- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál, in) je permutace n prvku˚. Pocˇet inverzı´ te´to
permutace je pocˇet takovy´ch dvojic (ik, il), pro ktere´ platı´ ik > il, a prˇitom
k < l.
58 Determinant
4.7 Definice. Pro kazˇdou permutaci pi = (i1, . . . , in) definujeme zname´nko
permutace sgn pi takto:
sgn pi =
‰+1 ma´-li pi sudy´ pocˇet inverzı´
−1 ma´-li pi lichy´ pocˇet inverzı´
59 Determinant
4.9 Veˇta. Prohozenı´ jedine´ dvojice prvku˚ v permutaci zpu˚sobı´ zmeˇnu jejı´ho
zname´nka.
60 Determinant
4.10 Definice. Necht’ pi = (i1, i2, . . . , in) je permutace n prvku˚. Inverznı´ permu-
tacı´ k permutaci pi je permutace (j1, j2, . . . , jn), pro kterou platı´ jik = k pro
vsˇechna k ∈ {1, 2, . . . , n}. Tuto permutaci oznacˇujeme znakem pi −1.
61 Determinant
4.12 Veˇta. Necht’ pi je permutace n prvku˚. Pak pi−1 ma´ stejny´ pocˇet inverzı´,
jako pi.
62 Determinant
4.13 Veˇta. Permutace pi a pi−1 majı´ vzˇdy stejna´ zname´nka.
63 Determinant
4.15 Definice. Necht’ A = (ai,j) je cˇtvercova´ matice typu (n, n). Cˇ ı´slo
∑
pi=(i1,i2,...,in)
sgn pi ⋅ a1,i1 a2,i2 ¢¢¢ an,in
nazy´va´me determinantem matice A a znacˇı´me je det A. V uvedene´m
vzorci se scˇı´ta´ prˇes vsˇechny permutace n prvku˚, tj. jedna´ se podle veˇty 4.3
o n! scˇı´tancu˚.
64 Determinant
4.19 Definice. Necht’ A = (ai,j) je matice typu (n, n). Hlavnı´ diagona´la matice
A je skupina jejı´ch prvku˚ a1,1, a2,2, . . . , an,n. Vedlejsˇı´ diagona´la matice A
zahrnuje prvky a1,n, a2,n−1, . . . , an,1. Prvek pod hlavnı´ diagona´lou je kazˇdy´
prvek ai,j, pro ktery´ platı´ i > j. Prvek nad hlavnı´ diagona´lou je kazˇdy´
prvek ai,j, pro ktery´ platı´ i < j.
65 Determinant
4.21 Veˇta. Za´kladnı´ vlastnosti determinantu.
(V1) Jestlizˇe se matice B lisˇı´ od matice A jen prohozenı´m jedne´ dvojice
rˇa´dku˚, pak det B = − det A.
(V2) Jestlizˇe matice A ma´ dva stejne´ rˇa´dky, pak det A = 0.
V dalsˇı´ch vlastnostech (V3) azˇ (V5) oznacˇujeme symbolem
ˆ ...
ai.
..
!
matice,
ktere´ se lisˇı´ pouze v i-te´m rˇa´dku, zde oznacˇene´m ai. V rˇa´dcı´ch, ktere´ jsou
vyznacˇeny tecˇkami, se jednotlive´ matice shodujı´.
(V3) det
ˆ ...
α ai.
..
!
= α det
ˆ ...
ai.
..
!
(V4) det
ˆ ...
ai.
..
!
+ det
ˆ ...
bi.
..
!
= det
ˆ ...
ai + bi.
..
!
(V5) det
0
@
...
ai + α aj.
..
1
A = det
ˆ ...
ai.
..
!
, kde aj je jiny´ rˇa´dek te´zˇe matice.
66 Determinant
4.27 Veˇta. Cˇ tvercova´ matice A je regula´rnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ det A 6= 0.
67 Determinant
4.28 Veˇta. Necht’ A je cˇtvercova´ matice. Pak det A = det AT.
68 Determinant
4.30 Veˇta. O rozvoji deterinantu podle r-te´ho rˇa´dku. Necht’ A = (ar,s) je cˇtver-
cova´ matice typu (n, n) a Ai,j jsou matice typu (n−1, n−1), ktere´ vzniknou
z matice A vynecha´nı´m i-te´ho rˇa´dku a j-te´ho sloupce. Pak pro kazˇde´
r ∈ {1, . . . , n} platı´
ar,1 (−1)r+1 det Ar,1 + ar,2 (−1)r+2 det Ar,2 + ¢¢¢ + ar,n (−1)r+n det Ar,n = det A
Je-li da´le t ∈ {1, . . . , n}, t 6= r, pak platı´
ar,1 (−1)t+1 det At,1 + ar,2 (−1)t+2 det At,2 + ¢¢¢ + ar,n (−1)t+n det At,n = 0
69 Determinant
4.32 Definice. Necht’ A je cˇtvercova´ matice typu (n, n). Doplneˇk matice A
v pozici (i, j) je cˇı´slo Di,j, definovane´ vzorcem: Di,j = (−1)i+j det Ai,j, kde Ai,j
je matice typu (n − 1, n − 1), ktera´ vznikne z matice A vynecha´nı´m i-te´ho
rˇa´dku a j-te´ho sloupce.
70 Determinant
4.35 Veˇta. Necht’ A, B jsou cˇtvercove´ matice. Pak det A det B = det(A ⋅ B).
71 Determinant
4.37 Veˇta. Ke cˇtvercove´ matici A existuje inverznı´ matice pra´veˇ tehdy, kdyzˇ
A je regula´rnı´.
72 Determinant
4.38 Veˇta. Necht’ A je regula´rnı´ matice. Pak det A−1 = 1/ det A.
73 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.1 Definice. Necht’ A je matice rea´lny´ch cˇı´sel typu (m, n), necht’ da´le x je
jednosloupcova´ matice symbolu˚
ˆx
1..
.
xn
!
typu (n, 1) a b je matice rea´lny´ch
cˇı´sel
ˆ b
1..
.
bm
!
typu (m, 1). Pak maticovou rovnost
A x = b
navy´va´me soustavou m linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch. Matici A na-
zy´va´me maticı´ soutavy a vektor bT = (b1, . . . , bm) nazy´va´me vektorem
pravy´ch stran. Prˇipı´sˇeme-li k matici soustavy do dalsˇı´ho sloupce matici b
oddeˇlenou (pouze pro prˇehlednost) svislou cˇarou, dosta´va´me matici (A|b)
typu (m, n + 1), kterou nazy´va´me rozsˇı´rˇenou maticı´ soustavy.
74 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.2 Definice. Rˇesˇenı´m soustavy A x = b je takovy´ vektor
a = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Rn,
pro ktery´ platı´: dosadı´me-li hodnoty αi za symboly xi, pak je splneˇna
pozˇadovana´ maticova´ rovnost, tj.
A ⋅
0
B@
α1
α2.
..
αn
1
CA =
0
B@
b1
b2.
..
bm
1
CA.
Rˇesˇit soustavu A x = b znamena´ nale´zt vsˇechna jejı´ rˇesˇenı´, tj. nale´zt
podmnozˇinu Rn vsˇech rˇesˇenı´ te´to soustavy.
75 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.4 Veˇta. (Frobeniova). Soustava A x = b ma´ rˇesˇenı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ
hod A = hod(A|b),
tj. kdyzˇ hodnost matice soustavy se rovna´ hodnosti rozsˇı´rˇene´ matice sou-
stavy.
76 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.6 Definice. Necht’ A x = b je soustava m linea´rnı´ch rovnic o n nezna´my´ch
a C x = d je soustava k linea´rnı´ch rovnic o stejne´m pocˇtu n nezna´my´ch.
Rˇ ı´ka´me, zˇe tyto soustavy jsou ekvivalentnı´, pokud obeˇ soustavy majı´
stejne´ mnozˇiny rˇesˇenı´.
