- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál, s2k ! s00 s0
s0 s00 = limk!1(s2k+1 s2k) = limk!1 a2k+1 =
limk!1 ak
Pł klad.P1k=1( 1)k 1 1k =1 12+13 14+ (=ln2)kon-
verguje:stł daj se znamØnka, jakj k = 1k k je nerostouc ,
konvergujek0.
Absolutn konvergence
De nice. ekneme, e P1k=1 ak konverguje absolutn , po-
kud konverguje P1k=1jakj.
Pł klad. P1k=1( 1)k 1 1k =1 12+13 14+ konverguje,
ne absolutn : P1k=1 1k =1+ 12 + 13 + 14 + nekonverguje.
V ta.Konverguje-li P1k=1jakj,pakkonverguje P1k=1 ak.
Døkaz. 1) ak 2 R: a+ =maxfa;0g, a =maxf a;0g
a = a+ a , jaj= a++a , 0 a+; a jajP
1
k=1jakj konverguje...P
1
k=1 a
+
k ,
P1
k=1 a
k konverguj (srovnÆvac kriterium)...P
1
k=1 ak =
P1
k=1(a
+
k a
k )=
P1
k=1 a
+
k
P1
k=1 a
k konv.
2) ak 2 C: 0 jReakj;jImakj jakjP
1
k=1jakj konverguje...P
1
k=1jReakj,
P1
k=1jImakj konverguj (srovnÆvac kr.) ...P
1
k=1Reak,
P1
k=1Imak konverguj podle 1) ...P
1
k=1 ak =
P1
k=1Reak +j
P1
k=1Imak konverguje
PoznÆmka. Pokud reÆlnÆ łada konverguje neabsolutn ,
pak P1k=1 a+k = P1k=1 a k =+1.
PoznÆmka.SrovnÆvac ,pod lovØ,odmocninovØaintegrÆln
kriteriumjsou kriteriaabsolutn konvergence:P
1
k=1 bk konv., jakj bk, pak
P1
k=1 ak konv.abs.
limk!1jak+1=akj < 1,pak P1k=1 ak konv.abs.
limk!1 kpjakj < 1, pak P1k=1 ak konv.abs.
De nice. PłerovnÆn m łady P1k=1 ak naz vÆme ka dou
ładu P1k=1 af(k), kde f : N na ! N je prostØzobrazen .
V ta. Jestli e łada konverguje absolutn , pak ka dØ jej
płerovnÆn konvergujeabsolutn amÆstejn souŁet.
Døkaz.
1) ak 0: oznaŁme mn =maxff(1); : : :; f(n)gP
n
k=1 af(k)
Pmn
k=1 ak, tedy
P1
k=1 af(k)
P1
k=1 ak
opaŁnÆnerovnost:prvn ładajepłerovnÆn mdruhØpro f 1
2) ak 2 R:P
1
k=1 af(k) =
P1
k=1 a
+
f(k)
P1
k=1 a
f(k) =
P1
k=1 a
+
k P
1
k=1 a
k =
P1
k=1 ak
3) ak 2 C: rozklademnareÆlnouaimaginÆrn ŁÆst
Tvrzen . Jestli ereÆlnÆładakonvergujeneabsolutn ,pak
ka dØ reÆlnØ Ł slo je souŁtem n kterØho płerovnÆn danØ
łady.
Døkaz(nÆznak). P1k=1 a+k = P1k=1 a k =+1, c 2 R
vyb rÆmenezÆpornØŁleny,dokudsouŁetnebude c
vyb rÆmezÆpornØŁleny,dokudsouŁetnebude c
(postup opakujeme)
PoznÆmka.Podobn lze dosÆhnouti souŁtu 1.
V ta (sŁ tÆn po ŁÆstech). Nech» P1k=1 ak konverguje ab-
solutn . Pak P1k=1 a2k 1, P1k=1 a2k konverguj (absolutn )
ajejichsouŁetjerovensouŁtupøvodn łady.
Døkaz. P1k=1ja2k 1j; P1k=1ja2kj P1k=1jakj ... (abso-
lutn ) konvergence
1X
k=1
a2k 1 = a1+a3+ = a1+0+a3+0+ =
1X
k=1
lk
1X
k=1
a2k = a2+a4+ =0+a2+0+a4+ =
1X
k=1
sk
P1
k=1 ak =
P1
k=1 lk +
P1
k=1 sk =
P1
k=1 a2k 1+
P1
k=1 a2k
PoznÆmka. Absolutn konvergentn ładu mø eme rozd -
lit na koneŁn mnoho røzn płesklÆdan ch ŁÆst , souŁet se
płitom nezm n .
Vloženo: 23.04.2009
Velikost: 77,34 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz