v2
flfl
flfl
¶
(B)
.
157 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.22 Definice. Necht’ u ∈ R3, v ∈ R3, u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3). Pak
definujeme vektorovy´ soucˇin na R3 prˇedpisem:
u × v =
flfl
flflu2 u3v
2 v3
flfl
flfl, −
flfl
flflu1 u3v
1 v3
flfl
flfl,
flfl
flflu1 u2v
1 v2
flfl
flfl
¶
.
158 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.24 Veˇta. (Za´kladnı´ vlastnosti vektorove´ho soucˇinu). Necht’L je linea´rnı´ pro-
stor s vektorovy´m soucˇinem a u ∈ L, v ∈ L, w ∈ L, α ∈ R. Platı´:
u × u = o
u × v = −(v × u) (antikomutativnı´ za´kon)
(α u) × v = α (u × v) = u × (α v)
(u + v) × w = u × w + v × w
u × (v + w) = u × v + u × w
159 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.27 Veˇta. (Geometricky´ vy´znam vektorove´ho soucˇinu). Necht’ vektory u, v
jsou linea´rneˇ neza´visle´. Velikost vektorove´ho soucˇinu u × v je rovna plosˇe
rovnobeˇzˇnı´ka urcˇene´ho svy´mi stranami u a v.
160 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.28 Definice. Necht’u, v, w jsou vektory z linea´rnı´ho prostoru se skala´rnı´m a
vektorovy´m soucˇinem. Pak cˇı´slo u ⋅ (v × w) nazy´va´me smı´sˇeny´m soucˇinem
vektoru˚ u, v, w (v tomto porˇadı´).
161 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.29 Veˇta. (Smı´sˇeny´ soucˇin ze sourˇadnic vektoru˚). Necht’ (B) = (i, j, k) je or-
tonorma´lnı´ kladneˇ orientovana´ usporˇa´dana´ ba´ze linea´rnı´ho prostoru se
skala´rnı´m a vektorovy´m soucˇinem, u = (u1, u2, u3)(B), v = (v1, v2, v3)(B),
w = (w1, w2, w3)(B). Pak je smı´sˇeny´ soucˇin u ⋅ (v × w) roven determinantu:
flfl
flfl
fl
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
flfl
flfl
fl.
162 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.30 Veˇta. (Geometricky´ vy´znam smı´sˇene´ho soucˇinu). Absolutnı´ hodnota smı´-
sˇene´ho soucˇinu linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚ u, v, w je rovna objemu rov-
nobeˇzˇnosteˇnu urcˇene´ho svy´mi stranami u, v, w.
163 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.34 Definice. Necht’ UO je linea´rnı´ prostor z prˇı´kladu˚ 9.2 a 9.3. Volme uO ∈
UO. Mnozˇinu vsˇech orientovany´ch u´secˇek, ktere´ jsou s u´secˇkou uO rovno-
beˇzˇne´ a majı´ stejnou velikost a orientaci nazy´va´me vektorem linea´rnı´ho
prostoru V3.
Necht’ u je vektor linea´rnı´ho prostoru V3 Jedna´ se tedy o mnozˇinu vza´-
jemneˇ rovnobeˇzˇny´ch u´secˇek stejneˇ velky´ch a stejneˇ orientovany´ch. Ja-
koukoli orientovanu u´secˇku z te´to mnozˇiny nazy´va´me reprezentantem
vektoru u.
Na linea´rnı´m prostoru V3 definujeme scˇı´ta´nı´ vektoru˚ a skala´rnı´ na´sobek.
Necht’ u ∈ V3, v ∈ V3. Volme neˇjaky´ bod O ∈ E3. Existuje pra´veˇ jeden
reprezentant vektoru u, ktery´ zacˇı´na´ v bodeˇ O. Oznacˇme jej uO. Da´le
necht’ vO je reprezentant vektoru v zacˇı´najı´cı´ v bodeˇ O. Pak je definova´n
soucˇet wO = uO + vO na linea´rnı´m prostoru UO. Soucˇet u + v je takovy´
prvek z V3, pro ktery´ je wO jeho reprezentantem zacˇı´najı´cı´m v bodeˇ O.
Je to tedy mnozˇina vsˇech orientovany´ch u´secˇek rovnobeˇzˇny´ch, stejneˇ
velky´ch a stejneˇ orientovany´ch, jako u´secˇka wO.
164 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
Skala´rnı´ na´sobek definujeme podobneˇ. Necht’ je u ∈ V3, α ∈ R. Pro u
existuje reprezentant uO zacˇı´najı´cı´ v bodeˇ O. K neˇmu existuje skala´rnı´
na´sobek definovany´ v UO. Oznacˇme jej wO = α uO. Vy´sledny´ vektor α u
je vektorem z V3 takovy´m, zˇe wO je jeho reprezentant.
Skala´rnı´ soucˇin vektoru˚ u ∈ V3, v ∈ V3 definujeme jako skala´rnı´ soucˇin
jejich reprezentantu˚ uO a vO v linea´rnı´m prostoru UO.
Vektorovy´ soucˇin u×v definujeme tak, zˇe reprezentanty uO a vO vektoru˚ u
a v vyna´sobı´me v linea´rnı´m prostoru UO. Vy´sledny´ soucˇin u × v je takovy´
vektor, pro ktery´ je uO × vO jeho reprezentantem zacˇı´najı´cı´m v bodeˇ O.
165 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.37 Definice. Ortonorma´lnı´ ba´ze na V3 je takova´ ba´ze, jejı´zˇ reprezentanti
zacˇı´najı´cı´ v neˇjake´m bodeˇ O ∈ E3 tvorˇı´ ortonorma´lnı´ ba´zi v UO. Viz prˇı´-
klad 9.7.
Kladneˇ orientovana´ ba´ze na V3 ja takova´ ba´ze, jejı´zˇ reprezentanti zacˇı´-
najı´cı´ v neˇjake´m bodeˇ O ∈ E3 tvorˇı´ kladneˇ orientovanou ba´zi v UO.
166 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.39 Definice. Pro kazˇdy´ bod A ∈ E3 a volny´ vektor v ∈ V3 existuje pra´veˇ
jeden reprezentant vektoru v, ktery´ zacˇı´na´ v bodeˇ A. Koncovy´ bod B ∈ E3
tohoto reprezentanta nazy´va´me soucˇtem bodu A s vektorem v a znacˇı´me
B = A + v.
Pro kazˇde´ dva body A ∈ E3, B ∈ E3 existuje v ∈ V3 takovy´, zˇe orientovana´
u´secˇka s pocˇa´tkem v bodeˇ A a koncem v bodeˇ B je reprezentantem tohoto
vektoru. Vektor v nazy´va´me rozdı´lem B−A, pı´sˇeme v = B−A. Vektor B−A
se cˇasto znacˇı´ symbolem ¡!AB.
167 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.42 Definice. Libovolny´ bod O ∈ E3 spolecˇneˇ s usporˇa´danou ba´zı´ (B) =
(b1, b2, b3) vektoru˚ z V3 tvorˇı´ sourˇadnicovy´ syste´m bodove´ho prostoru E3.
Sourˇadnice vektoru u ∈ V3 v tomto sourˇadnicove´m syste´mu definujeme
jako sourˇadnice vektoru u vzhledem k usporˇa´dane´ ba´zi (B).
Sourˇadnice bodu A ∈ E3 v tomto sourˇadnicove´m syste´mu definujeme
jako sourˇadnice vektoru A − O. Vektor A − O nazy´va´me v tomto kontextu
radiusvektorem bodu A.
Prˇı´mky O + 〈b1〉, O + 〈b2〉, O + 〈b3〉 jsou osy sourˇadnicove´ho syste´mu.
Je-li ba´ze (B) ortogona´lnı´, nazy´va´me odpovı´dajı´cı´ sourˇadnicovy´ syste´m
pravou´hly´. Je-li ba´ze (B) ortonorma´lnı´, nazy´va´me odpovı´dajı´cı´ sourˇadni-
covy´ syste´m karte´zsky´. Je-li ba´ze (B) kladneˇ orientovana´, mluvı´me te´zˇ
o kladneˇ orientovane´m sourˇadnicove´m syste´mu.
168 Aplikace linea´rnı´ algebry v geometrii
9.44 Veˇta. Zvolme pevneˇ sourˇadnicovy´ syste´m bodove´ho prostoru E3, vzhle-
dem ke ktere´mu budeme uda´vat sourˇadnice bodu˚ a vektoru˚. Tento sou-
rˇadnicovy´ syste´m nemusı´ by´t nutneˇ karte´zsky´. Necht’ A ∈ E3 ma´ sourˇad-
nice (a1, a2, a3), B ∈ E3 ma´ sourˇadnice (b1, b2, b3), u ∈ V3 ma´ sourˇadnice
(u1, u2, u3), v ∈ V3 ma´ sourˇadnice (v1, v2, v3), α ∈ R, β ∈ R. Potom platı´:
(1) Vektor α u + β v ma´ sourˇadnice α (u1, u2, u3) + β (v1, v2, v3).
(2) Bod A + u ma´ sourˇadnice (a1, a2, a3) + (u1, u2, u3).
(3) Vektor ¡!AB = B − A ma´ sourˇadnice (b1, b2, b3) − (a1, a2, a3).
Vloženo: 25.06.2009
Velikost: 195,35 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Reference vyučujících předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Podobné materiály
- X01ALG - Úvod do algebry - Skripta Sbírka příkladů
- X01ALG - Úvod do algebry - Skripta Úvod do algebry Olšák
- X02FY1 - Fyzika 1 - Skripta Fyzika 1
- X12TDO - Technická dokumentace - Skripta Úvod do elektrotechniky
- Y36PJV - Programování v jazyku Java - Skripta online JAVA
- X01ALG - Úvod do algebry - skripta
Copyright 2024 unium.cz