77 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.8 Veˇta. Ke kazˇde´ soustaveˇ A x = b lze nale´zt ekvivalentnı´ soustavu C x = d,
jejı´zˇ matice C je hornı´ troju´helnı´kova´.
78 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.9 Definice. Existuje-li v matici b asponˇ jeden prvek nenulovy´, rˇı´ka´me, zˇe
je soustava linea´rnı´ch rovnic A x = b nehomogennı´. Jsou-li vsˇechny prvky
v matici b nulove´, nazy´va´me soustavu rovnic homogennı´ a zapisujeme ji
takto:
A x = o (symbolem o nynı´ znacˇı´me jednosloupcovou nulovou matici).
79 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.10 Veˇta. Mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy A x = o s n nezna´my´mi
tvorˇı´ linea´rnı´ podprostor linea´rnı´ho prostoru Rn.
80 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.13 Veˇta. Necht’ A x = o je homogennı´ soustava linea´rnı´ch rovnic o n ne-
zna´my´ch, k = n − hod A. Pak existuje k linea´rneˇ neza´visly´ch vektoru˚
u1, u2, . . . , uk z Rn takovy´ch, zˇe pro mnozˇinu M0 vsˇech rˇesˇenı´ soustavy
A x = o platı´
M0 = 〈u1, u2, . . . , uk〉.
Vektory u1, u2, . . . , uk tvorˇı´ jednu z mozˇny´ch ba´zı´ linea´rnı´ho prostoru
vsˇech rˇesˇenı´ M0.
81 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.14 Veˇta. Necht’ M0 je linea´rnı´ prostor vsˇech rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy
linea´rnı´ch rovnic A x = o s n nezna´my´mi. Pak dim M0 = n − hod A.
82 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.17 Definice. Necht’ A x = b je nehomogennı´ soustava linea´rnı´ch rovnic o n
nezna´my´ch a v ∈ Rn je neˇjake´ jedno jejı´ rˇesˇenı´. Takove´mu rˇesˇenı´ v rˇı´ka´me
partikula´rnı´ rˇesˇenı´ nehomogennı´ soustavy.
Pokud zameˇnı´me matici b za nulovou matici stejne´ho typu, dosta´va´me
homogennı´ soustavu A x = o, kterou nazy´va´me prˇidruzˇenou homogennı´
soustavou k soustaveˇ A x = b.
83 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.18 Veˇta. (1) Necht’ v je partikula´rnı´ rˇesˇenı´ nehomogennı´ soustavy A x = b a
u je libovolne´ rˇesˇenı´ prˇidruzˇene´ homogennı´ soustavy A x = o. Pak v + u
je take´ rˇesˇenı´m soustavy A x = b.
(2) Necht’v a w jsou dveˇ partikula´rnı´ rˇesˇenı´ nehomogennı´ soustavy A x =
b. Pak v − w je rˇesˇenı´m prˇidruzˇene´ homogennı´ soustavy A x = o.
84 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.19 Veˇta. Necht’ v je partikula´rnı´ rˇesˇenı´ soustavy A x = b a M0 je linea´rnı´
prostor vsˇech rˇesˇenı´ prˇidruzˇene´ homogennı´ soustavy A x = o. Pak pro
mnozˇinu M vsˇech rˇesˇenı´ soustavy A x = b platı´
M = {v + u; u ∈ M0}.
85 Soustavy linea´rnı´ch rovnic
5.29 Veˇta. (Cramerovo pravidlo). Necht’ A je regula´rnı´ cˇtvercova´ matice. Pak
pro i-tou slozˇku rˇesˇenı´ soustavy A x = b platı´
αi = det Bidet A ,
kde matice Bi je shodna´ s maticı´ A azˇ na i-ty´ sloupec, ktery´ je zameˇneˇn
za sloupec pravy´ch stran.
86 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.3 Definice. Necht’ L je linea´rnı´ prostor, M a N jsou jeho podprostory. Mno-
zˇinu 〈M ∪ N〉 nazy´va´me spojenı´m podprostoru˚ M a N a znacˇı´me M ∨ N.
87 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.5 Veˇta. Necht’ L je linea´rnı´ prostor, M a N jsou jeho podprostory. Pro pod-
prostor M ∨ N platı´:
M ∨ N = {y + z; y ∈ M, z ∈ N}.
88 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.6 Veˇta. Necht’ L je linea´rnı´ prostor konecˇne´ dimenze, M a N jsou jeho
podprostory. Pak
dim M + dim N = dim(M ∩ N) + dim(M ∨ N)
89 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.8 Definice. Necht’B = {b1, b2, . . . , bn} je ba´ze linea´rnı´ho prostoru L. Za´lezˇı´-
li na´m na porˇadı´ prvku˚ ba´ze b1, b2, . . . , bn (tj. pozˇadujeme, aby b1 byl
prvnı´ prvek ba´ze, b2 druhy´ prvek atd.), pak mluvı´me o usporˇa´dane´ ba´zi.
Usporˇa´dana´ ba´ze je tedy usporˇa´dana´ n-tice prvku˚ ba´ze, tj. (b1, b2, . . . , bn).
Skutecˇnost, zˇe ba´ze B je usporˇa´dana´, budeme vyznacˇovat symbolem (B).
90 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.10 Definice. Necht’ (B) = (b1, b2, . . . , bn) je usporˇa´dana´ ba´ze linea´rnı´ho pro-
storu L a x ∈ L je libovolny´ vektor. Usporˇa´danou n-tici rea´lny´ch cˇı´sel
(α1, α2, . . . , αn) nazy´va´me sourˇadnicemi vektoru x vzhledem k usporˇa´dane´
ba´zi (B), pokud platı´
x = α1 b1 + α2 b2 + ¢¢¢ + αn bn.
Skutecˇnost, zˇe (α1, α2, . . . , αn) jsou sourˇadnice vektoru x vzhledem k uspo-
rˇa´dane´ ba´zi (B) budeme zapisovat takto:
x = (α1, α2, . . . , αn)(B)
91 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.12 Veˇta. Necht’(B) je usporˇa´dana´ ba´ze linea´rnı´ho porostoru L. Pak pro kazˇdy´
prvek x ∈ L jsou sourˇadnice x vzhledem k ba´zi (B) urcˇeny jednoznacˇneˇ.
92 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.13 Veˇta. Necht’ (B) = (b1, b2, . . . , bn) je usporˇa´dana´ ba´ze linea´rnı´ho pro-
storu L. Pak pro kazˇdy´ prvek a ∈ Rn, a = (α1, α2, . . . , αn), existuje x ∈ L
takovy´, zˇe x = (α1, α2, . . . , αn)(B).
93 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.18 Definice. Necht’(B) = (b1, b2, . . . , bn) a (C) = (c1, c2, . . . , cn) jsou dveˇ uspo-
rˇa´dane´ ba´ze stejne´ho linea´rnı´ho prostoru L. Matici A, ktera´ splnˇuje ma-
ticovou rovnost
(b1, b2, . . . , bn) ⋅ A = (c1, c2, . . . , cn)
nazy´va´me maticı´ prˇechodu od usporˇa´dane´ ba´ze (B) k usporˇa´dane´ ba´zi (C).
Na definicˇnı´ rovnost se dı´va´me jako na soucˇin jednorˇa´dkove´ matice vek-
toru˚ (b1, b2, . . . , bn) s maticı´ A rea´lny´ch cˇı´sel typu (n, n), ktery´ se ma´
rovnat jednorˇa´dkove´ matici vektoru˚ (c1, c2, . . . , cn).
Matici prˇechodu od ba´ze (B) k ba´zi (C) budeme cˇasto pro na´zornost ozna-
cˇovat A(B,C).
94 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.19 Veˇta. Pro kazˇde´ dveˇ usporˇa´dane´ ba´ze stejne´ho linea´rnı´ho prostoru (B) a
(C) existuje pra´veˇ jedna regula´rnı´ matice prˇechodu A(B,C).
95 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.21 Veˇta. Je-li A matice prˇechodu od ba´ze (B) k ba´zi (C), pak A−1 je matice
prˇechodu od ba´ze (C) k ba´zi (B).
96 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.23 Veˇta. Necht’ (B) a (C) jsou dveˇ usporˇa´dane´ ba´ze linea´rnı´ho prostoru L,
A(B,C) je matice prˇechodu od (B) k (C). Pak pro sourˇadnice kazˇde´ho vektoru
x ∈ L, x = (x1, x2, . . . , xn)(B) = (y1, y2, . . . , yn)(C) platı´:
A(B,C) ⋅
ˆy
1..
.
yn
!
=
ˆx
1..
.
xn
!
97 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.27 Veˇta. Necht’ A(B,C) je matice prˇechodu od ba´ze (B) k ba´zi (C) a A(C,D) je
matice prˇechodu od ba´ze (C) k ba´zi (D). Pak pro matici prˇechodu A(B,D)
od ba´ze (B) k ba´zi (D) platı´
A(B,D) = A(B,C) ⋅ A(C,D)
98 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.29 Veˇta. Necht’ a ∈ Rn, a = (α1, α2, . . . , αn). Slozˇky (α1, α2, . . . , αn) jsou sou-
rˇadnicemi vektoru a vzhledem ke standardnı´ ba´zi (S):
(S) = ((1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)).
99 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.30 Veˇta. Necht’ (B) = (b1, b2, . . . , bn) je usporˇa´dana´ ba´ze linea´rnı´ho pro-
storu Rn. Matice prˇechodu od standardnı´ ba´ze (S) k ba´zi (B) ma´ tvar
A(S,B) = (bT1 , bT2 , . . . , bTn)
kde symbolem bTi znacˇı´me sloupec slozˇek vektoru bi. Jiny´mi slovy, uvede-
nou matici prˇechodu sestavı´me tak, zˇe zapı´sˇeme jednotlive´ vektory ba´ze
vedle sebe, slozˇky teˇchto vektoru˚ zapı´sˇeme do sloupcu˚.
100 Linea´rnı´ prostory konecˇne´ dimenze
6.31 Veˇta. Necht’ (B) = (b1, b2, . . . , bn) a (C) = (c1, c2, . . . , cn) jsou usporˇa´dane´
ba´ze linea´rnı´ho prostoru Rn. Pak pro matice prˇechodu A(B,C) a A(C,B) platı´
(A(C,B) | E) ∼ (bT1 , bT2 , . . . bTn | cT1 , cT2 , . . . cTn) ∼ (E | A(B,C)),
kde „∼“ znacˇı´ konecˇneˇ mnoho kroku˚ Gaussovy eliminacˇnı´ metody, E je
jednotkova´ matice a bTi resp. cTj jsou vektory bi resp. cj, jejichzˇ slozˇky
jsou zapsa´ny do sloupcu˚.
101 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.2 Definice. Necht’L1 a L2 jsou libovolne´ mnozˇiny. Zobrazenı´m A z mnozˇiny
L1 do mnozˇiny L2 rozumı´me jaky´koli prˇedpis, ktery´ kazˇde´mu prvku z
mnozˇiny L1 prˇirˇadı´ jednoznacˇny´m zpu˚sobem neˇjaky´ prvek z mnozˇiny L2.
Skutecˇnost, zˇe A je zobrazenı´ z mnozˇiny L1 do mnozˇiny L2 zapisujeme
A : L1 → L2.
Je-li x ∈ L1, pak zobrazenı´ A : L1 → L2 prˇirˇadı´ prvku x jednoznacˇneˇ
neˇjaky´ prvek z mnozˇiny L2. Tento prvek oznacˇujeme symbolem A(x) ∈ L2
a rˇı´ka´me mu hodnota zobrazenı´ A v bodeˇ x. Je-li M ⊆ L1, pak definujeme
A(M) = {y ∈ L2; ∃x ∈ M, A(x) = y}.
