- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiál¨ selnØłady
R [f 1g= R
C [f1g= C
a1+a2+ +an = Pnk=1 ak
De nice. Nech» (ak)1k=1 je posloupnost Ł sel. (NekoneŁnÆ
Ł selnÆ) łada je v raz
a1+a2+a3+ =
1X
k=1
ak :
¨ slo ak senaz vÆ k-t Łlen tØtołady.
PoznÆmka.Obecn ji:P
1
k=n ak, n 2 N, n 2 ZP
k2M ak, M je mno ina:
P1
k=1 ak =
P
k2N ak
De nice. Pro ka dØ n 2 N naz vÆme sn = Pnk=1 ak n-t
ŁÆsteŁn souŁetłady P1k=1 ak.Pokudexistujelimn!1 sn =
s, pak ji naz vÆme souŁtem łady a p „eme s = P1k=1 ak.
ekneme, ełada:
konverguje, je-li s 2 C;
diverguje, je-li s 2 f 1;1g;
osciluje, pokudlimn!1 sn neexistuje.
Pł klady.
1) P1k=11diverguje: sn = n, limn!1 sn =+1.
2) P1k=1( 1)k 1 =1 1+1 1+ osciluje: sn =1 pro
n sudØ, sn =0pro n lichØ.
3) P1k=12 k = 12 + 14 + 18 + = limn!1(1 2 n) = 1
konverguje.
4) P1k=1( 1)k 1k =1 2+3 4+5 6+ oscilujev R,
divergujev C: s2n 1 = n, s2n = n.
PoznÆmka. Lep„ sŁ tÆn je limn!1 1n Pnk=1 sn,propł -
klad 2)dÆsouŁet 12.
De nice.AritmetickÆ łada sdiferenc d:
a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+ =
1X
k=1
a+(k 1)d :
SouŁty
nX
k=1
ak = a1+a2+ +an 1+an
= 12[(a1+an)+(a2+an 1)+ +(an +a1)]
= 12n(a1+an);
1X
k=1
ak =
8>
<
>:
+1; d > 0nebo d =0; a > 0;
1; d < 0nebo d =0; a < 0;
0; d =0; a =0:
Pł klad. Pnk=1 k =1+2+ +n = 12n(n+1).
De nice.GeometrickÆ łada skvocientem q:
a+aq +aq2+aq3+ =
1X
k=1
aqk 1 :
SouŁty
sn = a(1+q + +qn 1)
qsn = a( q + +qn 1+qn)
(1 q)sn = a(1 qn)
sn =
(1 qn
1 q ; q 6=1
na ; q =1
1X
k=1
aqk 1 = a1 q ; jqj < 1
1X
k=1
qk 1 =
(
1; q 1;
neex., q 1 v R
=
(
1; jqj > 1 nebo q =1;
neex., jqj=1; q 6=1 v C
Pł klad. P1k=1 43k = 4=31 1=3 =2.
Pł klad. P1k=2 1k(k 1) = 12 + 16 + 112 + =
= P1k=2 1k 1 1k =limn!1 1 1n =1.
V ta.Jestli e P1k=1 ak, P1k=1 bk konverguj , c 2 C,pak
1X
k=1
(ak +bk)=
1X
k=1
ak +
1X
k=1
bk ;
1X
k=1
c ak = c
1X
k=1
ak :
V ta. Komplexn łada P1k=1 ak konverguje prÆv tehdy,
kdy konverguj łady P1k=1Reak a P1k=1Imak.Pak
1X
k=1
ak =
1X
k=1
Reak +j
1X
k=1
Imak :
V ta (nutnÆ podm nka konvergence). Jestli e P1k=1 ak
konverguje,paklimk!1 ak =0.
Døkaz. limk!1 ak = limk!1(sk sk 1) = limk!1 sk
limk!1 sk 1 = s s =0.
V ta.Je-li ak 0proka dØ k 2 N,pak P1k=1 ak existuje.
Døkaz. sn = Pnk=1 ak, (sn) je neklesaj c , tj. limn!1 sn
existuje (=supn2N sn)
Kriteriakonvergence
V ta(srovnÆvac kriterium). Nech»0 ak bk proka dØ
k 2 N.
1)Konverguje-li P1k=1 bk,paki P1k=1 ak konverguje.
2)Diverguje-li P1k=1 ak,paki P1k=1 bk diverguje.
Døkaz. sn = Pnk=1 ak, tn = Pnk=1 bk, 0 sn tnP
1
k=1 ak =limn!1 sn limn!1 tn =
P1
k=1 bk
Pł klady.
1) P1k=1 1k2 =1+P1k=2 1k2 1+P1k=2 1k(k 1) =1+1=2
konverguje.
2) 2, P1k=1 1k P1k=1 1k2 2konverguje.
3)harmonickÆ łada:
1X
Vloženo: 23.04.2009
Velikost: 77,34 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Copyright 2024 unium.cz