102 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.3 Definice. Necht’ L1 a L2 jsou libovolne´ mnozˇiny a uvazˇujme A : L1 → L2.
Pokud platı´ A(L1) = L2, rˇı´ka´me, zˇe A je zobrazenı´ z mnozˇiny L1 na
mnozˇinu L2.
103 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.5 Definice. Necht’ L1 a L2 jsou libovolne´ mnozˇiny a uvazˇujme A : L1 → L2.
Zobrazenı´ A je proste´, pokud pro kazˇde´ dva prvky x1 ∈ L1, x2 ∈ L1, x1 6= x2
platı´ A(x1) 6= A(x2).
104 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.6 Definice. Necht’ L1 a L2 jsou linea´rnı´ prostory, A : L1 → L2 je zobrazenı´
z L1 do L2. Zobrazenı´ A nazy´va´me linea´rnı´m zobrazenı´m, pokud pro
vsˇechna x ∈ L1, y ∈ L1, α ∈ R platı´
(1) A(x + y) = A(x) + A(y)
(2) A(α ⋅ x) = α ⋅ A(x)
105 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.8 Veˇta. (Princip superpozice). Necht’ L1 a L2 jsou linea´rnı´ prostory. Zobra-
zenı´ A : L1 → L2 je linea´rnı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ pro vsˇechna x ∈ L1, y ∈ L1,
α ∈ R, β ∈ R platı´
A(α x + β y) = α A(x) + β A(y)
106 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.10 Veˇta. Pro linea´rnı´ zobrazenı´ A : L1 → L2 platı´ A(o1) = o2, kde o1 je
nulovy´ vektor linea´rnı´ho prostoru L1 a o2 je nulovy´ vektor linea´rnı´ho
prostoru L2.
107 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.14 Veˇta. Necht’ A : L1 → L2 je linea´rnı´ zobrazenı´, M ⊆ L1. Pak A(〈M〉) =
〈A(M)〉.
108 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.16 Definice. Necht’ L1, L2 jsou linea´rnı´ prostory, o2 je nulovy´ vektor v line-
a´rnı´m prostoru L2 a A : L1 → L2 je linea´rnı´ zobrazenı´. Mnozˇinu
KerA = {x ∈ L1; A(x) = o2}
nazy´va´me ja´drem linea´rnı´ho zobrazenı´ A.
109 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.19 Veˇta. Ja´dro linea´rnı´ho zobrazenı´ A : L1 → L2 tvorˇı´ linea´rnı´ podprostor
linea´rnı´ho prostoru L1.
110 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.20 Veˇta. Mnozˇina A(L1) vsˇech hodnot linea´rnı´ho zobrazenı´ A : L1 → L2
tvorˇı´ linea´rnı´ podprostor linea´rnı´ho prostoru L2.
111 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.21 Definice. Defekt linea´rnı´ho zobrazenı´ A : L1 → L2 je definova´n, jako
dim KerA a hodnost linea´rnı´ho zobrazenı´ A je definova´na jako dimA(L1).
Defekt A znacˇı´me def A a hodnost A znacˇı´me hodA. Je tedy
def A = dim KerA
hodA = dimA(L1)
112 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.27 Veˇta. Necht’ {b1, b2, . . . , bn} je ba´ze linea´rnı´ho prostoru L1 a necht’ jsou
da´ny libovolne´ vektory y1, y2, . . . , yn z linea´rnı´ho prostoru L2. Pak existuje
pra´veˇ jedno linea´rnı´ zobrazenı´ A : L1 → L2, pro ktere´ platı´
A(bi) = yi, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}
113 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.29 Veˇta. Necht’A : L1 → L2 je linea´rnı´ zobrazenı´. Pak platı´:
(1) Jsou-li x1, x2, . . . , xn linea´rneˇ za´visle´ vektory v L1, pak jsou i vektory
A(x1),A(x2), . . . ,A(xn) linea´rneˇ za´visle´ v L2.
(2) Jsou-li x1, x2, . . . , xn linea´rneˇ neza´visle´ vektory v L1, pak vektory
A(x1),A(x2), . . . ,A(xn) v L2 nemusı´ by´t linea´rneˇ neza´visle´.
114 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.30 Veˇta. Necht’A : L1 → L2 je linea´rnı´ zobrazenı´. Na´sledujı´cı´ podmı´nky jsou
ekvivalentnı´:
(1) A je proste´.
(2) def A = 0.
(3) Jsou-li x1, x2, . . . , xn linea´rneˇ neza´visle´, jsou linea´rneˇ neza´visle´ i vek-
tory A(x1),A(x2), . . . ,A(xn).
115 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.31 Definice. Necht’A : L1 → L2 a B : L2 → L3 jsou zobrazenı´. Symbolem A–
B : L1 → L3 oznacˇujeme slozˇene´ zobrazenı´, ktere´ je definova´no prˇedpisem
(A – B)(x) = B(A(x)), ∀x ∈ L1.
116 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.32 Veˇta. Necht’ A : L1 → L2 a B : L2 → L3 jsou linea´rnı´ zobrazenı´. Pak je
linea´rnı´ te´zˇ slozˇene´ zobrazenı´ A – B : L1 → L3.
117 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.33 Definice. Identicke´ zobrazenı´ je zobrazenı´ I : L → L, ktere´ je definova´no
prˇedpisem I(x) = x. Strucˇneˇ nazy´va´me zobrazenı´ I identitou.
Necht’A : L1 → L2 je proste´ zobrazenı´. Pak definujeme inverznı´ zobrazenı´
A−1 : A(L1) → L1 jako takove´ zobrazenı´, ktere´ splnˇuje A – A−1 = I, kde
I : L1 → L1 je identita.
118 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.34 Veˇta. Je-li A : L1 → L2 proste´, pak existuje pra´veˇ jedno inverznı´ zobra-
zenı´ A−1 : A(L1) → L1.
119 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.35 Veˇta. Je-li L linea´rnı´ prostor, pak identita I : L → L je linea´rnı´. Je-li
A : L1 → L2 linea´rnı´ a proste´ zobrazenı´, pak te´zˇ A−1 : A(L1) → L1 je
linea´rnı´.
120 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.36 Veˇta. Necht’ A : L1 → L2 je linea´rnı´, proste´ a „na“ L2. Pak je inverznı´
zobrazenı´ A−1 : L2 → L1 rovneˇzˇ linea´rnı´, proste´ a „na“ L1.
121 Linea´rnı´ zobrazenı´
7.37 Definice. Zobrazenı´ A : L1 → L2 nazy´va´me izomorfismus, poku
Vloženo: 25.06.2009
Velikost: 195,35 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Reference vyučujících předmětu X01ALG - Úvod do algebry
Podobné materiály
- X01ALG - Úvod do algebry - Skripta Sbírka příkladů
- X01ALG - Úvod do algebry - Skripta Úvod do algebry Olšák
- X02FY1 - Fyzika 1 - Skripta Fyzika 1
- X12TDO - Technická dokumentace - Skripta Úvod do elektrotechniky
- Y36PJV - Programování v jazyku Java - Skripta online JAVA
- X01ALG - Úvod do algebry - skripta
Copyright 2023 unium.cz. Abychom mohli web rozvíjet a dále vylepšovat podle preferencí uživatelů, shromažďujeme statistiky o návštěvnosti, a to pomocí Google Analytics a Netmonitor. Tyto systémy pro unium.cz zaznamenávají, které stránky uživatel na webové stránce navštívil, odkud se na stránku dostal, kam z ní odešel, jaké používá zařízení, operační systém či prohlížeč, či jaký má preferenční jazyk. Statistiky jsou anonymní, takže unium.cz nezná identitu návštěvníka a spravuje cookies tak, že neumožňuje identifikovat konkrétní osoby. Používáním webu vyjadřujete souhlas použitím cookies a následujících služeb: